29.2.1 垂直于弦的直径-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”核心内容，以垂径定理为重点，通过“圆是轴对称图形吗”的问题导入，结合折纸探究活动，先回顾轴对称图形知识，再引导学生发现圆的对称性，为定理推导搭建从图形性质到逻辑结论的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观（数学眼光），通过“五要素知二推三”模型和解题步骤模板提升推理能力（数学思维），结合赵州桥、烧瓶截面等实例渗透模型意识（数学语言）。易错陷阱总结和满分口诀帮助学生精准掌握，教师使用可高效推进教学，助力学生形成结构化知识体系。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 知识点汇总 前言：本节核心为垂径定理，是圆几何第一条核心计算定理，中考必考题型！主要用于圆中求弦长、半径、圆心距、拱高，贯穿圆的计算与证明，是后续圆周角、切线问题的计算基础。 一、圆的对称性（定理前提） 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 垂径定理本质：利用圆的轴对称性，实现直径、弦、弧的等量转化。 二、垂径定理（核心必考·原话背诵） 1. 定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 几何语言（大题标准书写） 已知：在 $$\odot O$$中，直径 $$AB \perp$$ 弦 $$CD$$，垂足为 $$E$$ 可得：$$CE=DE$$，$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$$，$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$$ 3. 定理拆解三结论 一条直径满足“垂直弦”，自动解锁三个结果： ① 平分弦（线段平分）； ② 平分弦所对的优弧； ③ 平分弦所对的劣弧。 三、垂径定理推论（考试高频） 1. 推论内容 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 超级关键易错前提 被平分的弦不能是直径！ 原因：圆中两条直径互相平分，但不一定垂直，必须排除直径情况，推论才成立。 3. 五要素知二推三（终极模型） 对于圆中直径与弦的关系，满足以下5个条件中任意2个，可推出剩余3个： ① 过圆心（是直径/半径）；② 垂直于弦；③ 平分弦（非直径）；④ 平分劣弧；⑤ 平分优弧。 四、垂径定理万能计算公式（秒杀公式） 1. 构造直角三角形模型 做题必做辅助线：连接圆心与弦端点（作半径），构造 Rt△。 2. 核心公式 设：圆半径 $$R$$，弦长 $$L$$，圆心到弦的距离（弦心距）$$d$$ $$\boldsymbol{R^2 = d^2 + \left(\dfrac{L}{2}\right)^2}$$ 口诀：半径斜边，距半弦为直角边 3. 拱高公式（弓形问题专用） 拱高（弓形高）$$h = R - d$$ 已知拱高可快速求弦心距，常用于拱桥、隧道、圆弧形构件计算题。 五、标准解题步骤（大题满分模板） 1. 过圆心作弦的垂线（或利用已知直径）； 2. 根据垂径定理得：弦被平分，写出半弦长； 3. 连接半径构造直角三角形； 4. 利用勾股定理 $$R^2=d^2+(\frac L2)^2$$ 列方程求解。 六、本节高频易错陷阱 1. 忽略推论前提：平分直径的直径不垂直，推论仅限“非直径弦”； 2. 计算时忘记取半弦长，直接用整弦长代入勾股定理； 3. 不会做辅助线：解题核心永远是作垂直、连半径； 4. 混淆弦心距与拱高：弦心距是圆心到弦的距离，拱高是弧到弦的距离。 本节满分口诀 直径垂直一条弦，平分弦弧两边全； 平分弦非直径线，垂直弧分等价连； 半径勾股是核心，距半弦方凑直角。 29.2.1 垂直于弦的直径 新课导入 圆是轴对称图形吗？ (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形. (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论. (3)能利用垂径定理解决相应问题. 推进新课 什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？ 回 顾 知识点1 圆的轴对称性 4 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形． 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 　用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 探究 圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线. 圆有哪些对称轴？ O 如何来证明圆是轴对称图形呢？ B O A C D E 是轴对称图形． 大胆猜想 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 左图是轴对称图形吗？ 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 知识点2 垂径定理及其推论 显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B O A C D E 垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧． 知识要点 垂径定理 B O A C D E 　　下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD是直径，AB是弦， CD⊥AB ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 题设 结论 D O A B E C 垂径定理 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． N O A B M C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 条件 结论 命题 ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦． 垂径定理的推论 知识点2 垂径定理及其推论 （第2题） 2. 如图,是的直径,是 的一条 弦, 于点 ,则下列结论： ； ； ； .其中一定正确的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 18 （第3题） 3. 如图，是 的弦， 半径于点.若， ,则 的长是( ) A A. 3 B. 2 C. 6 D. 中考考法 19 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). A C B D O 37 7.23 18.5 R R-7.23 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m. A C B D O 37 7.23 18.5 R R-7.23 随堂演练 基础巩固 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 . C 10 6 ⌒ ⌒ 知识点1 圆的轴对称性 1. 下列说法中，不正确的是( ) C A. 圆是轴对称图形 B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 中考考法 25 4.如图，以点为圆心的圆弧与轴交于，两点，点 的坐 标为，点的坐标为，则点 的坐标为______. （第4题） 中考考法 26 5.[2026合肥期末] 如图，是的弦，点在弦 上，已 知的半径为7，若，，则 的长为___. 8 （第5题） 中考考法 27 【点拨】如图，连接，过点作 于点，则，设 ， . ， . ，解得 . . . .故答案为8. 中考考法 28 知识点3 垂径定理的应用 （第6题） 6. 如图，这是一名同学从照片上剪下来 的海上日出时的画面（示意图），图中 太阳与海平线交于, 两点，他测得图中 圆的半径为， ．若太阳 从目前所处位置 D A. B. C. D. 到完全离开海平线的时间为 ，则图中太阳升起的速度为 ( ) 中考考法 29 （第7题） 7. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧 瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度 受热.如图，它的截面图可以近似地看作是由 去掉两个弓形后与矩形 组合而成的图 形，其中，若 的半径为25， ，， ，则该平底烧瓶 的高度为____. 80 中考考法 30 【点拨】如图，连接，，过点作 ， 交于点，交于点，平分 . ，平分 . ，，， . 在和中， ，由勾股定理得 ，， 该 平底烧瓶的高度为 . 中考考法 31 8. 如图①，是 的直 径，是 上的一点，连接 ，，是 上的动点， C A. 10 B. 6 C. 5 D. 过点作于点.设，，与 之间的函 数关系图象如图②所示，若是图象的最高点，则 的长是 ( ) 中考考法 32 【点拨】过点作于点，交于点 ，由图象可 知此时，.设，则 .在 中，由勾股定理可列方程求出，则 ，从 而可求出 . 中考考法 33 9. 如图，是的直径，点在上， 于点 ，点是上的动点（不与重合），点为 的中点， 若,，则 的最大值为____. 7.5 （第9题） 中考考法 34 【点拨】如图，延长交于点 ，连 接,，即，且 是的直径，.又 点为 的中点，.当为直径时， 取得最大值，此时取得最大值.设的半径为 ，则 .在中， , ，解得,的最大值为15, 的最大值为7.5. 中考考法 35 （第10题） 10. 如图，是 的直 径，，点在线段 上运动，过点 的弦，将沿 翻折交直线 于点，当 的长为正整数时，线段 的长为___________________. 或或2 中考考法 36 【点拨】为直径， 为弦， 当 的长为正整数时， 或2.当，即 为直径时. ， 将沿翻折交直线 于点，此时与点重合.；当，且点 在线 段之间时，如图①，连接，则 . 中考考法 37 ， . . . 由翻折可知 ; 中考考法 当，且点在线段 之间时， 如图②，连接 ， 同理可得 ， . 综上，线段的长为 或 或2. 中考考法 39 因为圆的对称性，长度固 定的弦在圆中的位置是不固定的.题 目中没给出点 的具体位置，应分 点在线段之间和点在线段 之间两种情况讨论，本题容易考虑 不周全，导致漏解. . . . . . . 中考考法 40 课堂小结 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $