精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

2025年高一年级下学期期末考试 数学试题 分值：120分 考试时间：90分钟 出题人：麻明明 校题人：于淑杰 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为（ ） A. － B. －i C. D. 2. 已知向量，，若向量与向量共线，则（ ） A B. C. D. 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 4. 从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ） A. s＝s1 B. s<s1 C. s>s1 D. 不能确定 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，，则 B 若 ，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译概率分别为，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形中，为边中点，于．将沿翻折至的位置，连结．那么在翻折过程中： ①总有成立； ②存在某个位置，使； ③在线段上，存在异于两端点点，使线段的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项都不对 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是（　　） A. 这100个数据中一定是75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量是单位向量，，，则___________. 13. 正三棱柱的底面边长和高均为2，点为侧棱的中点，连接，，则与平面所成角的正弦值为___________. 14. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．” 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面ABCD． （1）求证：//平面； （2）求证：． 17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求直方图中a的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的中位数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一年级下学期期末考试 数学试题 分值：120分 考试时间：90分钟 出题人：麻明明 校题人：于淑杰 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为（ ） A. － B. －i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算求得后可得． 【详解】由已知，虚部为． 故选：C． 2. 已知向量，，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有题意可得，根据向量平行可得其坐标间关系，即可求得答案. 【详解】由题意得：，因为向量与向量共线， 所以，解得. 故选：A 3. 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】由样本的数字特征一一排除即可． 【详解】A样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：，众数为：42，中位数为：， 由题可得，B样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：，众数,34，中位数：， 所以A、B两样本下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同. 故选B. 【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，属于基础题． 4. 从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求一共可以组成多少个三位数，再求一共有多少个三位数是3的倍数，再计算概率即可. 【详解】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有个三个位数，若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成，所以这个三位数是3的倍数的概率为. 故选：C. 5. 某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ） A. s＝s1 B. s<s1 C. s>s1 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先由统计总数没变，可知两次统计的平均数没有变，再分别列出标准差公式，判断大小关系. 【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则 ， 若比较与的大小，只需比较与的大小即可，而，，所以，从而. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查样本平均数和标准差，关键是判断平均数没有变，才能利用标准差公式判断大小. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若 ，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点、面、线之间的位置关系，对每个选项逐一判断. 【详解】对A，当，，，由面面垂直的判定定理必得，A正确；对B，当 ，，，由线面平行的判定定理可得，故B正确；当，，由面面垂直的判定定理必得，故C正确；当，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故D错. 故选：D. 7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲乙都破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案. 【详解】设 “甲独立地破译一份密码” 事件A， “乙独立地破译一份密码” 为事件B， 则，，，， 设 “密码被破译” 为事件C ， 则， 故选：B. 【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 8. 如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连结．那么在翻折过程中： ①总有成立； ②存在某个位置，使； ③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项都不对 【答案】B 【解析】 【分析】证明平面可判断①；假设推出与题干矛盾可判断②；取靠近的三等分点，则可证，从而判断③ 【详解】解：①∵，∴，，又 ∴平面，∴，故①正确； ②假设存在某个位置，使得， 连接，则，.故平面， ∴，又由（1）知， ∴平面，∴， ∴，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误； ③存在点，满足，取的中点，连接，易得，，设底面三角形的边长为，则，，，∵平面，故平面，∴，故是直角三角形，∴，故③正确． 故选：B. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定定理与性质定理，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是（　　） A. 这100个数据中一定是75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的概念结合条件即得. 【详解】因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数是9.3，故C正确，BD错误； 对A，这100个数据中不一定是75个数小于或等于9.3，可能这100个数据都是9.3，故A错误. 故选：ABD 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量是单位向量，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进行向量的模的运算代入求值即可得答案． 【详解】由题意，向量是单位向量，，，可得； 所以. 故答案为：． 13. 正三棱柱的底面边长和高均为2，点为侧棱的中点，连接，，则与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，为的中点， 由已知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以，而， 则与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求线面角的余弦值可以用几何法求解也可以用向量法求解，向量法求解的优点是计算简单不容易出错. 14. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．” 【答案】8100 【解析】 【详解】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100. 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 =. 【小问3详解】 ． 16. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面ABCD． （1）求证：//平面； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由底面为菱形可得到，再根据，从而得出； （2）需证明，则需证明，即需证明垂直于平面内两条相交直线，从而得证． 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形,所以， ， . （2）连结. , ， ， , ， , . 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、平行的判定定理及性质，需利用特殊四边形的性质，如本题中底面为菱形，则可得到对边平行且相等及对角线互相平行． 17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求直方图中a的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的中位数． 【答案】（1）0.30 （2）36000 （3）2.04 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1可求a的值； （2）先求解月均用水量不低于3吨的频率，然后可得人数； （3）设出中位数，根据频率为0.5建立方程，可求中位数． 【小问1详解】 由频率直方图可知，月均用水量在[0，0.5）的频率为． 同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02． 由，解得． 【小问2详解】 由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为． 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为． 【小问3详解】 设中位数为x， 因为前5组的频率之和为． 而前4组的频率之和为， 所以，由，解得， 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$