29.2.1 垂直于弦的直径课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”核心内容，以赵州桥主桥拱半径问题导入，通过折纸实验探究圆的对称性，经逻辑证明得出垂径定理，构建从生活情境到动手操作再到推理应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以赵州桥问题贯穿教学，通过“知二推三”总结定理本质，例题练习联系实际，培养学生推理能力与应用意识，教师可直接使用完整流程提升教学效率。

29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 新课导入 你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少. 你们能帮他求出来吗? 2 探究新知 1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆有几条对称轴？ 无数条. ● O 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 2.“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗?若不对，应该怎样说? 已知：在 ⊙O 中，AB 是直径，MM′ 是弦， AB ⊥ MM′，垂足为 N． 证明：连结 OM、OM′，MM′. 在 △OMM′ 中，∵ OM ＝ OM′， ∴△OMM′ 是等腰三角形. 又 ∵ MM′ ⊥ AB， ∴MN = MN′. 即 AB 是 MM′ 的垂直平分线，因此 ⊙O 关于直线 AB 对称. 证 明 · O M M′ B N A 从上面的证明我们知道，如果⊙O 的直径 AB垂直于弦 MM′，垂足为 N，那么点 M 和 M′ 是对称点. 点 M 与点 M′ 重合 MN 与 M′N 重合 与 重合 MA M′A 与 重合 MB M′B 因此，MN = M′N ， MA= M′A, = . MB M′B 即直径 AB 平分弦 MM′，并且平分 ， . MM′ MAM′ · O M M′ B N A 如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 合作探究 垂径定理 · O A B C D E ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 垂径定理成立的条件 一条直线满足: ①过圆心； ②垂直于弦. 不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直. · O A B C D M · O A A' C D “不是直径”这个条件能去掉吗？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ 思考 ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ D O A A′ M C 举例证明其中一种组合方法. 已知： 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AA′，垂足为 M ③ AM = A′M ④, 证明猜想 14 如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AA′ 于点 M. （1）CD⊥AA′ 吗？为什么？ （2）与相等吗？ 与相等吗？为什么？ · O A A′ C D M · O A A′ C D M 解：(1) 连接 AO、A′O，则 AO = A′O. 又∵ AM = A′M， ∴∠AMO =∠A′MO = 90°. ∴ CD⊥AA′. ∴△AOM≌△A′OM(SSS). (2) 由垂径定理可得=, = 垂径定理的本质 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 知二推三 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证: 四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 练一练 D · O A B C E 又　∵AC = AB, ∴ AE = AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. 证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC， ∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°. ∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD=AB. 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留 小数点后一位）. 典例精析 A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD =AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 垂径定理的常用方法 在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段， 如图： · O A B r d a (r：圆的半径 ，d：圆心到弦的距离 ，a：弦长) =+ 如图 a、b，一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿＿＿＿cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 指弦中点到弦所对的弧中点的距离 练一练 知识归纳 1．圆是____对称图形，任何一条_____________ 都是圆的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为_____． 轴 直径所在直线 圆心 2．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①________ ___________________________；②___________ _________；那么可以推出：③________；④CE ＝DE；⑤CA＝DA. 平分 平分 AB经过圆心O且与圆交于A，B两点 AB⊥CD交CD于点E CE＝DE 3.________________的直径垂直于弦，并且____ 弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径) 平分 例 例题与练习 如图，D，E分别为AB，AC的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN. ︵ ︵ D E A B C M N 证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G. ∵D，E分别为，的中点， ∴∠DFM＝∠EGN＝90°. ∴∠DFM＝∠EGN＝90°. ∵OD＝OE， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠D＝∠E， ∴∠DMB＝∠ENC. ∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM， ∴AM＝AN. 1.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证 AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE. ∴ AC＝BD. . A C D B O E 2. 如图，在 ⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC，垂足分别为 D， E. 求证：四边形ADOE 是正方形. 证明：∵AB ⊥ AC，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC. ∴四边形 ADOE 是矩形. 又∵OD 垂直平分 AB，OE 垂直平分 AC，AB ＝ AC， ∴AE =AC =AB = AD， ∴四边形 ADOE 是正方形. 3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4m，EM=6 m.求⊙O的半径长. 解:设⊙O的半径为rm，则OE=OC=rm。 M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， 根据垂径定理，得:EMCD, CM=CD=4=2m。 又EM=6m, 在Rt△OMC中，由勾股定理: 代入OC=r,OM=6-r,CM=2,得: OM=EM-OE=(6-r)m。 展开并化简: +4 答： ⊙O的半径长为米 4．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为________. cm 5．如图，AB为⊙O的直径，E是的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____． 8 6．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD. 证明：过点O作OG⊥CD于点G. ∵OG过圆心， ∴CG＝DG. ∵OA＝OB. ∴AG＝BG， ∴CG－AG＝DG－BG， ∴AC＝BD. 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 随堂检测 1.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　 ） A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 　C 2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,求蔬菜大棚的高度CD.  解：∵AB=16 m， 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2， 由垂径定理，得AD=8m. 求得OD=6m. ∴CD=OC-OD=4m. ∵OC=OA=10m， 作业布置 完成对应课时练习． $