精品解析：山东日照市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025级高一下学期期末考试 数学 2026.07 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该扇形的半径为，依题意可得，再由扇形面积公式计算可得. 【详解】设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则， 则该扇形的面积为. 故选：B. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 4. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案． 【详解】因为，所以， 又，，，解得， ，且，， 即向量与的夹角为． 故选：A． 5. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理求出球的半径，进而即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为， 由题意可知，， 则在直角中，， 所以球的表面积． 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性以及绝对值函数的图像变换依次判断即可 【详解】选项A，当时，，因为在上不单调，故在不单调，所以A错误. 选项B，周期为，不是，故B错误 选项C，根据绝对值的函数变换规律可知草图如下所示，所以不是周期函数，故C错误. 选项D，据绝对值的函数变换规律可知草图如下所示，所以的最小正周期为，且在区间上单调递减 7. 在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定定理，结合面面垂直的性质判断射影的位置. 【详解】 已知，，且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面， 又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，且两平面的交线为， 根据面面垂直的性质定理，平面内的点向平面作垂线，垂足必在两平面的交线上，故A正确. 8. 设实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式与所求式分别平方后相加，结合同角三角函数的平方关系和两角和的正弦公式，利用正弦函数的值域求最大值. 【详解】设，已知，将两式分别平方相加得 ， 左边   因此有，整理得， 由正弦函数的值域可知，故，即， 当且仅当时等号成立. 因此的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由，得存在过的平面，则，由，得，因此，A正确； 对于B，由，，得，B正确； 对于C，，当时，满足，此时不成立，C错误； 对于D，当，，得或相交，D错误. 10. 已知函数的一个零点是，函数，则（ ） A. 在区间上的值域为 B. C. 若方程的相邻的两根分别为，，则 D. 函数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先根据函数的零点与和差的正弦公式求出，然后根据换元法和正弦函数的性质求出值域；对于B，利用诱导公式进行化简即可；对于C，先化简的表达式，然后令其为0，求出零点，进而验证；对于D，先根据诱导公式和二倍角的余弦公式化简，然后结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】因为函数的一个零点是，所以. 即，展开化简得， 即，所以，即. 由于，所以. 所以. 当时，，所以，A错误； ，B正确； 所以. 因为，所以令，即， 所以，即， 因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确； ，由于， 所以，所以，所以. 所以当时，，此时取最大值为1， 所以的最大值为，D正确. 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得的轨迹为如图以为顶点，为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，为高，为母线的圆锥侧面的， 则点的轨迹所形成图形的面积为：，故B正确； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C错误； 对于D，注意到，过作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的概念，结合三角函数恒等变换求解即可 【详解】因为角终边经过点，所以， 所以. 13. 如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 【答案】 2 【解析】 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，，. 因为为圆心为的单位圆的一条动直径， 设，则， 所以，， 所以   ， 其中. 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 14. 如图，在体积为1的三棱锥的侧棱，，上分别取点，，，使，.记为平面，平面，平面的交点，则三棱锥的体积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出图形确定的位置，将三棱锥的体积转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可． 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，分别是图象的最低点和最高点，. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）由可求，再由，，，可求得A，继而可求，于是可求函数的解析式； （2）通过平移变换可得，则，从而即可求得函数的单调递增区间. 详解：(1)由图象可得： ，所以的周期. 于是，得， 又，∴∴， 又将代入得，， 所以，即， 由得，， ∴. （2）将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度， 得到的图象对应的解析式为：， 再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为， 由，得,，, ∴函数的单调递增区间为. 点睛：本题考查由的部分图象确定解析式，求得A与的值是关键，也是难点，同时考查函数的 性质以及平移变换，属中档题. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，求三棱锥的体积. 【答案】（1）取中点，连接,，由于为的中点，所以,且, 又在中，,N为BC中点， 所以，，且, 所以，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，, 又平面，平面，所以，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接,，证明四边形为平行四边形，证得，最后证明平面; （2）连接交于点，连接，作于点,由平面，可证得，再通过平行关系可以得到，，再由平面平面可证得平面，从而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，连接，作于点, 由平面，平面，平面平面， 所以，所以, 又在中，, 所以，,又为中点， 所以，， 所以，, 所以， 由于侧面是边长为2的正三角形，，， 平面平面,平面平面,平面， 所以，平面, 所以，. 17. 已知在平面四边形中，，，，平分，与相交于点. （1）求的长； （2）若，求平面四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和同角三角函数的平方关系求出，，再由代入面积公式化简即可得出答案. （2）在中由余弦定理求出，再由面积公式即可求出，，即可求出平面四边形的面积. 【小问1详解】 因为，则是钝角，所以， 因为平分，则， 又因是锐角，则，则， 且， ，则 所以 解得. 【小问2详解】 在中，， 所以，因， 代入解得， 又因， ， 所以平面四边形的面积为：. 18. 已知、是夹角为的不共线的单位向量，对于同一平面的任意，存在唯一确定的实数对，使得，我们把实数对称作关于基底的坐标，记作. （1）若，，求； （2）若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）由题意可得，，根据平面向量数量积的定义和夹角公式可得出关于的等式，解之即可； （3）将、用、表示，根据结合平面向量数量积的运算性质可得，令，可得，利用平面向量数量积的运算性质以及三角恒等变换可求得的最大值. 【小问1详解】 当时，由平面向量数量积的定义可得， 因为，即，所以 . 【小问2详解】 因为，，则，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， ，同理可得， 因为与的夹角为，则， 解得. 【小问3详解】 因为为的中点，，则，， 所以 ， 又因为 ， 所以，即， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以， 即的最大值为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得； （2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得； ②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； 【小问2详解】 ① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期期末考试 数学 2026.07 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 4. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 8. 设实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数的一个零点是，函数，则（ ） A. 在区间上的值域为 B. C. 若方程的相邻的两根分别为，，则 D. 函数的最大值为 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则的值为_____. 13. 如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 14. 如图，在体积为1的三棱锥的侧棱，，上分别取点，，，使，.记为平面，平面，平面的交点，则三棱锥的体积等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示，分别是图象的最低点和最高点，. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，求三棱锥的体积. 17. 已知在平面四边形中，，，，平分，与相交于点. （1）求的长； （2）若，求平面四边形的面积. 18. 已知、是夹角为的不共线的单位向量，对于同一平面的任意，存在唯一确定的实数对，使得，我们把实数对称作关于基底的坐标，记作. （1）若，，求； （2）若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，，，，、分别为、中点，求的最大值. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $