29.2.2 圆心角 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆心角定义、圆心角弧弦关系定理及推论、“同圆或等圆”前提和圆心角与弧度数关系，通过“思考圆的中心对称”“观察旋转圆的重合性”导入，从圆的旋转不变性自然引出圆心角概念，搭建圆的性质到圆心角关系的学习支架。 其亮点是采用探究式教学，通过旋转圆实验推导定理培养几何直观与空间观念，易错点专项总结强化推理严谨性，中考专练结合提升应用意识。课堂小结用关系结构图梳理知识，助力学生系统掌握，为教师提供结构化资源，提高教学效率。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 29.2.2 圆心角 第29章 圆 29.2.2 圆心角（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 圆心角的定义 顶点在圆心，两边都与圆相交的角，叫做圆心角。 核心要点：顶点必须是圆心，两边为圆的两条半径。 对应关系：每一个圆心角对应一条弦和一条弧。 2. 圆心角、弧、弦关系定理（同圆或等圆中） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 几何语言： 在⊙O中，若$$\angle AOB=\angle COD$$， 则：$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$$，$$AB=CD$$。 3. 三大推论（知一推二，必考） 在同圆或等圆中，以下三组量，一组相等，其余两组全部相等： ① 圆心角相等；② 所对弧相等；③ 所对弦相等。 完整结论： 1. 圆心角相等 $$\Rightarrow$$ 弧相等、弦相等； 2. 弧相等 $$\Rightarrow$$ 圆心角相等、弦相等； 3. 弦相等 $$\Rightarrow$$ 圆心角相等、弧相等。 4. 重要前提（超级易错） 以上所有成立的条件：必须在同圆或等圆中！ 不同圆中，圆心角相等，弧、弦不一定相等；弦相等，圆心角、弧也不一定相等。 5. 圆心角与弧的度数关系 圆心角的度数 = 它所对弧的度数。 整个圆周对应圆心角360°，半圆对应圆心角180°。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列角属于圆心角的是（） A. 顶点在圆上，两边交圆 B. 顶点在圆心，两边为半径 C. 顶点在圆内任意点 D. 顶点在圆外 2. 在同圆中，若两个圆心角相等，则下列说法正确的是（） A. 只对应弧相等 B. 只对应弦相等 C. 对应弧、弦都相等 D. 都不相等 3. 下列说法正确的是（） A. 圆心角相等，弧一定相等 B. 弦相等，圆心角一定相等 C. 等圆中，等弧对等弦 D. 不同圆中可直接用知一推二 （二）填空题 4. 圆心角的顶点在________，两边是圆的________。 5. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________。 6. 圆心角的度数________它所对弧的度数。 （三）解答题 7. 已知：在⊙O中，$$\angle AOB=\angle COD$$，求证：$$AB=CD$$。 8. 在⊙O中，已知弧AB=弧CD，求证：$$\angle AOB=\angle COD$$。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：圆心角定义：顶点在圆心，两边为圆的半径。 2. 答案：C 解析：同圆中，圆心角、弧、弦知一推二，圆心角相等，则对应弧、弦均相等。 3. 答案：C 解析：ABD缺少“同圆或等圆”前提，不成立；等圆中所有等量关系均成立。 4. 答案：圆心；半径 5. 答案：相等；相等 6. 答案：等于 7. 解析： 证明：∵ 在⊙O中，$$\angle AOB=\angle COD$$， 根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等， ∴ $$AB=CD$$，得证。 8. 解析： 证明：∵ 在⊙O中，$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$$， 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等， ∴ $$\angle AOB=\angle COD$$，得证。 四、高频易错总结 1. 忽略大前提：忘记“同圆或等圆”，直接判定圆心角、弧、弦相等，考试必扣分； 2. 概念混淆：把圆周角（顶点在圆上）当成圆心角（顶点在圆心）； 3. 乱用定理：不同半径的圆，圆心角相等，弧长、弦长不一定相等； 4. 推理不严谨：大题不写前提条件，直接使用知一推二规律； 5. 度数误区：不会用“圆心角度数=弧的度数”进行角度换算。 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 探索圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题. 理解圆心角、弧、弦关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 探究新知 圆心角的概念 知识点 1 圆是中心对称图形 . O A B 180° 【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 探究新知 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · 探究新知 · O B A · O B A 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 探究新知 O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 弦 探究新知 7 练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角 顶点在圆外，不是圆心角 顶点在圆周上，不是圆心角 圆心角 探究新知 ∠AOB＝∠A′OB′ · O A B A′ B′ 如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 得到： AB =A＇B＇ 探究新知 圆心角、弧、弦之间的关系 知识点 2 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ C · O A B D 由圆的旋转不变性，可得： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， AB与CD ，弦AB=弦CD 归纳 探究新知 在同圆中探究 ⌒ ⌒ · O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O ′ C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得： 如果∠AOB=∠COD， 那么，AB=CD， 弦AB=弦CD. 归纳 ⌒ ⌒ 在等圆中探究 探究新知 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 探究新知 【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 探究新知 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同圆或等圆中 题设 结论 探究新知 14 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 探究新知 弧、弦与圆心角关系定理的推论 关系结构图 探究新知 圆心角 相等 弧相等 弦相等 解： ∵BC=CD=DE， 例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E 素养考点 1 利用弧、弦、圆心角的关系求角度 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探究新知 17 证明： ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∵ ∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ ∵AB=CD， ⌒ ⌒ 利用弧、弦、圆心角的关系证明相等 素养考点 2 探究新知 知识点1 圆心角及其计算 1. 下列图形中的角是圆心角的是( ) B A. B. C. D. 2. 已知是的弦，若，，则 所对的 圆心角的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 19 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3. 下列说法正确的有( ) ①圆心角相等,所对的弧也相等; ②圆心角相等,所对的弦也相等; ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧; ④等弧所对的圆心角相等； ⑤顶点在圆心的角是圆心角. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 20 （第4题） 4. 如图，是的直径，，， 是的弦，且，则 等于( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 5.如图，点，，都在上，是 的中点， ，则____ ． 80 （第5题） 中考考法 22 6.如图，在半径为5的中，, 于点 ，，则 ___． 3 （第6题） 中考考法 23 7.上顺次有，，，四点，,，， 所对的 圆心角的度数之比为．则有下列结论：是 的直径；是的直径；；． 其中正确的个数是___． 3 中考考法 24 （第7题） 【点拨】，，， 所对的圆心角 的度数之比为， 四条弧所对的圆心 角度数分别为 , , , ，如图. 是 的直径, 故①错误，②正确. , ， ，故③正 确. ， ，故④正确．综上，结论正确的个数是3. 中考考法 25 8.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的 虚线表示折痕，则 的度数是____. 中考考法 26 （第8题） 【点拨】如图，过点作于点 ，连接 .根据折叠方式可知，，， .的度数是 . 中考考法 27 9. [2026石家庄长安区期末] 若， 分别是圆上的两段劣 弧，且，则弦与弦 之间的关系是( ) C A. B. C. D. 无法确定 【点拨】如图，设为 的中点， ， . ， ，故选C. 中考考法 28 （第10题） 10. 如图，在 的正方形 网格中，一条圆弧经过，， 三点，那么 所对的圆心角的度数是( ) D A. B. C. D. 中考考法 29 （第11题） 11. 某酒店的圆形旋转门 （如图①），可看成由外围的 和3翼隔 风玻璃组成，外围圆有通道和 ，且它 们关于圆心 成中心对称，圆内的3翼隔风 玻璃可绕圆心 转动，且所 B A. B. C. D. 成的夹角 ，3翼隔风玻璃在转动过 程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温的作用. 例如： 当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃， 隔离，则通道 所对圆心角的度数的最大值为 ( ) 中考考法 30 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 解题指导 ①注意前提条件； ②注意灵活转化. 课堂小结 $