精品解析：山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试数学试卷

山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试 数学试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断两角是否相差整数倍即可. 【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误； 对于B，，所以与角终边相同，故B正确； 对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误； 对于D，，所以与角终边不相同，故D错误. 故选：B. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：A. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D. 4. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系，以及相应的性质定理，结合图形逐项分析即可. 【详解】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 5. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 7. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，求出桶的深度，得到雨水的高度，进而求出雨水的体积，圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为，从而得到本次降雨的日降水量. 【详解】如图所示，cm，cm，， 过点作⊥于点，则，cm， cm， 桶的深度为cm， 故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm， 故cm， 雨水的体积， 圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为， 故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm. 故选：A 8. 如图，把画有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，折叠后A，B两点之间的距离为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象过点，可求得，利用折叠后A，B两点之间的距离，可求得，进而可求函数值. 【详解】由函数的图象过点，可得，所以， 又因为，所以，所以， 又因为折叠后A，B两点之间的距离为，所以， 解得，所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，所以不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，， 若与共线，则，解得， 所以当时，与共线，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求出函数中的参数可得函数的解析式，然后根据余弦函数的性质逐项分析即可. 【详解】由图象可得，设函数的周小正周期为， 由图象可得，所以， 由， 故A选项正确； 因为， 所以，即 又，所以当， 所以函数， 令，即 令， 故函数的图象不关于点对称，故B选项不正确； 因为，所以， 由在单调递减，所以C选项正确； 的图像向左平移个单位后得到： ， 由的定义域为关于原点对称， 且， 所以的图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数， 故D选项不正确； 故选：AC. 11. 在棱长为4的正方体中，已知E，F分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为3 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，点在线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断A；B选项，先得到，故点在线段上，连接，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断B； C选项，由，可得点的轨迹为点为圆心，半径为4的圆的一部分，由此可求轨迹长度.；D选项，取线段的中点，由对称性知，数形结合得到，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A选项，当时，， 故，即， 所以点在线段的中点，连接相交于点，则为中点， 所以，由正方体性质可得平面，则平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，所以球心在的延长线上， 设，则， 由勾股定理得，即，解得，故A正确； 对于B选项，当时，， 故，即，故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以三棱锥的体积， 所以，又， 所以，故三棱三棱锥的体积为，故B错误； 对于C选项，因为，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又平面，且，故， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆的一部分， 如图所示，其中，， 故，则， 则，则轨迹长为，故C正确. 对于D选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， 此时三点共线， 又，所以，故C正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 13. 在中，，，，若D为BC边的中点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】借助向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由D为BC边的中点，则， 则 . 故答案为： 14. 关于的不等式在上恒成立，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】与零点需相同，且函数值正负相反，所以，，解得，故，经检验满足要求，代入求出答案. 【详解】，故当， 即时，， 当，即时，， 当或，即或时，， 要想不等式在上恒成立， 与零点相同， 且在上，在时，， 所以，，故， 故或，解得， 故，， 经验证，满足上，在时，， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为 （2）实数的取值范围 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可； （2）利用图象平移可得，令，转化为在上有两个解，结合图象可得答案. 【小问1详解】 ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 所以，与有两个交点， 作出，的图象如图所示，所以， 所以实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接得即可由线面平行判定定理证明； （2）根据已知条件找出四棱锥的高，求出底面积，再利用锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，连接， 在正方形中，为的中点，又为侧棱的中点， 所以在中，为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为分别为侧棱的中点，所以为的中位线， 所以，且， 在是正方形中，，， 所以，且， 所以四边形为梯形， 又平面平面，且平面平面， 在是正方形中，，且平面 所以平面，又平面， 所以，所以，所以梯形为直角梯形； 又，为侧棱的中点， 所以，且，所以梯形的面积为:， 由平面，又平面， 所以，所以， 又，所以平面，即平面， 所以为四棱锥的高，且， 所以四棱锥的体积为：. 17. 已知的内解所对的边分别为，满足． （1）求证：； （2）若为上一点，且，求的面积的最大值． 【答案】（1） 因为， 由正弦定理可得，即， 因为，，所以， 所以，所以或． 若，则； 若，则，舍去； 所以成立． （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再逆用差角正弦公式可得，结合角的取值范围即可证明； （2）在中，由，，可得，利用正弦定理可求得，，再利用三角形的面积公式，结合倍角正弦公式可化简为，结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，因为，，所以， 由正弦定理得，即，所以． 在中，由正弦定理得， 因为，所以．因为， 又，所以， 所以的面积． 又，所以，所以， 所以当，即时，的面积最大值为2． 18. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC. （1）求证：平面BDE； （2）设为棱上一点（不包含端点）， ①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】（1）证明：如图所示，连接，由题意可知平面，四边形是菱形， 平面，所以，又因为D为棱的中点，是正三角形， 所以，又，不面， 所以平面， 又因为平面，所以， 在菱形中，有， 而D，E分别为棱的中点，则，所以， 因为，平面，所以平面；    （2）①；②二面角的取值范围 【解析】 【分析】（1）连接，先证明平面，则，易得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）①取的中点，取的中点，连接，证明，即可得出图形，再求出四边形面积即可；②过作交于，连接，根据线面垂直的性质可得，则二面角的平面角即为，再解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，取的中点，连接， 则且，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以且，因为分别为的中点， 所以且，所以， 所以过过G，B，D三点的截面即为四边形， 因为平面，平面，所以， 故截面为直角梯形，又底面是边长为4的等边三角形且， 所以，， 所以截面面积为； ②过作交于，连接，则， 因为平面，平面，所以， 故二面角的平面角即为， 若为棱上一点，且， 因为， 所以， ， 所以， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，所以， 所以， 故二面角的取值范围. 【点睛】 19. 已知，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为. （1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； （2）已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】（1）解集的“区间长度”为； （2）（i）或；（ii）的最大值为 【解析】 【分析】（1）由定义直接计算即可； （2）（i）不等式解集为或，设的两个根为，设的两个根为，结合三角函数的性质计算可求得的值；（ii）由（i）可得，即，利用基本不等式，结合三角函数的性质计算可求得的最大值. 【小问1详解】 当时，， 由，可得，故或， 又函数的定义域为，所以.或， 所以解集的“区间长度”为； 【小问2详解】 （i），，其中， 故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即， 又，解得或，故或， 所以 ， 或 ，所以或， （ii）由（i）可得，即， 即， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，所以或， 由于，故，所以， 所以舍去，故， 所以， 因为，，所以， 由，可得， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试 数学试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 8. 如图，把画有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，折叠后A，B两点之间的距离为，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 11. 在棱长为4的正方体中，已知E，F分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为3 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则的值为___________. 13. 在中，，，，若D为BC边的中点，则______． 14. 关于的不等式在上恒成立，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 17. 已知的内解所对的边分别为，满足． （1）求证：； （2）若为上一点，且，求的面积的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC. （1）求证：平面BDE； （2）设为棱上一点（不包含端点）， ①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积； ②求二面角的取值范围. 19. 已知，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为. （1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； （2）已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $