3.1勾股定理的探究 同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.1 勾股定理的探究 同步练习题 一、单选题 1．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 2．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 3．如图，在中，，，．以为边向三角形外部作正方形，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图是某商场到地下停车场的手扶电梯示意图，其中、分别表示地下停车场、商场电梯口处地面的水平线，，的长约是，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（    ） A． B． C． D． 7．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D．距离不确定 8．如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 10．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 12．一辆宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 米． 13．如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 14．如图，点是等边三角形的重心，连接，点是的中点，过点作，垂足为点，则的值为 ． 15．如图，已知，，，，射线，点在射线上，点在射线上，且，与交于点，设的长为．当与全等时，的周长为 （用含的式子表示）． 三、解答题 16．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，求梯子顶端距地面的高度的长． 17．如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标为，，． (1)画出，使与关于轴对称，并写出点的坐标； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出，并写出点的坐标； (3)在（1）、（2）的基础上，请直接写出的长度． 18．如图，在中，，于． (1)若，，求的长度． (2)设，，，判断之间的关系，并说明理由 19．【问题原型】 （1）如图①，正方形的边长为a．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为　　　　；（用含a的代数式表示） 【变式探究】 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．（用含m的代数式表示） 20．如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.1 勾股定理的探究 同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C C C B B B 1．C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据题意得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，在中，，，分别是边上的中线和高，， ∴ 在中，， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以为边向三角形外部作正方形， ∴正方形的面积为， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作的延长线于点，结合，得，又因为，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长约是， ∴， 即乘电梯从点B到点C上升的高度h是， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解：，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，，， ， 又，，， ． 故选：C 6．C 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由题意得，，则．由旋转得，，则，由勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵绕着点A逆时针旋转后到达的位置， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是要计算出斜边的长度．先根据勾股定理计算出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：， ， ， 是中点， ． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理并结合题意可得，再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D， ∴， ∵点表示， ∴点D表示的数为， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 11．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴．先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点A表示，可得点C表示的实数． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点A表示的数为，点C在点A的右侧， 点C表示的数为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高即可，根据勾股定理得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵车宽1.6米， ∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线0.8米处的高度与车高． 在中，由勾股定理可得：（米）， ∴（米）， ∴卡车的外形高必须低于2.9米． 故答案为：2.9． 13．13 【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，据此得出三角形是直角三角形，结合和的长进行计算即可． 【详解】解：， 、 在中， 故答案为：13． 14． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过O作于F，连接，设等边三角形的边长为，则；根据重心的性质以及等边三角形的性质可得点O是中线的交点，是高的交点，垂直平分线的交点，即，；再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得；再说明、再根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后代入求比例即可． 【详解】解：如图：过O作于F，连接 设等边三角形的边长为，则 ∵点是等边三角形的重心， ∴点O是中线的交点，是高的交点，垂直平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵点是的中点， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出相等的角和边，利用等面积法和等角对等边得出的长度，最后求周长即可． 【详解】解：∵与全等， ∴①当时，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由等积法得，， ∴的周长为； ②当时， ，， ∴， ∴的周长为； 综上，的周长为或； 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得． 17．(1)图见解析； (2)见解析， (3) 【分析】此题考查轴对称作图，旋转作图，勾股定理，正确掌握轴对称的性质即旋转的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）如图，即为所求，； （3）． 18．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、运用方程思想，关键是对三个直角三角形分别应用勾股定理并联立方程，易错点为勾股定理应用时直角边与斜边识别错误; （1）先勾股定理求，再面积法求； （2）对、、分别用勾股定理，联立方程推导关系． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得； （2）关系为；理由如下： ∵在中，，， ∴均为直角三角形； 则，，， ∵，，，则， ∴， 展开并化简：， ∴． 19．（1）（2） 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； （2）根据旋转的定义和线段的定义画出图形即可；过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可得； 【详解】（1）正方形的边长为， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． （2）过点作，交的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ， 则的面积为． 20．(1)见解析 (2)①，见解析；②7 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，恰当地作辅助线是解题的关键． （1）利用证可得，再根据角边关系证得； （2）①根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明出； ②如图2，过作于，连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长． 【详解】（1）证明：（1）与中， ∴（）， ∴， ∴ （2）①由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $