精品解析：北京市海淀区2024-2025学年高二下学期学业水平调研数学试卷

海淀区2025年高二年级学业水平调研 数学 2025.07 本试卷共6页，共两部分，19道题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 则是首项为1，公比为的等比数列， 则. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据除法的求导法则求导即可. 【详解】因为， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. －10 B. －40 C. 10 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理性质运算. 【详解】. 故选：D 4. 某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 108 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】根据全排列即可求解. 【详解】每条路线安排一男一女，故总的分配方法有, 故选：A 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上没有零点 C. 函数在区间上单调递减 D. 曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象判断原函数单调性判断ABC，根据导数在某点处几何意义可判断D. 【详解】由图可知：函数在单调递增，在单调递减. 对A，函数只有1个极大值点，故错误； 对B，函数在单调递减，不能确定有没有零点，故错误； 对C，数在区间上单调递减，正确； 对D，曲线在点处的切线斜率为，故错误. 故选：C 6. 已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因， 则有，解得， 令， 可得，此时满足的只有成立； 当时，显然， ①若是奇数，则，显然不满足； ②若是偶数，则，且， 即，可得即不成立； 综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查摆动数列的单调性应用，属于难题. 对于摆动数列通项的处理，一般考虑对负底数的幂指数按照为奇为偶进行分类讨论，有时还需得对个别项赋值求值判断，再综合考虑即可. 7. 甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】第三局结束比赛的概率为， 则在第三局结束比赛的条件下甲获胜的概率为， 故选：C 8. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 9. 已知函数的定义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数具有性质．下列四个函数中，具有性质的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意逐项验证函数具有性质，即可求解. 【详解】A：由的定义域为，，当时，， 此时，，，故不唯一，故不具有性质，故A错误； B：其定义域为， 当时，，当时，，则， 当时，不唯一，故不具有性质，故B错误； C：由的定义域为，，则， 则，即，则不唯一，故不具有性质，故C错误； D：由的定义域为，则， 由为增函数，也为增函数，所以在其定义域上单调递增，且值域为， 则对任意的时，都存在唯一的使，故D正确. 故选：D. 10. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后对分情况讨论逐一判断. 【详解】由，， 令，则或；令，则， 所以函数在单调递增，在单调递减. 在上单调递减. 对于A，当时，， 函数在单调递减，故A正确； 对于B，当时，，， 所以当时，根据上面对函数单调性的判断可知函数有最大值2，故B正确； 对于C，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减， 则函数有3个极值点，故C正确； 对于D，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，， 所以函数直线与曲线恰有3个交点，则D错误. 故选：D. 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知数列的通项公式为，则_____；记的前项和为，则_____．（用数字作答 【答案】 ①. 5 ②. 100 【解析】 【分析】将代入即可求出；先根据等差数列的定义证明数列是等差数列，再根据等差数列的前项和公式求出的表达式，再将代入即可求出. 【详解】因为，所以； 又因为， 所以，又， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：5；100 12. 已知函数，则其定义域为_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要使函数有意义，只须让真数，求解不等式即可得到函数的定义域；令，则，再根据复合函数的求导法则求导即可得到. 【详解】要使函数有意义，须满足，解得， 所以函数的定义域为； 令，则. 所以=. 故答案为：； 13. 现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析出试验成功有以下三种情况：①甲成功，②甲不成功乙成功，③甲乙都不成功丙成功，分别求出三种情况的概率，再求和即可得解. 【详解】试验成功有以下三种情况： ①甲成功，概率为； ②甲不成功乙成功，概率为； ③甲乙都不成功丙成功，概率为， 所以试验成功的概率. 故答案为： 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 15. 已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数； ②数列为等差数列； ③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①利用首项条件，推导出与首项的关系，判断的符号； ②通过递推关系或数学归纳法，验证其是否为等差数列； ③结合等差数列的通项，分析当趋近于无穷时的增长趋势； ④根据等差数列的通项，判断的关系，判断数列是否递减. 【详解】对于①，当时，，移项可得，即，，，即，， 故①正确. 对于②，当时，，已知，则， 等式两边同乘得，化简得，又，数列是以为首项，为公差的等差数列. 故②正确. 对于③，当时，则，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得，或， 取，则当n为大于等于3的奇数时，， 当n为奇数且时，， 对任意，不存在，当时，， 故③错误. 对于④，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，，即， ，.当时，， 则，， ，故一定为递减数列． 故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为和，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 17. 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; （3）已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）乙公司的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求解， （2）根据超几何概率的计算公式求解分布列，即可由期望公式求解， （3）根据贝叶斯公式计算大小，比较即可作答. 【小问1详解】 14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 【小问2详解】 幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 故 【小问3详解】 来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”， “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉” 则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 18. 已知函数． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求的斜率的最小值; （2）当时，求证：函数存在极小值； （3）若存在实数，使得关于的不等式的解集为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，求出导数，设，借助导数研究的单调性及最值，即可得解； （2）先求出导数，令，借助研究导数得到在上单调性. 又由，时，，根据零点存在定理即可得证； （3）令，将不等式，转化为的解集为，求出导数，分和两种情况讨论的单调性，极值点及零点情况，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为. 当时，， ， 设， 则. 令，因为，所以解得. 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取到最小值， 即切线的斜率的最小值为； 【小问2详解】 函数的定义域为. ， 令，则. 因为，所以，又因为，所以， 所以在上单调递增. 又因为， 当时，，所以， 又因为在上连续， 所以存在，使得，即， 所以当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以是的极小值点，函数存在极小值； 【小问3详解】 等价于，即， 令， 若存在实数，使得关于的不等式，即的解集为， ，令. （i）当时，的判别式， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 即在上单调递增. 因为，所以是唯一的零点， 当时，；当时，， 能满足使的解集为，符合题意； (ii)当时，的判别式， 故有两个不相等的实数根，由韦达定理可知， ，因此两根均为正根，且， 则可知在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在时取到极大值，在处取到极小值. 又因为，所以，， 又当时，，所以在上存在一个零点， 在上存在另外一个零点， 所以的解集为， 与的解集为相矛盾，故不符合题意. 综上可知，的取值范围为. 19. 给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 （1）写出两个数列； （2）若为数列，求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义直接写出. （2）按分别求出，并用反证法证明的情况即可. （3）设，，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式求出，再按分奇偶求出. 【小问1详解】 数列：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1（任取两个）. 【小问2详解】 当时，因为或， 所以或， 所以； 当时，因为；；； 均是数列，所以可以为， 假设存在，则此时， 记，其中， 记，其中， 由条件（2），之后必有， 直到集合中某一个数出现在数列的最后两项中； 同理集合中必有某一个数出现在数列的最后两项中， 由于集合，中的数均与同奇偶，所以同奇偶，不妨设均为奇数， 考虑数列中最后一项偶数，必不能满足条件（2），矛盾，假设错误． 所以. 【小问3详解】 设，， 由（2）知，必为一奇一偶， 考虑在数列中出现的先后顺序，与（2）同理，首次出现的必为最小值1或最大值， 接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共种先后顺序， 同理，在数列中出现的先后顺序共种， 先确定分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共种方法， 所以， 当时，； 当时，， 所以， ， 所以的最大值为4，当时取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2025年高二年级学业水平调研 数学 2025.07 本试卷共6页，共两部分，19道题，满分100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. 16 C. D. 32 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. －10 B. －40 C. 10 D. 40 4. 某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 108 D. 216 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数在区间上没有零点 C. 函数在区间上单调递减 D. 曲线在点处的切线斜率小于零 6. 已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 7. 甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数的定义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数具有性质．下列四个函数中，具有性质的是（ ） A. B. C. D. ． 10. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知数列的通项公式为，则_____；记的前项和为，则_____．（用数字作答 12. 已知函数，则其定义域为_____，_____． 13. 现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为_____． 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 15. 已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论： ①实数； ②数列为等差数列； ③当时，对任意，存在，当时，； ④当恒成立时，一定为递减数列． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; （3）已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 18. 已知函数． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求的斜率的最小值; （2）当时，求证：函数存在极小值； （3）若存在实数，使得关于的不等式的解集为，直接写出的取值范围． 19. 给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 （1）写出两个数列； （2）若为数列，求的值； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $