29.2.3 圆周角 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定义、定理及三大推论、圆内接四边形性质，通过“测量猜想—分类论证—互动探究”导入，对比圆心角建立知识联系，以分层例题为支架衔接前后知识点。 其亮点在于以探究式教学引导学生经历定理推导（三种圆心位置证明），结合中考真题培养推理意识与应用能力，课堂小结通过类比整合知识。学生能深化逻辑思维，教师可直接使用系统资料提升教学效率。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 29.2.3 圆周角 第29章 圆 29.2.3 圆周角（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 两大必备条件（缺一不可）： ① 角的顶点在圆上；② 角的两条边均与圆相交。 圆心角与圆周角对比：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 2. 圆周角定理（本节核心必考） 定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 几何语言： 若弧AB所对的圆心角为$$\angle AOB$$，圆周角为$$\angle ACB$$， 则：$$\boldsymbol{\angle ACB=\dfrac12\angle AOB}$$。 3. 圆周角定理三大推论（中考高频） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，相同的弧对应的所有圆周角度数相等。 推论2：直径所对的圆周角是直角（90°）。 几何结论：若AB为直径，则圆上任意一点C，都有$$\angle ACB=90^\circ$$。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。 可用于判定直径、确定圆心位置。 4. 圆内接四边形性质（重点拓展） 四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形。 核心性质：圆内接四边形的对角互补。 即：对角之和为180°，可直接用于角度计算与证明。 5. 核心规律总结 1. 同弧所对圆心角唯一，圆周角有无数个，但度数全部相等； 2. 弧越大，对应的圆心角、圆周角越大； 3. 半圆对应圆周角90°，整圆对应圆周角180°。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列角属于圆周角的是（） A. 顶点在圆心，两边交圆 B. 顶点在圆上，两边交圆 C. 顶点在圆内 D. 顶点在圆外 2. 一条弧所对的圆心角是80°，则它所对的圆周角为（） A. 40° B. 80° C. 160° D. 90° 3. 直径所对的圆周角的度数是（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 圆内接四边形的一组对角和为（） A. 90° B. 180° C. 360° D. 不确定 （二）填空题 5. 圆周角的顶点在________，两边与圆相交。 6. 一条弧所对的圆周角是圆心角的________。 7. 同弧所对的圆周角________。 8. 90°的圆周角所对的弦是________。 （三）解答题 9. 已知：在⊙O中，弧AB所对的圆心角$$\angle AOB=100^\circ$$，求弧AB所对的圆周角的度数。 10. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求证：$$\angle ACB=90^\circ$$。 11. 已知圆内接四边形ABCD中，$$\angle A=70^\circ$$，求$$\angle C$$的度数。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交；顶点在圆心的是圆心角。 2. 答案：A 解析：圆周角等于对应圆心角的一半，$$80^\circ\div2=40^\circ$$。 3. 答案：C 解析：直径所对的圆周角为直角，度数为90°。 4. 答案：B 解析：圆内接四边形对角互补，和为180°。 5. 答案：圆上 6. 答案：一半 7. 答案：相等 8. 答案：直径 9. 解析： 根据圆周角定理：圆周角$$= \dfrac12\times100^\circ=50^\circ$$$$\angle ACB=\dfrac12\times180^\circ=90^\circ$$$$\angle ACB=90^\circ$$$$\angle A+\angle C=180^\circ$$$$\angle A=70^\circ$$$$\angle C=180^\circ-70^\circ=110^\circ$$$$\angle C=110^\circ$$$$圆周角是圆心角的一半$$$$同一条弧$$ 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程. 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 探究新知 圆周角的概念 知识点 1 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 探究新知 （4） 如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 探究新知 圆周角定理及其推论 知识点 2 测量与猜想 圆心O 在∠BAC 的 内部 圆心O在∠BAC的一条边上 圆心O在∠BAC 的外部 探究新知 推导与论证 圆心O在∠BAC的一条边上（特殊情形） OA＝OC ∠A＝ ∠C ∠BOC＝ ∠ A+ ∠C 证明： 探究新知 O A B C D 圆心O在∠BAC的内部 证明：连接AO并延长交⊙O于D. 探究新知 B C O A D 圆心O在∠BAC的外部 证明：连接AO并延长交⊙O于点D. 探究新知 探究新知 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC＝∠BDC. 答：相等. 证明：在⊙O中，∵ 探究新知 互动探究 D A B O C E F 问题2 如图，若CD＝EF，∠A与∠B相等吗？ 答：相等. 想一想：（1）反过来，若∠A＝∠B，那么CD＝EF成立吗？ （2）若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 证明：连接OC，OE，OD，OF， ∵CD＝EF， 成立 90° 探究新知 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A1 A2 A3 探究新知 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 试一试 如图，点A，B，C，D在☉O上，点A与点D在点B，C所在直线的同侧，∠BAC＝35º. （1）∠BOC＝ º，理由 是 ; （2）∠BDC＝ º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 探究新知 如图，线段AB是☉O的直径，C是 ☉O上的任意一点（除点A，B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ · O A C B 解：∵OA＝OB＝OC， ∴△AOC，△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB＝180°. ∴ ∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝180°÷2＝90°. 探究新知 探究新知 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的大小. O C A B 解： ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB ＝180°-90°-80°＝10°. 利用圆周角定理及推论求角的度数 素养考点 1 探究新知 例2 如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：（1）∵同弧所对圆周角相等，∴∠x＝60°. A D B E C （2）连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF＝∠D＝20°，∠FBC＝∠E＝30°. ∴∠x＝∠ABF+∠FBC＝50°. 60° x A B D C 探究新知 例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB， BC的长． B 解：（1）∵AC是直径， ∴ ∠ADC＝90°. 在Rt△ADC中， 利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等 素养考点 2 探究新知 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， （2）∵ AC是直径, ∴ ∠ABC＝90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB＝∠CDB. 又∵∠ACB＝∠ADB ,∠BAC＝∠BDC . ∴ ∠BAC＝∠ACB, ∴AB＝BC. B 解题妙招 在圆周角问题中，若题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决. 探究新知 ∴ 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 探究新知 圆内接四边形 知识点 3 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+∠C＝180º， ∠B+∠D＝180º. 想一想：如何证明你的猜想呢？ 探究新知 探究性质 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 推论：圆内接四边形的对角互补. 证明： 探究新知 C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 探究新知 推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. C O D B A E 探究新知 例 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 素养考点3 圆内接四边形性质的应用 素养考点 探究新知 知识点1 圆周角的概念 （第1题） 1. 如图,四边形中， , ,三点均在上,点在 外，则图中 的圆周角有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 27 知识点2 圆周角定理 （第2题） 2. 如图，，为 的弦，连接，，.若 , ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 28 （第3题） 3. 如图，以原点为圆心的圆交轴于， 两点，交轴的正半轴于点， 为第一象限 内上的一点，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【点拨】连接 ， . . 又， . 中考考法 29 （第4题） 4.如图，点，，在半径为2的 上， ，，垂足为 ，交 于点，连接，则 的长度为___． 1 【点拨】连接 ， . ， ， . . . . 中考考法 30 5.[2026南京外国语学校期末] 如图，内接于 ，连 接，且平分，是上一点，连接， .若 ，则 的度数为____. （第5题） 中考考法 31 【点拨】如图，连接 ，由圆周角定理得 . ， . 平分 ， . ， . 中考考法 32 知识点3 圆周角定理的推论 （第6题） 6. [2025泸州] 如图，四边形 内接于 ，为的直径.若 , ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 33 （第7题） 7. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分, 为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作 如图所示的测量,测得, ， 则圆形镜面的半径为_ ______. 中考考法 34 8.如图，是的直径，点，分别是弦， 的中 点，，，则 的长是___． 4 （第8题） 中考考法 35 （第8题） 【点拨】是的中点， 是的直径， . ， ， 是 弦的中点，是直径的中点， 是 的中位线. ， ，， 三点共线. ． 中考考法 36 （第9题） 9. 如图，，是的弦，， 是 的半径，点为 上任意一点 （点不与点，重合），连接 ．若 ，则 的度数可能是 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 37 （第9题） 【点拨】连接 ， . ， . 点 为上任意一点（点不与点， 重 合）， . ， ． 中考考法 38 （第10题） 10. 如图，某博览会上有一圆形 展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台 监视器，它的监控角度是 ，为了监控整 个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样 的监视器( ) C A. 2台 B. 3台 C. 4台 D. 5台 中考考法 39 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 1.90°的圆周角所对的弦是直径； 2.圆内接四边形的对角互补 1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备） 圆周角与直 径的关系 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 课堂小结 40 $