精品解析：山西省吕梁市孝义市2025-2026学年第二学期期末八年级数学试卷

2025～2026学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数 学 说明： 1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 2. 科学家发现一种叫足球烯（）中的分子，外形和足球一模一样，它由12个正五边形，20个正六边形组成（如图①所示），如图②，在正五边形中，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉绳，且分别是、的中点．已知，则两点之间的距离为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 7. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（ ）  A. B. C. D. 8. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法正确的是（ ） A. 地的平均气温的最大值小于地的平均气温的最大值 B. 地的平均气温的中位数大于地的平均气温的中位数 C. 地的平均气温的方差小于地的平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 9. 已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（ ） A. 添加条件，则是菱形 B. 添加条件，则是矩形 C. 添加条件，则是矩形 D. 添加条件，则是菱形 10. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 甲车的行驶速度为 B. 乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时 C. 两车在相遇，此时距离城 D. 乙车的行驶速度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 12. 某小组名学生的数学小测成绩（总分分；单位：分）分别为：．则这组数据的方差为__________． 13. 如图1是移动式电动剪叉升降平台，整套升降平台共有三层剪叉支架上下叠放．其剪叉支架结构可简化为如图2所示，支架由两个全等等腰三角形与中间一个菱形拼接而成，等腰三角形的腰长与菱形的边长相等，均为，当平台上升时，菱形的内角由变为，则平台台面上升了________． 14. 学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 15. 已知四边形是正方形，，点，分别在和边上，且，连接，交于点，以，为边作，连接，相交于点，连接，则__________． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，且直线经过点． （1）求的值及直线的解析式； （2）当时，请直接写出的取值范围． 18. 近年来，人工智能快速迭代，在人们的生活中发挥的作用越来越大．某测评小组针对“千问”和“豆包”两款AI助手开展用户满意度评分调研，随机各抽取20名用户的评分（满分100分），进行数据整理、描述与分析工作．满意度得分用分表示，分为四个等级：A．非常满意（）；B．满意（）；C．基本满意（）；D．不太满意（）． 下面给出了部分信息： a．对“千问”20份评分数据为：99，98，97，97，94，93，90，90，89，86，85，85，85，85，78，78，75，74，70，62． b．对“豆包”仅给出B组“满意”（）包含的所有数据：90，90，88，87，87，87，86，84． c．对“豆包”助手评分人数占比统计图如图： d．两款AI评分统计量如下表： AI名称 平均数 中位数 众数 千问 85.5 85.5 豆包 85.5 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有2000人对“豆包”助手进行评分．请通过计算估计其中对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数． （3）如果要给这两款AI助手写一份测评结论，你会推荐哪一款？请说明理由（写出一条即可）． 19. 2026年春晚舞台上，人形机器人的精彩表演惊艳全球，两款代表性人形机器人“宇树”与“小顽童”灵活度高，运动性能突出，常应用于景区互动、展馆迎宾、科普教育等场景．某文旅公司计划采购“宇树”和“小顽童”两种机器人，已知每台“宇树”机器人价格为30万元，每台“小顽童”机器人单价比“宇树”便宜14万元；该公司计划一次性购进甲、乙两款机器人共40台，根据展厅规划要求：购进“宇树”机器人的数量不低于“小顽童”机器人数量的1.5倍，甲、乙两款机器人的采购单价保持不变．设购买“宇树”机器人台，总采购费用为万元． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该公司如何采购，才能使总采购费用最少？求出最少总费用． 20. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 等对角线四边形的探究 研究对象：等对角线四边形 研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论． 研究内容： 【定义】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形中，则四边形是等对角线四边形． 【特例研究】如图2，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小敏同学证明的部分过程： 证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据） …… 任务： （1）【特例研究】中的依据是 ． 下面特殊四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定属于等对角线四边形的是 ．（填序号） （2）请将小敏同学的证明过程补充完整． （3）如图2，四边形是等对角线四边形，，若且，，则 ． 21. 项目化学习 【项目主题】溶洞滴水沉积变化规律 【项目背景】山西忻州禹王洞是华北知名天然溶洞，洞内形态各异的石钟乳、石笋，是含碳酸钙的地下水常年匀速滴落、碳酸钙持续沉积，历经千万年演化形成的独特地质景观．为探究溶洞沉积的变化规律、某数学综合实践小组利用水龙头滴水实验开展项目式学习． 【驱动任务】利用水龙头滴水实验模拟溶洞滴水现象，探究溶洞滴水沉积变化规律． 【研究步骤】 （1）数据测量与记录：实验已知条件：每滴水约，水龙头恒定滴水速度为60滴/分钟；实验初始时，量筒内留有少量水，保证测量精准．设滴水时间为t（单位：），量筒内总水量为v（单位：）． 时间 5 10 15 20 … 水量 20 35 50 65 … （2）建立模型 ①建立平面直角坐标系，横轴表示漏水时间t（），纵轴表示总水量v（），将上表中的数据作为坐标点逐一描出，再用平滑的曲线顺次连接各点； ②观察图象特征，判断v与t函数关系？并求出v关于t的函数解析式？ （3）模型应用： ①实验初始时，量筒内留有多少水？ ②根据“每滴水使钟乳石长高0.0015毫米”的地质数据，当滴水量达到时，需要多少时间？结合整个探究过程，谈谈你对该项目的认识． 22. 综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 （1）如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． （3）若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数 学 说明： 1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 2. 科学家发现一种叫足球烯（）中的分子，外形和足球一模一样，它由12个正五边形，20个正六边形组成（如图①所示），如图②，在正五边形中，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】多边形为正五边形，  每个内角为， 则，且， ， ． 3. 的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵，即，符合勾股定理逆定理，∴是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴，∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，∵， ∴，解得：，∴，∴不是直角三角形，故符合题意． 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉绳，且分别是、的中点．已知，则两点之间的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：在中，分别是、的中点，则是的中位线， ． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：，选项式子计算错误； B：，选项式子计算错误； C：，选项式子计算错误； D：，选项式子计算正确． 6. 点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较大小 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次项系数的符号判断函数的增减趋势，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 7. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（ ）  A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 8. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法正确的是（ ） A. 地的平均气温的最大值小于地的平均气温的最大值 B. 地的平均气温的中位数大于地的平均气温的中位数 C. 地的平均气温的方差小于地的平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，该项错误； B、A地的中位数比B地的中位数低，该项错误； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 9. 已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（ ） A. 添加条件，则是菱形 B. 添加条件，则是矩形 C. 添加条件，则是矩形 D. 添加条件，则是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】结合矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，仅能说明边等于对角线，无法推出邻边相等，不能判定是菱形，选项说法错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加，是菱形，不是矩形，选项说法错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，选项说法正确； D、由知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，不是菱形，选项说法错误． 10. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 甲车的行驶速度为 B. 乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时 C. 两车在相遇，此时距离城 D. 乙车的行驶速度为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象所给的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，甲车的行驶速度为，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，乙车比甲车晚出发1小时，早到1小时，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，两车在相遇，此时距离城，原说法正确，不符合题意； D、由函数图象可得乙车的行驶速度为，原说法错误，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 12. 某小组名学生的数学小测成绩（总分分；单位：分）分别为：．则这组数据的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可． 【详解】解：平均数， 则方差为． 13. 如图1是移动式电动剪叉升降平台，整套升降平台共有三层剪叉支架上下叠放．其剪叉支架结构可简化为如图2所示，支架由两个全等等腰三角形与中间一个菱形拼接而成，等腰三角形的腰长与菱形的边长相等，均为，当平台上升时，菱形的内角由变为，则平台台面上升了________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将平台总高度分解为上层等腰三角形的高、中间菱形的对角线长、下层等腰三角形的高三部分．利用等腰三角形、菱形的性质以及或勾股定理，分别计算和时的总高度，两者之差即为上升高度． 【详解】解：连接，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，如图， 由题意及图，得， 四边形是菱形， ，，，，， ， 当时，， ， ， ，， ，，， ， 当时，如图， 同理可得，，， ， ， ， ， 平台上升高度为． 14. 学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 【答案】（为整数，且） 【解析】 【分析】先求出超出部分的乒乓球的付款金额为元，再根据付款总金额球拍总金额盒乒乓球金额超出部分的乒乓球的付款金额列式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴超出部分的乒乓球的数量为盒， ∵超出部分的乒乓球按原价打八折， ∴超出部分的乒乓球的付款金额为元， ∴付款总金额为， ∴与之间的函数解析式为（为整数，且）． 15. 已知四边形是正方形，，点，分别在和边上，且，连接，交于点，以，为边作，连接，相交于点，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，则有，，进而可得，最后根据平行四边形的性质及斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，且直线经过点． （1）求的值及直线的解析式； （2）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入直线：中，即可求出，再把点，代入即可求出解析式； （2）根据题意列出不等式求解即可； 【小问1详解】 点在直线上， ， ， 直线经过点，， ， 解得， ； 【小问2详解】 由（1）可得：，， ， ， ． 18. 近年来，人工智能快速迭代，在人们的生活中发挥的作用越来越大．某测评小组针对“千问”和“豆包”两款AI助手开展用户满意度评分调研，随机各抽取20名用户的评分（满分100分），进行数据整理、描述与分析工作．满意度得分用分表示，分为四个等级：A．非常满意（）；B．满意（）；C．基本满意（）；D．不太满意（）． 下面给出了部分信息： a．对“千问”20份评分数据为：99，98，97，97，94，93，90，90，89，86，85，85，85，85，78，78，75，74，70，62． b．对“豆包”仅给出B组“满意”（）包含的所有数据：90，90，88，87，87，87，86，84． c．对“豆包”助手评分人数占比统计图如图： d．两款AI评分统计量如下表： AI名称 平均数 中位数 众数 千问 85.5 85.5 豆包 85.5 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有2000人对“豆包”助手进行评分．请通过计算估计其中对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数． （3）如果要给这两款AI助手写一份测评结论，你会推荐哪一款？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1），， （2）1200人 （3）我会推荐“豆包”，理由如下：“豆包”和“千问”的平均数相同，但“豆包”的中位数及众数都比“千问”的更高，说明用户更喜欢“豆包” 【解析】 【分析】（1）根据中位数及众数的定义进行求解即可； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）根据题意进行求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知：对“豆包”的A组人数为人，总共有20个数据，则中位数为第10和第11个数据之和的平均数，即为； 从“千问”的20个调查数据来看，其中85分出现了4次，是次数最多的，所以； 对“豆包”的B组“满意”（）所占百分比为； 【小问2详解】 解：由题意得：（人）； 答：对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数为1200人． 【小问3详解】 略 19. 2026年春晚舞台上，人形机器人的精彩表演惊艳全球，两款代表性人形机器人“宇树”与“小顽童”灵活度高，运动性能突出，常应用于景区互动、展馆迎宾、科普教育等场景．某文旅公司计划采购“宇树”和“小顽童”两种机器人，已知每台“宇树”机器人价格为30万元，每台“小顽童”机器人单价比“宇树”便宜14万元；该公司计划一次性购进甲、乙两款机器人共40台，根据展厅规划要求：购进“宇树”机器人的数量不低于“小顽童”机器人数量的1.5倍，甲、乙两款机器人的采购单价保持不变．设购买“宇树”机器人台，总采购费用为万元． （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该公司如何采购，才能使总采购费用最少？求出最少总费用． 【答案】（1），且为整数 （2）购进“宇树”机器人24台，购买“小顽童”机器人16台，总采购费用最少为976万元． 【解析】 【分析】（1）根据购买“宇树”机器人的费用加上购买“小顽童”机器人的费用等于总费用，列出函数关系式，并根据条件确定自变量的取值范围； （2）根据自变量的取值范围和一次函数的增减性确定如何采购，才能使总采购费用最少，并求出最少总费用． 【小问1详解】 解：设购买“宇树”机器人台，则购买“小顽童”机器人台，总采购费用为万元． ∵每台“宇树”机器人价格为30万元，每台“小顽童”机器人单价比“宇树”便宜14万元， ∴每台“小顽童”机器人单价为（万元）， ∴； ∵购进“宇树”机器人的数量不低于“小顽童”机器人数量的1.5倍， ∴， 解得， 又∵甲、乙两款机器人共40台， ∴且为整数， 综上所述，，且为整数； 【小问2详解】 由知， ， ∴随增大而增大， ∵， ∴当时，费用最少，最少值为（万元）， 答：购进“宇树”机器人24台，购买“小顽童”机器人16台，总采购费用最少为976万元． 20. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 等对角线四边形的探究 研究对象：等对角线四边形 研究方法：类比三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的研究方法，从特例探索入手，结合图形的相关元素，通过观察（测量、实验）——猜想——推理证明，得到一般结论． 研究内容： 【定义】对角线相等的凸四边形叫做等对角线四边形．如图1，四边形中，则四边形是等对角线四边形． 【特例研究】如图2，四边形是等对角线四边形，且．测量发现．下面是小敏同学证明的部分过程： 证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据） …… 任务： （1）【特例研究】中的依据是 ． 下面特殊四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定属于等对角线四边形的是 ．（填序号） （2）请将小敏同学的证明过程补充完整． （3）如图2，四边形是等对角线四边形，，若且，，则 ． 【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②④ （2）证明：如图3，过点作，交延长线于点， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵四边形是等对角线四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，菱形，矩形与正方形的性质进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）设的交点为，由（2）可知：，则有，然后可得，，进而根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：【特例研究】中的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ①平行四边形的对角线互相平分，并不相等，所以不是等对角线四边形； ②矩形的对角线互相平分且相等，所以是等对角线四边形； ③菱形的对角线互相平分且垂直，所以不是等对角线四边形； ④正方形的对角线互相平分，垂直且相等，所以是等对角线四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 21. 项目化学习 【项目主题】溶洞滴水沉积变化规律 【项目背景】山西忻州禹王洞是华北知名天然溶洞，洞内形态各异的石钟乳、石笋，是含碳酸钙的地下水常年匀速滴落、碳酸钙持续沉积，历经千万年演化形成的独特地质景观．为探究溶洞沉积的变化规律、某数学综合实践小组利用水龙头滴水实验开展项目式学习． 【驱动任务】利用水龙头滴水实验模拟溶洞滴水现象，探究溶洞滴水沉积变化规律． 【研究步骤】 （1）数据测量与记录：实验已知条件：每滴水约，水龙头恒定滴水速度为60滴/分钟；实验初始时，量筒内留有少量水，保证测量精准．设滴水时间为t（单位：），量筒内总水量为v（单位：）． 时间 5 10 15 20 … 水量 20 35 50 65 … （2）建立模型 ①建立平面直角坐标系，横轴表示漏水时间t（），纵轴表示总水量v（），将上表中的数据作为坐标点逐一描出，再用平滑的曲线顺次连接各点； ②观察图象特征，判断v与t函数关系？并求出v关于t的函数解析式？ （3）模型应用： ①实验初始时，量筒内留有多少水？ ②根据“每滴水使钟乳石长高0.0015毫米”的地质数据，当滴水量达到时，需要多少时间？结合整个探究过程，谈谈你对该项目的认识． 【答案】（1）略 （2）①坐标系如图所示： ②v与t成一次函数关系，解析式为； （3）①实验初始时，量筒内留有水；②当滴水量达到时，需要时间；结合整个探究过程，我对该项目的认识是要珍惜水资源，不要浪费一滴水 【解析】 【分析】（1）略 （2）①根据描点，连线进行作图即可；②根据表格可知v与t成一次函数关系，所以设该函数解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （3）①根据（2）中函数关系式可进行求解；②根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由表格可知：时间每过分钟，量筒中的水量就增加，所以v与t成一次函数关系，则设该函数解析式为， ∴，解得：， ∴该函数解析式为； 【小问3详解】 解：①由（2）可知：该函数解析式为， ∴当时，则有； 答：实验初始时，量筒内留有水； ②由题意得：； 答：当滴水量达到时，需要时间；结合整个探究过程，我对该项目的认识是要珍惜水资源，不要浪费一滴水． 22. 综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 （1）如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． （3）若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2），理由如下： ∵点为的三等分点， ∴， ∵取的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，由题意易得，则有，然后根据菱形的判定定理进行求解即可； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （3）由题意可分：当点落在矩形内部，当点落在矩形外部，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可分：当点落在矩形内部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ∴， ∴； 当点落在矩形外部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $