29.2.2 圆心角-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆心角”核心内容，涵盖定义、弧弦圆心角关系定理及推论、弦心距等价等知识点。课堂导入通过“圆是否中心对称”“旋转不变性”问题，承接垂径定理，为后续圆周角学习搭建知识支架。 其亮点在于设计探究活动（旋转圆心角观察等量关系）、对应练习及易错陷阱分析，结合“知一推二”模型和满分口诀，培养学生推理意识与符号表达能力。学生能深化定理理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十九章 圆 29.2.2 圆心角 知识点汇总 前言：本节承接垂径定理，是圆三大角（圆心角、圆周角、圆内接角）的第一个核心考点。重点掌握圆心角定义、弧、弦、圆心角三者等量关系定理，是圆证明题、等量代换的核心依据，中考高频必考。 一、圆心角的定义 顶点在圆心，两边都与圆相交的角，叫做圆心角。 示例：在 $$\odot O$$ 中，$$\angle AOB$$ 顶点在圆心 $$O$$，是圆心角。 对应关系：一个圆心角唯一对应一条弧、一条弦。 二、圆心角、弧、弦关系定理（核心大题依据） 1. 定理前提（重中之重） 必须在同圆或等圆中，定理才成立！ 2. 核心定理原话（必背） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3. 几何语言（标准答题） 在 $$\odot O$$ 中： $$\because \angle AOB=\angle COD$$ $$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\;AB=CD$$ 三、定理推论（知一推二·满分模型） 同圆或等圆中，三组量：圆心角、弧、弦，只要一组相等，其余两组全部相等。 1. 圆心角相等 $$\implies$$ 弧相等、弦相等 2. 弧相等 $$\implies$$ 圆心角相等、弦相等 3. 弦相等 $$\implies$$ 圆心角相等、弧相等 注意：弧相等默认指同类型弧（优弧对优弧、劣弧对劣弧）。 四、补充延伸：弦心距也等价 在同圆或等圆中，弦相等 $$\iff$$ 弦心距相等。 因此完整四等价：圆心角、弧、弦、弦心距，一全等三全全等。 五、圆心角与弧的度数关系（计算必考） 1. 圆心角的度数 = 它所对弧的度数 2. 整圆弧度数为 $$360^\circ$$，半圆弧度数为 $$180^\circ$$ 3. 可直接通过角度求弧、通过弧求角度 六、本节高频易错陷阱（扣分重点） 1. 忘记前提：不在同圆/等圆中，圆心角相等，弧、弦不一定相等； 2. 混淆弧与弦：只能同类型弧互相推导，不能劣弧对等优弧； 3. 角度不等、弧长不等，不能随意等量代换； 4. 圆心角必须顶点在圆心，顶点在圆上不是圆心角。 七、解题万能思路 圆中证弦相等、证弧相等、证角度相等，优先使用： 垂径定理 + 圆心角弧弦互换定理 组合解题。 本节满分口诀 圆心对弧对弦长，同圆等圆是纲常； 一组相等三组等，角度弧度互相帮； 无圆不等不乱推，等价互换稳拿分。 29.2.2 圆心角 新课导入 问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？ 这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理. 推进新课 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? · 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 思考 知识点1 圆的旋转不变性及圆心角 3 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 B A ∠AOB为圆心角 O · 圆心角∠AOB 所对的弦为AB， 所对的弧为AB. ⌒ 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【对应练习】 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弦 弧 这三个量之间会有什么关系呢？ B A O · 探究 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 知识点1 圆心角及其计算 1. 下列图形中的角是圆心角的是( ) B A. B. C. D. 2. 已知是的弦，若，，则 所对的 圆心角的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 7 如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ B A A' B' ● O 探究 AB＝A'B' AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 由∠AOB＝∠AO'B'得到 B A ● O A' B' ● O' 探究 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. AB ＝ A'B' ⌒ ⌒ ∵∠AOB＝∠AO'B' ∴AB＝A'B' A B O · A' B' 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ · · A' B' A B 思考 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______． 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3. 下列说法正确的有( ) ①圆心角相等,所对的弧也相等; ②圆心角相等,所对的弦也相等; ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧; ④等弧所对的圆心角相等； ⑤顶点在圆心的角是圆心角. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 13 ① 圆心角 弧 ③ 弦 知一得二 理解 14 如图，在⊙O中，AB =AC，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC． 证明： ∴AB=AC. 又∠ACB=60°， ∴AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. ∵AB = AC ， ⌒　⌒ ⌒　⌒ · A B C O 例3 在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗? ① 圆心角 ② 弧 ③ 弦 ④ 弦心距 知一得三 思考 A' B' A B O · C' C （第4题） 4. 如图，是的直径，，， 是的弦，且，则 等于( ) C A. B. C. D. 中考考法 17 5.如图，点，，都在上，是 的中点， ，则____ ． 80 （第5题） 中考考法 18 6.如图，在半径为5的中，, 于点 ，，则 ___． 3 （第6题） 中考考法 19 7.上顺次有，，，四点，,，， 所对的 圆心角的度数之比为．则有下列结论：是 的直径；是的直径；；． 其中正确的个数是___． 3 中考考法 20 （第7题） 【点拨】，，， 所对的圆心角 的度数之比为， 四条弧所对的圆心 角度数分别为 , , , ，如图. 是 的直径, 故①错误，②正确. , ， ，故③正 确. ， ，故④正确．综上，结论正确的个数是3. 中考考法 21 8.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的 虚线表示折痕，则 的度数是____. 中考考法 22 （第8题） 【点拨】如图，过点作于点 ，连接 .根据折叠方式可知，，， .的度数是 . 中考考法 23 9. [2026石家庄长安区期末] 若， 分别是圆上的两段劣 弧，且，则弦与弦 之间的关系是( ) C A. B. C. D. 无法确定 【点拨】如图，设为 的中点， ， . ， ，故选C. 中考考法 24 （第10题） 10. 如图，在 的正方形 网格中，一条圆弧经过，， 三点，那么 所对的圆心角的度数是( ) D A. B. C. D. 中考考法 25 （第11题） 11. 某酒店的圆形旋转门 （如图①），可看成由外围的 和3翼隔 风玻璃组成，外围圆有通道和 ，且它 们关于圆心 成中心对称，圆内的3翼隔风 玻璃可绕圆心 转动，且所 B A. B. C. D. 成的夹角 ，3翼隔风玻璃在转动过 程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温的作用. 例如： 当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃， 隔离，则通道 所对圆心角的度数的最大值为 ( ) 中考考法 26 （第11题） 【点拨】连接，， ， 的和为 .和关于圆心成中心对称, . 和 的最大值为 . , 与 的最小值为 .与 的最大值 中考考法 27 （第12题） 12. 如图，点是 的八等分 点．若，四边形 的周长 分别为， ，则下列说法正确的是( ) A A. B. C. D. ， 大小无法比较 中考考法 28 【点拨】如图，连接，． 点 是 的八等分点， ， ， ． 中考考法 29 （第13题） 13. [宣城中学自主招生] 如图, 是 的直径,点是半圆 上的三等分点, 点是劣弧的中点，点是直径 上 一动点.连接,若 , ,则 的周长的最小值 是_______. 中考考法 30 【点拨】如图，作点关于的对称点 ， 连接，交于点，连接， ， , 则 ， ，由两点之间线段最短，可知 此时的值最小，最小值为 的长. 点与关于对称，点 是半圆上的一个三等分点, 中考考法 31 . 点是 的中点, , . 是的直径, , 中考考法 , , 的最小值为2. 周长的最小值 . 中考考法 14. 如图，以的顶点为圆心，长为半径作 ， 分别交，于点，，交的延长线于点 . 中考考法 34 （1）求证： ； 【证明】连接 . 四边形 是平行四边形， . ， . ， . . 中考考法 35 （2）若所对的圆心角为 ，求 的度数. 【解】, . 所对的圆心角为 ,即 ， . 中考考法 36 课堂小结 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦相 等,所对的弦的弦心 距相等． 1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距 2.四个相等关系： ① 圆心角 ② 弧 弦 ④ 弦心距 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $