精品解析：广东省珠海市香洲区2025—2026学年度第二学期期末考试七年级数学试卷

香洲区2025—2026学年度第二学期义务教育阶段期末考试 七年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车电池的抗撞击能力 B. 了解某品牌手机折叠铰链的使用寿命 C. 调查某班级学生的视力情况 D. 调查某种柑橘的甜度情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用场景，根据定义，全面调查适用于调查范围小、无破坏性、要求结果准确的调查，具有破坏性或范围较大的调查适合抽样调查，据此判断各选项即可； 【详解】解：∵选项A调查汽车电池抗撞击能力，选项B调查手机折叠铰链的使用寿命，选项D调查柑橘甜度，这三项调查都具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查.选项C调查某班级学生的视力情况，调查范围小，对象数量少，无破坏性，适合全面调查； 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号即可判断所在象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符合第四象限点的坐标符号特征，点在第四象限． 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负数的非负平方根， ∴ ，A错误； ∵ ， ∴ ，B错误； ∵ ，符合算术平方根的计算规则， ∴ C正确； ∵ ， ∴ ，D错误． 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．其中器物上承受榫头的凹形洞称为卯（俗称“榫眼”），如图是某个构件的“榫眼”截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行，同旁内角互补，用减去已知角求出． 【详解】解：， ， ， ． 5. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据、建立平面直角坐标系， 则机器人的坐标是 6. 学校开展“爱阅读”活动，某班级统计了1月~6月全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），下列说法正确的是（ ） A. 4月份阅读数量为42本 B. 6月份阅读数量最大 C. 阅读数量超过40本的月份共有5个 D. 相邻的两个月中，1月到2月的月阅读数量增长最快 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图中的数据逐项判断即可． 【详解】解：A．由统计图可得：4月份阅读数量为56本，即A选项错误，不符合题意； B．由统计图可得：2月份阅读数量最大，即B选项错误，不符合题意； C．由统计图可得：阅读数量超过40本的月份有2、3、4、6月份，共有4个月，即C选项错误，不符合题意； D．相邻的两个月中，1月到2月的月阅读数量增长最快，即D正确，符合题意． 7. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，依据内错角和同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补，两直线平行，即可判断出正确的答案． 【详解】解：A、，，不能判定； B、，，不能判定； C、，，能判定； D、，，不能判定． 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A.     B. C.    D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下：    9. 如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 10. 若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题，选择一个真命题，再按要求写成“如果那么”的形式即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”是一个真命题， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．（答案不唯一） 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等式的性质，对原方程进行变形，即可得到结果． 【详解】解：， 等式两边同时加，得： ． 13. 已知是方程的解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把方程的解代入原式，得到关于的一元一次方程，然后求解出的值． 【详解】解：将代入， 可得， 解得． 14. “欲穷千里目，更上一层楼”，如图用5个大小形状完全相同的长方形硬纸片紧挨着坐标轴摆成“阶梯”图案，已知，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再结合点B所在的位置，即可得出点B的坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得， ∴， ∴点B的坐标为 ． 15. 如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是_______________． 【答案】 【解析】 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】优先化简立方根，算术平方根，去绝对值，再运算即可． 【详解】 解：原式 ． 17. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵，设，， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线求，再由对顶角相等得到； （2）先根据角度比例算出，由角平分线得出，最后通过内错角相等证两直线平行． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别为、、，点P的对应点为． （1）直接写出点的坐标； （2）在图中画出三角形； （3）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）图形见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵平移后的对应点为， ∴平移后的对应点为，即； 【小问2详解】 解：三角形如图所示： 【小问3详解】 解：如图，： 三角形的面积为． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2026年珠海推广非遗文化进校园活动，某校邀请了不同品类的非遗项目来校开展活动．活动后，学校随机抽取七年级部分学生调查最喜欢的非遗体验项目，每人只选一项，分为四类：A．斗门醒狮 ；B．金湾柴烧陶；C．三灶鹤舞；D．岭南苏裱． 并根据调查结果，将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上图表回答下列问题： （1）这次一共调查了_______名学生，图中“A”所在扇形的圆心角的度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若全校有学生1600人，请估计一下全校有多少人喜欢三灶鹤舞非遗文化． 【答案】（1）， （2）解：根据题意，B的频数为：（人），补图如图所示： （3）240人 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数除以所占百分比，圆心角的度数等于圆周角乘以所在扇形所占的百分比，计算即可； （2）根据题意，B的频数为：（人），补图求解即可； （3）利用样本估计总体的思想求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）； 答：全校有240人喜欢三灶鹤舞非遗文化项目． 20. 2026年全国低碳日举办时间定为6月17日，活动主题是“绿色转型、全民同行”，低碳生活是我们倡导的一种生活方式，而绿色消费也能为城市“减碳”，目前，全国很多饮品店都支持使用“自带杯”消费．某饮品店为自带杯的顾客提供优惠，中杯每个2元优惠，大杯每个5元优惠． （1）如果小佳不使用自带杯时买2个中杯拿铁和5个大杯拿铁需要140元，使用自带杯后买4个中杯拿铁和3个大杯拿铁需要103元，则该饮品店中杯拿铁和大杯拿铁的原价分别是多少元？ （2）该店铺在全国低碳日推出新活动，可以选择两种优惠套餐，只能二选一： 套餐A：全部饮品按自带杯优惠减免，总价再打9折； 套餐B：全部饮品按自带杯优惠减免，订单总价满200元再减30； 若某公司团建，为践行低碳理念，全部自带杯统一采购饮品，计划购买大杯拿铁的数量是中杯拿铁数量的2倍，若饮品订单总价已满200元，则购买多少杯中杯拿铁时，选择B套餐更划算？请写出所有符合条件的购买方案． 【答案】（1）饮品店中杯拿铁原价15元，大杯拿铁原价22元 （2）购买5或6杯中杯拿铁，选择B套餐更划算；方案一：买5杯中杯拿铁和10杯大杯拿铁；方案二：买6杯中杯拿铁和12杯大杯拿铁 【解析】 【分析】（1）设饮品店中杯拿铁原价元，大杯拿铁原价元． 由题意可得，求解即可； （2）设购买杯中杯拿铁，则购买杯大杯拿铁．优惠后中杯拿铁价格为元，大杯拿铁价格为元由题意可得：，求解即可； 【小问1详解】 解：设饮品店中杯拿铁原价元，大杯拿铁原价元． 由题意可得； 解得 答：饮品店中杯拿铁原价15元，大杯拿铁原价22元； 【小问2详解】 解：设购买杯中杯拿铁，则购买杯大杯拿铁．优惠后中杯拿铁价格为元，大杯拿铁价格为元； 由题意可得： 解得； ∵取正整数 ∴或； 故购买方案如下：方案一：买5杯中杯拿铁和10杯大杯拿铁；方案二：买6杯中杯拿铁和12杯大杯拿铁． 21. 综合与实践 一、教材理解： （1）如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； （2）如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： （3）如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； （4）若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【答案】（1）； （2）点；； （3）， （4）； 【解析】 【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【小问1详解】 解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； 【小问2详解】 解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； 【小问3详解】 ∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： 【小问4详解】 解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 五、解答题（三）：本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分． 22. 根据素材，解决问题． 阅读素材 素材1：如图展示了光线反射定理：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，即． 素材2：如图，潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，、代表两块互相平行放置的平面镜．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，． 问题解决： （1）任务单镜面：如图，在素材中，当光线经过镜面反射后呈射出，它的实际光路为光线经过镜面反射后沿射出，已知，则________； （2）任务双镜面：如图，改变素材中的两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过次反射后，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反，求的度数； （3）任务三镜面：如图，设镜子与的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，当且时，求与的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用入射角和反射角相等、，列式算出； （2）过点作，根据光线平行、入射角和反射角相等推出，，再通过等量代换得到； （3）结合前两问结论作两条平行线转移角度，利用平行线同旁内角互补化简，得到与的等量关系． 【小问1详解】 解：根据题意可知，， 则， 可得， 解得． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴由（2）可知， ∵， ∴由（1）可知， ∵， ， ∴，， ∴， 又∵且，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图1，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且、b满足． （1）点、坐标分别是___________、___________； （2）如图2，点为线段上一点，且图中阴影面积为，求点到轴的距离； （3）如图3，将点向左平移到点，过点作直线，点为上一动点． ①、之间满足的数量关系为____________________（用含的式子表示）； ②在点运动过程中，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①；②且 【解析】 【分析】（1）利用平方与算术平方根的非负性，分别令两项为，求出、，得到、坐标； （2）过点作轴，先算大三角形总面积，用总面积减阴影面积得出面积，再用三角形面积公式求出，即到轴距离； （3）①将点向右平移个单位长度，得到点，由平移平行关系推出在上，利用三角形面积相等列式化简，得到与的关系；②分点在轴上方、下方、轴上、上几种情况讨论，用坐标表示三角形面积，列不等式求出范围，再剔除落在上的点，得到最终取值． 【小问1详解】 解：， ，， ，， 点、坐标分别是，． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴DH． 【小问3详解】 ①解：如图，将点向右平移个单位长度，得到点， ∵点向左平移个单位长度得到点， ∴把线段向右平移个单位长度得到线段， ∴， ∵， ∴在上， 连接， ∴， 即， 故． ②解：如图，当在轴上方时，此时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在轴下方时，此时， ∵，， ， ∴m， ∴； 当在轴上时，此时，， 成立； 当在上时，不存在， 由， 可得， 解得， 综上所述，且m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香洲区2025—2026学年度第二学期义务教育阶段期末考试 七年级数学 说明： 1．全卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某批次汽车电池的抗撞击能力 B. 了解某品牌手机折叠铰链的使用寿命 C. 调查某班级学生的视力情况 D. 调查某种柑橘的甜度情况 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．其中器物上承受榫头的凹形洞称为卯（俗称“榫眼”），如图是某个构件的“榫眼”截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人位于，代表“未来”字样的机器人位于．若代表“强国有我”的机器人位于如图所示位置，则它的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 学校开展“爱阅读”活动，某班级统计了1月~6月全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），下列说法正确的是（ ） A. 4月份阅读数量为42本 B. 6月份阅读数量最大 C. 阅读数量超过40本的月份共有5个 D. 相邻的两个月中，1月到2月的月阅读数量增长最快 7. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A.     B. C.    D. 9. 如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 请你用“如果那么”的形式写出一个真命题______． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 13. 已知是方程的解，则________． 14. “欲穷千里目，更上一层楼”，如图用5个大小形状完全相同的长方形硬纸片紧挨着坐标轴摆成“阶梯”图案，已知，则点的坐标是________． 15. 如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是_______________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别为、、，点P的对应点为． （1）直接写出点的坐标； （2）在图中画出三角形； （3）求三角形的面积． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 2026年珠海推广非遗文化进校园活动，某校邀请了不同品类的非遗项目来校开展活动．活动后，学校随机抽取七年级部分学生调查最喜欢的非遗体验项目，每人只选一项，分为四类：A．斗门醒狮 ；B．金湾柴烧陶；C．三灶鹤舞；D．岭南苏裱． 并根据调查结果，将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上图表回答下列问题： （1）这次一共调查了_______名学生，图中“A”所在扇形的圆心角的度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若全校有学生1600人，请估计一下全校有多少人喜欢三灶鹤舞非遗文化． 20. 2026年全国低碳日举办时间定为6月17日，活动主题是“绿色转型、全民同行”，低碳生活是我们倡导的一种生活方式，而绿色消费也能为城市“减碳”，目前，全国很多饮品店都支持使用“自带杯”消费．某饮品店为自带杯的顾客提供优惠，中杯每个2元优惠，大杯每个5元优惠． （1）如果小佳不使用自带杯时买2个中杯拿铁和5个大杯拿铁需要140元，使用自带杯后买4个中杯拿铁和3个大杯拿铁需要103元，则该饮品店中杯拿铁和大杯拿铁的原价分别是多少元？ （2）该店铺在全国低碳日推出新活动，可以选择两种优惠套餐，只能二选一： 套餐A：全部饮品按自带杯优惠减免，总价再打9折； 套餐B：全部饮品按自带杯优惠减免，订单总价满200元再减30； 若某公司团建，为践行低碳理念，全部自带杯统一采购饮品，计划购买大杯拿铁的数量是中杯拿铁数量的2倍，若饮品订单总价已满200元，则购买多少杯中杯拿铁时，选择B套餐更划算？请写出所有符合条件的购买方案． 21. 综合与实践 一、教材理解： （1）如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； （2）如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： （3）如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； （4）若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 五、解答题（三）：本大题2小题，22小题13分，23小题14分，共27分． 22. 根据素材，解决问题． 阅读素材 素材1：如图展示了光线反射定理：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，即． 素材2：如图，潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，、代表两块互相平行放置的平面镜．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，． 问题解决： （1）任务单镜面：如图，在素材中，当光线经过镜面反射后呈射出，它的实际光路为光线经过镜面反射后沿射出，已知，则________； （2）任务双镜面：如图，改变素材中的两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过次反射后，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反，求的度数； （3）任务三镜面：如图，设镜子与的夹角，已知入射光线从镜子开始反射，经过次反射后，当且时，求与的等量关系． 23. 如图1，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且、b满足． （1）点、坐标分别是___________、___________； （2）如图2，点为线段上一点，且图中阴影面积为，求点到轴的距离； （3）如图3，将点向左平移到点，过点作直线，点为上一动点． ①、之间满足的数量关系为____________________（用含的式子表示）； ②在点运动过程中，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $