黑龙江佳木斯市第八中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷覆盖向量、立体几何、概率统计等核心知识，解答题结合取球模型、居民用电统计等情境，考查空间观念与数据意识，适配学段能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量概念、复数象限、圆柱外接球|基础概念辨析，如共线向量定义| |多选|3/18|棱柱定义、概率事件独立性|结合直观图面积计算，考查几何直观| |填空|3/15|成绩均值、向量投影、异面直线夹角|统计与向量运算结合，体现数据意识| |解答题|5/77|概率（放回/不放回）、频率分布直方图、立体几何证明与线面角|分层设计，如概率题三问梯度提升，立体几何考查推理能力|

2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 出题人： 校题人： 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 4．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 6．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 7．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 8．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．相等的角在直观图中仍然相等． 10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．两两互斥 B． C．事件B与事件相互独立 D． 11．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 13．已知向量，，则在上的数量投影为_____． 14．如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分） （1）化简； （2）把满足，的向量、用、表示出来. 16．（15分） 一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球. (1)若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率; (2)若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率; (3)若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率. 17．（15分） 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表） (2)该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 18．（17分） 中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 第 2 页 共 2 页 高一数学试卷第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.（17分） 17.（15分） 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.（15分） 15.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 选择题(1-8题每题5分，9-11题每题6分，半对得分规则为：) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 条形粘贴处 2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学答题卡 12． 13． 14. 班 级 : 姓 名 : 准考证号 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C B B C D BC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．B 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限， 故选：B 3．B 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B．      4．C 【分析】由向量运算的三角形法则，用，表示即可. 【详解】 故选：C. 5．B 【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积. 【详解】直观图还原成原来的图形， 由斜二测画法，得，且，且为平行四边形，如下图所示，       所以原图形平行四边形的面积为. 6．B 【详解】因为，所以，解得， 则，由模长公式得，故B正确. 7．C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 8．D 【分析】根据勾股定理，结合垂直的性质可得即为外接球的直径，再求解外接球表面积即可 【详解】如图所示，由于，，故，所以即为外接球的直径，故外接球表面积 故选：D 9．BC 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，如图所示， 由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误. 10．ABD 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确； 对于B,D，因为，故B,D项正确； 对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误. 故选：ABD 11．ABD 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 12．126 【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分. 13． 【详解】已知向量，， ，， 所以在上的数量投影为． 14． 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 15．（1）；（2），. 【分析】（1）去括号，合并同类项即可得出结果； （2）建立方程组，解出和即可. 【详解】（1）原式； （2）由已知得， ①②得，①②得， 因此，，. 【点睛】本题考查向量加减法的运算律，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合古典概率的计算公式求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合对立事件的概率求解； （3）先按照“第一次红 → 第二次白 → 第三次黑”的顺序，依据取球后不放回的规则求出相应的概率，再根据乘法原理求解. 【详解】（1）每次取到红球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以3次都取到红球的概率为. （2）每次取不到白球的概率均为， 因为每次取球相互独立，所以连续3次都取不到白球的概率为××=， 所以至少有一次取到白球的概率为. （3）第一次取到红球的概率为， 第一次取完红球后，袋子里还有4个红球，3个白球，2个黑球，共9个球. 第二次取到白球的概率为， 第二次取完白球后，袋子里还有4个红球，2个白球，2个黑球，共8个球. 第三次取到黑球的概率为. 所以第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率为. 17．(1)，395千瓦时． (2)，理由见解析 【分析】（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求平均数； （2）根据频率分布直方图求第85百分位数. 【详解】（1）由题意有， 解得， 则所有样本的平均用电量为 千瓦时． （2）前5组的频率和为， 前6组的频率和为， ， ， 解得． 18．(1) (2) 【分析】（1）通过余弦定理直接求角； （2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积. 【详解】（1）由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. （2）已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $