西藏自治区林芝市2025-2026学年第二学期质量监测试题高二数学

**基本信息** 聚焦概率统计、导数应用等核心知识，通过数学建模比赛、台灯近视调查等现实情境，考查数据意识与逻辑推理，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、正态分布、二项式系数|基础概念与运算，如第3题正态分布概率计算| |多选题|3/18|导函数图像与极值、随机变量分布列|能力辨析，如第9题结合导函数图像判断极值点| |填空题|3/15|分段函数求值、概率递推、函数零点|情境应用，如第13题概率转移问题| |解答题|5/77|二项式定理、函数极值、统计案例、导数综合|综合探究，如17题数学建模成绩分析求中位数与分布列，18题独立性检验分析近视与台灯光照关系|

林芝市2025-2026学年第二学期质量监测试题 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C C A B D CD AB BCD 12．4 13．0.61 14． 15．(1)1，64；(2)60，64. 【分析】（1）根据展开式的公式及定义可求系数的和； （2）由展开式的通项公式可求的系数. 【详解】（1）令，得，所以二项展开式中各项系数之和为1 二项展开式中各二项式系数之和． （2）通项公式， 令得，故的系数为， 令得，故常数项为第7项． 16．(1) (2)最小值为0，最大值为4． 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件--函数值为4，导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极大值点. （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【详解】（1），， 当时，有极大值4，， ，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在取得极大值，满足题意，故． （2）由（1）可得，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，，， 综上可知，在上的最小值为0，最大值为4． 17．(1)，中位数为70.4 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1即可求，再根据中位数的求法求解； （2）由题可知随机变量X服从超几何分布，求解． 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，故中位数为70.4； （2）由题，参训 10 人中：A组 6 人，B组 4 人。 X的所有可能取值：0,1,2,3； ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 18．【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. （2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得，，，. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 方差 19．(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林芝市2025-2026学年第二学期质量监测试题 高 二 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（   ） A．3.9 B． C．4.2 D． 3．已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（    ） A．0.35 B．0.25 C．0.15 D．0.05 4．在的展开式中，的系数是（    ） A．24 B．10 C． D． 5．甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（     ） A． B． C． D． 6．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（ ） A．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明模型的拟合效果越好 B．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于 C．独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定 D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 8．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分. 9．若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（     ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极值点 D．函数在处的切线斜率大于0 10．已知随机变量的分布列如下，且随机变量满足，若，则（   ） A． B． C． D． 11．若，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若满足，则______． 13．已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______. 14．已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知二项式，求： (1)展开式中各项及各二项式系数之和； (2)展开式中含项的系数及常数项． 16．（本小题满分15分） 已知函数（），在处取得极大值4． (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值． 17．（本小题满分15分） 某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)得分优秀的学生分为A组[80,90)、B组[90,100]两个区间段，按这两组人数比分层抽取10人开展赛前培训，再从这10名参训学生里任选3人组成校代表队；设随机变量为选出的3人中来自B组的学生人数，求的分布列与数学期望． 18．（本小题满分17分） 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 (1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； (2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，设随机变量为选出的3人中近视的人数，求的分布列与方差． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 19．（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 高二数学第4页，共4页 高二数学第3页，共4页 高二数学第2页，共4页 高二数学第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $