29.2.2 圆心角 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆心角”核心内容，涵盖圆的旋转对称性、圆心角定义及同圆（等圆）中圆心角-弧-弦关系定理。课堂导入从生活圆形商标实例切入，引导学生观察旋转重合现象，逐步过渡到圆的对称性探究，构建从现实到数学概念的学习支架。 其亮点在于融合数学核心素养，通过生活实例培养学生用数学眼光观察现实，定理推导与例题证明（如例1结合等边三角形）发展数学思维，符号语言和关系结构图助力数学语言表达。采用动手操作、问题驱动教学，课堂小结“知一得二”易记，能提升学生几何直观与推理能力，也为教师提供清晰教学逻辑和丰富素材。

29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆心角 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 新课导入 1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个) 宝马车商标 星巴克标志 曼秀雷敦标志 2 2.把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？ 图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化． 探究新知 . O A B 180° 1.剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论? 重合， 圆是中心对称图形. 2.圆的对称中心是什么？ 圆心就是它的对称中心 . O A B 180° 3.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为. 弦 7 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角 顶点在圆外，不是圆心角 顶点在圆周上，不是圆心角 圆心角 练一练 1. 优弧所对的圆心角大于平角， 2. 劣弧所对的圆心角小于平角， 3. 半圆所对的圆心角等于平角. A B O C D 如图，⊙O 中，当圆心角 ∠AOB = ∠A′OB′ 时，它们所对的弧和、弦 AB 和 A′B′ 相等吗？为什么？ 思考 相等 ∵∠AOB = ∠A′OB′， ∴射线 OB 与 OB′ 重合. 又 OA = OA′，OB = OB′， ∴点 A 与 A′ 重合，点 B 与 B′ 重合. 因此，与 重合，AB 与 A′B′ 重合， 即=，AB = A′B′. 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 符号语言： ∠AOB = ∠A′OB′ = AB A′B′ AB = A′B′ 重要结论1： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 符号语言： AB A′B′ = ∠AOB = ∠A′OB′ AB = A′B′ 重要结论2： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 符号语言： AB = A′B′ ∠AOB = ∠A′OB′ AOB A′OB′ = AB A′B′ = 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图，∠AOB = ∠A′OB′， 但≠，AB ≠ A′B′. 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同圆或等圆中 题设 结论 16 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 圆心角 相等 弧相等 弦相等 关系结构图 知识归纳 1．顶点在________的角叫作圆心角，能够重合的圆叫作________；能够________的弧叫作等弧；圆绕其圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是________________. 圆心 等圆 重合 旋转对称图形 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦也______． 3．在同圆或等圆中，两个______、两条_____、两条______中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 相等 相等 圆心角 弦 弧 例 1 例题与练习 A B C O 如图，在☉O 中，，∠ACB = 60°，求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. ∴ AB = AC，即△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，即 AB = BC = CA. ∴∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵， A B C O 例 2 下列说法正确吗？为什么？ (1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB＝ A′B′ ； (2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么AB＝A′B′. ︵ ︵ ︵ ︵ 解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件． 如图，AD＝BC.求证：AB＝CD. 例 3 证明：∵AD＝BC， ∴ AD＝BC. ︵ ︵ ∵ AC＝AC. ︵ ︵ ∴ AC+AD＝AC+BC. ︵ ︵ ︵ ︵ ∴ DC＝AB. ∴AB＝CD. ︵ ︵ 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________， _______________． （2）如果 ，那么____________，________________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么__________，_________． · C A B D E F O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O 解：相等 OECD, 2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD = 35°，求 ∠AOE 的度数。 解：∵ BC=CD=DE ， ∴∠BOC = ∠COD = ∠DOE. 又 ∠COD = 35°， ∴∠BOE = ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 105°， 则∴∠AOE = 180°-∠BOE = 75° ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 3.如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，AC=BC，M，N分别是OA，OB 的中点.求证MC =NC. ︵ ︵ 证明：AC=BC, ︵ ︵ AOC=BOC（同圆中，等弧所对的圆心角相等） OA、OB是⊙O的半径 OA=OB 又M、N分别是OA、OB的中点 OM=OA,ON=OB OM=ON 在△OMC 和△ONC中 OM=ON MOC=NOC OC=OC(公共边) △OMC △ONC（SAS） MC NC（全等三角形的对应边相等） 4．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有 (　　) ①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE； ③OF＝OC；④AC＝EF. A．1个　　　　B．2个　　　　 C．3个　　　　D．4个 D ︵ ︵ 3．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°. (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由． (2)求证：OC∥BD. ︵ ︵ (1)解：△AOC是等边三角形． 理由如下：∵ AC＝CD ， ∴∠AOC＝∠COD＝60°. 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形． ︵ ︵ (2)证明：由(1)，得∠AOC＝∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠COD＝60°， ∴△ODB为等边三角形． ∴OC∥BD. 课堂小结 圆的旋转对称性 圆心角 在同圆或等圆中 圆心角 弧 弦 知 一 得 二 圆心角 随堂检测 1. A.3 B.3 C.2 D.4 B 2.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________. 60° 3.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________. AC=BC 作业布置 完成对应课时练习． $