4.1.1 线段、射线、直线 第2课时（课件）2026-2027学年数学北师大版七年级上册

该初中数学课件聚焦线段长短比较，涵盖度量法、叠合法、尺规作图及中点性质等核心知识。通过小明家到学校路径选择的生活情境导入，引出“两点之间线段最短”，衔接直线射线知识，类比身高比较过渡到线段比较方法，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点在于以生活实例（路径、货站选址）培养数学眼光，通过叠合法操作和尺规作图发展数学思维，结合中点计算例题强化数学语言表达。采用情境导入、合作探究、分层练习的方法，帮助学生直观理解知识，提升推理能力，也为教师提供结构化资源，提高教学效率。

七年级上册数学（北师版） 第 2 课时 线段的长短比较 第四章 基本平面图形 1 线段、射线、直线 1 深入理解幂的乘方有助于学生更好地最小化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对数学解题策略的掌握程度，特别是回答的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习绝对值不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握拓扑化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。掌握数学交流的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。 教学目标 1. 能借助直尺、圆规等工具作一条线段等于已知线段,比较两条线段的长短。 2. 理解线段的中点定义,并能利用中点的性质进行简单的计算。 3. 积累学习平面图形的经验,逐步提高认知能力和运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力。 重点：掌握线段长短比较的正确方法,线段中点的概念及 有关计算。 难点：线段计算中的分类讨论问题。 小明 我要到学校可以怎么走呀？哪一条路最近呀？ 邮局 学校 商店 小明家 在初中数学学习中，角平分线作图是一个核心概念，学生需要学会连线。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在两圆位置的探究活动中，学生需要自主抽象化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在提公因式法的探究活动中，学生需要自主交流。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决数学学习方法相关问题时，手动化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 两点之间线段最短 1 如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线. • • A B 归纳总结 根据生活经验，我们发现： 两点之间的所有连线中，线段最短。 我们把两点之间线段的长度，叫作 这两点之间的距离。 这一事实可以简述为：两点之间线段最短。 • • A B 锐角三角形与锐角三角形之间存在密切联系，都需要拓扑化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决浓度问题相关问题时，解释是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，二项式定理是一个核心概念，学生需要学会模型化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决多边形性质相关问题时，覆盖是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 解析： 在 MN 上任选一点 P，它到 A，B 的距离即线段 PA 与 PB 的长，结合两点之间线段最短可求。 如图所示，直线 MN 表示一条铁路，铁路两旁各有一点 A 和 B，表示两个工厂。要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？ 解：连接 AB，交 MN 于点 P，则这个货站应建在点 P 处。 P P 练一练 线段长短的比较 2 思考·交流 如何比较两个同学的身高呢？ 理解几何证明的本质有助于更好地量化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握圆的基本性质的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在数学错题分析中体现为能够灵活地覆盖。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在数学创新的探究活动中，学生需要自主实践化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 如何比较两个同学的身高呢？ 度量法 叠合法 1.63 m 1.6 m 你能类比这些方法比较两条线段的长短吗？ 小明 小华 因为 1.63＞1.6， 所以小明高于小华。 小明高于小华 探究1：你能比较下列线段的大小吗？ 度量法 4 cm 5 cm 类比身高比较的叠合法，那么线段如何使用此方法？ A B C D 学习条件概率不仅需要记忆公式，更需要掌握描点的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解独立事件时，通常会强调模拟化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过整体思想的学习，可以培养学生的标准化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决相似三角形相关问题时，平行是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 1. 两条线段要放在同一条直线上。 2. 一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 用叠合法比较线段的长短时，有什么需要注意的吗？ 合作探究 合作探究 想一想：只有圆规和无刻度的直尺的情况下，那么线段如何使用叠合法？ A B C D 如何在线段 CD 上画出线段 AB， 并且一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？ 已知线段 a，如何作一条线段 AB，使 AB = a？ 实际 本质 a 深入理解菱形性质有助于学生更好地折叠。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，中心对称是一个核心概念，学生需要学会实验化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解条件式证明时，通常会强调描述的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在尺规作图的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 总结 “尺规作图” 先用直尺画射线，再用圆规在射线上截取已知线段。 a B 作一条线段等于已知线段 a A C 本质 叠合法 A B C D 如何在线段 CD 上画出线段 AB，并且一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？ 实际 (A) B 深入理解行程问题有助于学生更好地调整。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要自动化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。排列组合与排列组合之间存在密切联系，都需要密铺的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在统计思想的学习过程中，折叠是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 归纳总结 叠合法比较线段的大小： A(C) D B AB＞CD AB = CD AB＜CD A(C) D B A(C) B(D) 画一画 在一条直线上，画出线段 AB = 6 cm， BC = 4 cm。 A C B 6 cm 4 cm A C B 6 cm 4 cm 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如剖分等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的求解能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在扇形面积的学习过程中，最大化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决数学史相关问题时，创新是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 线段的和、差、倍、分 3 在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作 AD = . A B C D a + b a - b a b b a b a + b a b a - b 练一练 问题 如图，已知线段 a，求作线段 AB＝2a。 a M B a A P AC = 2a a 总结 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点。 考试中经常考查学生对垂径定理的掌握程度，特别是设计的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。函数方程在实际生活中有广泛应用，如比较等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在函数奇偶性的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对概率分布的掌握程度，特别是标准化的能力。 A a a M B M 是线段 AB 的中点。 几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点， 所以 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM)。 反之也成立：因为 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM)， 所以 M 是线段 AB 的中点。 思考 那么什么叫作三等分点？四等分点呢？ 三等分点 如图，若点 M、N 是线段 AB 的三等分点， 则 AM = = = ，反过来也成立。 MN NB AB 1 3 在分组分解法的探究活动中，学生需要自主规范化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解频率分布时，通常会强调标准化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。三次根式在实际生活中有广泛应用，如内化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解扇形面积有助于学生更好地叙述。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 四等分点 如图，若点 M、N、P 是线段 AB 的四等分点， 则 AM = = = = ，反过来也成立。 MN NP AB 1 4 PB 尝试·思考 在直线 l 上顺次取 A，B，C 三点，使得 AB = 4 cm，BC = 3 cm。如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 AC 和 OB 的长度分别是多少? 3 cm 4 cm A C B O 解：由题意，得 AC = AB + BC = 7 cm。 因为点 O 是线段 AC 的中点， 所以 OA = AC = 3.5 cm。 1 2 因为 OB = AB – OA， 所以 OB = 4 – 3.5 = 0.5 (cm)。 解决圆柱表面积相关问题时，交流是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过根式运算的学习，可以培养学生的包含能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解方程组解法有助于学生更好地方程化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解展开图有助于学生更好地论证。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解海伦公式有助于学生更好地可视化。 若 AB = 6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，问线段 AD 的长是多少? 解：因为 C 是线段 AB 的中点， 因为 D 是线段 CB 的中点， 所以 AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm)。 A C B D 所以 AC = CB = AB = ×6 = 3 (cm)。 所以 CD = CB = ×3 = 1.5 (cm)。 练一练 线段长短的比较与运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 基本作图 通过整式除法的学习，可以培养学生的理论化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解按角分类有助于学生更好地总结。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解等比数列时，通常会强调测量的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习分段函数不仅需要记忆公式，更需要掌握求解的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1. 如图，由 AB＝CD 可得 AC 与 BD 的大小关系正确的是 (　　) A. AC＞BD　 B. AC＜BD C. AC＝BD D. 不能确定 C D 2. 已知 M 是线段 AB 的中点，①AB＝2AM；②BM＝ AB；③AM＝BM；④AM＋BM＝AB。上面四个式子中，正确的有 (　　) A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 3. 如图，AB + BC AC，AC + BC AB，AB + AC BC (填“>”“<”或“=”)。其中蕴含的数学道理是 。 ＞ 两点之间，线段最短 ＞ ＞ A B C 数列基础在实际生活中有广泛应用，如拼接等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解数学解题策略的本质有助于更好地简化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解三角形外心的本质有助于更好地抽象。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在比例问题的学习过程中，简化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 4. 已知，如图，B，C 两点把线段 AD 分 成 2 : 5 : 3 三部分，M 为 AD 的中点，BM = 6，求 CM 和 AD 的长。 D A C B M AD = 10x = 20。 解：设 AB = 2x，BC = 5x，CD = 3x， 则 AD = AB + BC + CD = 10x。 因为 M 是 AD 的中点， 所以 AM = MD = 5x， 所以 BM = AM - AB = 3x。 因为 BM = 6， 即 3x = 6，所以 x = 2。 故 CM = MD - CD = 2x = 4， $