7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义聚焦空间点线面位置关系核心考点，涵盖平面基本事实及推论、空间线线/线面/面面位置关系、等角定理及异面直线所成角，按“定义-定理-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如共点共线共面证明策略）、真题训练（含教材改编题与模拟题），帮助学生系统构建立体几何认知框架。 讲义以长方体模型为直观载体培养空间观念（数学眼光），通过逻辑推理证明（如三点共线、三线共点）发展理性思维（数学思维），设置分层练习（基础辨析、能力提升），配合平移法求异面直线角等技巧，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

7．2　空间点、直线、平面之间的位置关系 [课标解读] 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．　2.了解四个基本事实和等角定理，并能应用定理解决问题． 1．平面的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. (2)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间两直线的位置关系 提醒：(1)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (2)异面直线不具有传递性． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 提醒：判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”． 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．特别地，当两条异面直线所成的角是直角时，则称这两条直线互相垂直． (2)范围： . 常用结论 1．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．(应用见跟踪训练2) 2．唯一性定理(应用见限时规范训练T1) (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (3)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(苏教必修二P166T4)下列叙述中，正确的是(　　) A．因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α B．因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ C．因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD∈α D．因为AB⊂α，AB⊂β，所以α∩β＝AB 解析：D　对于A，因为P∈α，Q∈α，所以PQ⊂α，故A错误；对于B，因为P∈α，Q∈β，而无条件P∈β，Q∈α，所以不能得到α∩β＝PQ，故B错误；对于C，因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD⊂α，故C错误；对于D，因为AB⊂α，AB⊂β，所以α∩β＝AB，故D正确．故选D. 3．(人A必修二P132T2(2))若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线与a是异面直线 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内存在唯一一条直线与a平行 D．α内的所有直线与a都相交 解析：B　设a∩α＝A，对于A，α内过A点的直线与a共面，故A错误；对于D，在平面α内，不过A点的直线与a异面，故D错误．对于B、C，若存在b⊂α，b∥a，则由于a⊄α，b⊂α，所以a∥α，这与已知矛盾，故B正确，C错误．故选B. 4．(北师大必修二P227BT1)正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN夹角的大小为(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：D　取CD的中点E，连接C1E，ME，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，所以ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四边形B1C1EM为平行四边形，所以C1E∥B1M，所以异面直线B1M与CN所成的角为直线C1E，CN所成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，所以∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，所以C1E⊥CN，所以直线B1M与CN所成角的大小为90°.故选D. 考点一　平面的基本事实及应用 例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中． 图1　　　　　图2　　　　　　图3　 (1)如图1，若AC∩BD＝O，A1C∩平面BDC1＝E，求证：C1，E，O三点共线； (2)M，N分别为AB和C1D1的中点，P，Q分别为BC和CC1的一个三等分点(都靠近C端)． ①如图2，求证：AP，DC，D1Q三线共点； ②过点M，N，Q三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)． 解：(1)证明：如图，连接A1C1， 因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面BDC1，所以C1是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点， 因为AC∩BD＝O，A1C∩平面BDC1＝E， 所以O∈AC，AC⊂平面A1ACC1，O∈BD，BD⊂平面BDC1， 所以O是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点， 所以平面A1ACC1∩平面BDC1＝OC1， 又E∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，E∈平面BDC1， 所以E是平面A1ACC1与平面BDC1的公共点， 所以E∈OC1，即C1，E，O三点共线． (2)①证明：如图，分别延长AP，DC交于点R，连接D1R， 因为R∈直线DC，DC⊂平面ABCD，PC＝AD，BC∥AD， 所以CR＝DR，又D1D∥C1C， 所以D1R与C1C的交点为C1C的三等分点，即点Q， 所以AP，DC，D1Q三线共点． ②如图，六边形MPQNTS即为所求作的截面． 共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 跟踪训练1　如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E，F分别为PD，PB的中点，点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且DG＝3AG，BH＝3AH. (1)若AB＝3，PA＝5，求四棱锥P-ABCD的体积； (2)求证：E，F，G，H四点共面； (3)求证：直线EG，FH，PA三条直线交于一点． 解：(1)因为AB＝3，PA＝5，所以正四棱锥P-ABCD的高h＝＝＝4， 所以正四棱锥P-ABCD的体积V＝×4＝24. (2)证明：连接BD，如图． 因为点E，F分别为PD，PB的中点， 所以EF∥BD，EF＝BD， 又点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且DG＝3AG，BH＝3AH， 所以GH∥BD，GH＝BD， 所以EF∥GH，所以E，F，H，G四点共面． (3)证明：由(2)知EF∥GH，EF≠GH， 所以直线EG，FH相交，记交点为M， 所以M∈EG，又EG⊂平面PAD， 所以M∈平面PAD， 同理可得M∈平面PAB， 又平面PAB∩平面PAD＝PA， 所以M∈PA，即直线EG，FH，PA三条直线交于一点． 考点二　空间位置关系的判断 例2　(多选)(人A必修二P132T9改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线A1M与BN是相交直线 解析：CD　对于A，因为M∈平面C1D1DC，A∉平面C1D1DC，CC1⊂平面C1D1DC，且M∉CC1，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，如图所示，连接AD1，BC1，因为A，B，M∈平面AD1C1B，N∉平面AD1C1B，且直线BN不过M点，所以直线AM与BN是异面直线，故B错误；对于C，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，A1，B，N，M四点共面，又BN⊂平面A1BNM，M∈平面A1BNM，B1∉平面A1BNM，M∉BN，所以直线BN与MB1是异面直线，故C正确；对于D，由C选项可知，MN∥A1B，MN＝所以直线A1M与BN是相交直线，故D正确．故选CD. 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．” 跟踪训练2　(2025·山东济南三模)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是(　　) 解析：D　对于A，如图(1)，PQ∥CD∥AB∥MN，M，N，P，Q四点共面，故A不是异面直线； 图(1) 对于B，如图(2)，MP∥GH∥EF∥NQ，M，N，P，Q四点共面，故B不是异面直线； 图(2) 对于C，如图(3)，MP∥KL∥NQ，M，N，P，Q四点共面，故C不是异面直线； 图(3) 对于D，如图(4)，PQ∈平面MPQ，N∉平面MPQ，M∈平面MPQ，M∉直线PQ，则MN与PQ是异面直线，故D正确．故选D. 图(4) 考点三　异面直线所成的角 例3　(1)(2026·山东潍坊一模)如图，在棱长均相等的正三棱柱中，P，Q为三棱柱的顶点，M，N为所在棱的中点，设MN与PQ所成的角为α，则cos α＝(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析：C　如图，连接PR，由M，N为所在棱的中点，则MN∥PR，故PR与PQ所成的角的大小也为α，即有cos α＝|cos ∠QPR|，设该正三棱柱棱长为a，则PQ＝PR＝a，则cos ∠QPR＝，故cos α＝.故选C. (2)在四面体ABCD中，BC＝2，∠ABC＝∠BCD＝90 °，且AB与CD所成的角为60°.若该四面体ABCD的体积为，则它的外接球半径的最小值为(　　) A． B．2 C．3 D． 解析：B　依题意，可将四面体ABCD补形为如图所示的直三棱柱ABE-FCD.因为AB与CD所成的角为60°，所以∠DCF＝60°或120°.设CD＝x，CF＝y，外接球半径记为R，外接球的球心为O.易知AF∥平面BCDE，所以点A到平面BCDE的距离等于点F到平面BCDE的距离，于是V四面体A-BCD＝V四面体F-BCD＝V四面体B-CDF＝·BC·S△CDF＝×2×＝，所以xy＝9.在Rt△OCO2中，R2＝OC2＝＝1＋2＝1＋DF2，在△CDF中，由余弦定理，得DF2＝x2＋y2－2xy cos ∠DCF，显然当∠DCF＝60°时，外接球的半径会更小，此时DF2＝x2＋y2－xy，所以R2＝1＋(x2＋y2－xy)≥1＋(2xy－xy)＝1＋xy＝4，所以R≥2，故它的外接球半径的最小值为2.故选B. 求异面直线所成角的方法 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 跟踪训练3　(2026·浙江温州期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，AA1＝4，则异面直线A1B，AD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　如图，连接D1C，AC，由题可得A1D1∥AD∥BC，又A1D1＝BC，则四边形A1D1CB为平行四边形，则D1C∥A1B，即A1B，AD1所成角，即为AD1与D1C所成的角∠AD1C或其补角，又由题可得AD1＝CD1＝，则cos ∠AD1C＝.因此，异面直线A1B，AD1所成角的余弦值为.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $