2.4分式方程（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦分式方程全知识点，以“概念识别-技能操作-综合应用”分层设计，强化从数学概念到运算推理再到模型构建的进阶巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|分式方程概念判断|多题变式辨析，强化符号意识| |技能应用|解法、解的情况分析|分步训练运算能力，结合推理意识| |综合拓展|实际应用（行程/工程等）|情境化问题建模，发展应用意识|

2.4分式方程 题型一   判断是否是分式方程 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】③④⑤⑨ 7．【答案】①④ 题型二   解分式方程 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 6． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程等知识，解分式方程的步骤一般为3步，①去分母，化为整式方程；②解整式方程；③检验． （1）根据解分式方程的步骤解方程即可求解； （2）根据解分式方程的步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， 是分式方程的增根，原分式方程无解． 7． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得， 检验：将代入． ∴原方程的解为． 8． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘，得 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 9． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 解得， 检验：将代入， ∴原方程无解； （2）解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 10． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． （2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】（1）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 解得：， 检验：时，， 故是原方程的解． （2）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 移项，合并同类项得， 解得：， 检验：时，， 故是增根，原方程无解． 题型三   根据分式方程解的情况求值 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】且 6．【答案】 7． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 题型四   分式方程无解问题 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】5 6．【答案】或 7．【答案】6 8． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 题型五   列分式方程 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 题型一   分式方程的行程问题 1． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 2． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设小王原计划的平均速度为，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设小王原计划的平均速度为， 由题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小王原计划的平均速度为． 3． 【答案】25海里/时 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键． 根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时， 由题意得，， 解得， 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时． 4． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 5． 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 6． 【答案】(1)；0.5 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为； 故答案为：；； （2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是． 7． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 题型二   分式方程的工程问题 1．【答案】 2． 【答案】(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时 (2)1小时 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为，利用甲组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种单独完成此项工作所需时间，再将其代入中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间； （2）设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时，根据要求完成扫雪工作不超过小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 小时 答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时； （2）解：设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务． 3． 【答案】(1)原计划每天铺设路面80米 (2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； （2）由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 4． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率工作时间工作量”的关系，通过设未知数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键． （1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和总工作量”列方程求解合作完成时间； （2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量两队合作完成的工作量总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 5． 【答案】 0.6万平方米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米， ∴依题意得： 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 6． 【答案】 20天 【分析】本题考查分式方程的应用，解决本题的关键是根据方案建立等式． 通过设规定工期为x天，根据方案A与方案B可得到甲队与乙队单独完成的天数，根据方案C中甲、乙两队的工作量关系列出方程求解． 【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需天， 根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程： ， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 即，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：规定的工期是20天． 7． 【答案】(1)甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米 (2)甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的，列出方程，解方程即可； （2）设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据甲队施工天数比乙队多3天，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， （千米）， 答：甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米． （2）解：设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元． 8． 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 题型三   分式方程的经济问题 1． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 2． 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 3． 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 4． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 5． 【答案】(1)第一批哈密瓜每件进价是元 (2)第二批哈密瓜赚了元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元，根据水果店老板用元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）求出第二批哈密瓜的售价和件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批哈密瓜每件进价是元． （2）解：由（1）得：第二批哈密瓜的进价为（元），件数为（件）， 所以第二批哈密瓜的利润为：（元）． 答：第二批哈密瓜赚了元． 6． 【答案】2.4元 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元， 由题意得，， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：李老师上周购买的菠菜每斤2.4元． 7． 【答案】(1)“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元 (2)至少购进“乾坤圈”牌的服装28套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式，是解题的关键： （1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出方程即可； （2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴； 答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元； （2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为28， 答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套． 题型四   分式方程和差倍分问题 1．【答案】 2．【答案】45 3． 【答案】400件 【分析】本题考查了分式方程的运用，设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由此列方程求解即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由题意可得： ， 解得， 检验：当时，原方程有意义， 是方程的解． 答：改造后每天生产的产品件数为400件． 4． 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 5． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键． 设战士人数为，根据两次分苹果的差异列出方程求解． 【详解】设哨所共有名战士， 第一次分苹果，每人分得个， 第二次分苹果，每人分得个， 由于第二次每人比第一次多分个， ， 解得：， 检验可得：是方程的解； 这个哨所共有名战士． 6． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程并求解是解题的关键． 设分子为未知数，根据“分母比分子的4倍少1”表示出分母，再结合“分子加1后分数值为”列方程求解． 【详解】解：设分子为，则分母为． ， ， ， ， ， ∴ ， 经检验，是分式方程的解， ∴分母：， 故此分数为． 7． 【答案】B种机器人每小时还书本 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解． 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本，列出分式方程求解即可． 【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本． 根据题意，得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B种机器人每小时还书本． 8． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 题型五   分式方程的其他实际问题 1．【答案】D 2．【答案】 3． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． 4． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 5． 【答案】(1)甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人 (2)甲校的人均图书册数是20册，乙校的人均图书册数是18册 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． （1）设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； （2）根据（1）求得的两校学生人数，直接计算人均图书册数． 【详解】（1）解：设乙校的人数为人，则甲校的学生人数为人 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （人）， 答：甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人； （2）解：甲校人均图书为（册）， 乙校人均图书为（册）， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 6． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 7． 【答案】600亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变列方程，即可求解． 【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变，得 ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩． 8． 【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：边衬的宽度为． 9． 【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高 (2)的值为3 (3) 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）由（2）知，，利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量， “丰收2号”小麦的单位面积产量， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴的值为3． （3）解：由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键． 10． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）根据和，代入可求得，取倒数即可得到答案； （2）设的电阻值为，由题意可得，再根据列出方程，解方程即可得到答案； （3）由可得，取倒数即可得到． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴． 题型一   分式方程的综合运用 1． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 2． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 3． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4分式方程 题型一   判断是否是分式方程 1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 2．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．掌握其定义是解题关键． 【详解】解：①；分母中不含有未知数，故①不是分式方程； ②；分母中含有未知数，故②是分式方程； ③；分母中含有未知数，故③是分式方程； ④．分母中不含有未知数，故④不是分式方程． 故选：． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 题型二   解分式方程 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）分式方程的解是（  ） A． B．= C．= D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程． 通过两边同乘 消除分母，然后求解即可，注意验证是否为分式方程的解． 【详解】解：， 两边同乘，得， 去括号得， 移项得， 即， 解得． 经验证，是分式方程的解． 故选：． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的求解，通过交叉相乘化为整式方程并求解，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】解： ， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为； 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北唐山·月考）关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，考虑分母不为零的条件，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵方程，且， 两边乘得， ∴， 当 即 时解有效。 A．当时无解，故A错误； B．当时，，解可为0，故B错误； C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确； D．当且时解为正数，但时无解，故D错误． 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程等知识，解分式方程的步骤一般为3步，①去分母，化为整式方程；②解整式方程；③检验． （1）根据解分式方程的步骤解方程即可求解； （2）根据解分式方程的步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， 是分式方程的增根，原分式方程无解． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得， 检验：将代入． ∴原方程的解为． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘，得 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 9．（25-26八年级上·全国·假期作业）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 解得， 检验：将代入， ∴原方程无解； （2）解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 10．（25-26八年级上·河南许昌·月考）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． （2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】（1）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 解得：， 检验：时，， 故是原方程的解． （2）解：， 化为整式方程得， 去括号得，， 移项，合并同类项得， 解得：， 检验：时，， 故是增根，原方程无解． 题型三   根据分式方程解的情况求值 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解法、分式有意义的条件、求不等式的解集．掌握分式方程的解法，利用分式方程最简公分母不为、分式方程的解为正数列出关于的不等式是解题关键．通过简化分式方程，利用分母的关系化为整式方程，解出 关于 的表达式，再根据解为正数且分母不为零得到的取值范围，最后结合自然数定义（包括 ）确定 的取值个数． 【详解】∵ 方程 ，且 ， ∴ 原方程化为 ． 移项，得 ，即 ． 两边乘 （），得 ， 展开，得 ， 整理，得 ， ∴ ． ∵方程 的解为正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∴ 的取值范围为 且 ． ∵ 为自然数（包括 0）， ∴ 可能取值为 0， 1， 3． ∴ 的所有值的个数为 3 个． 故选：A． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先解分式方程得到关于的表达式，再根据解是正数且分母不为零的条件列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 可得， 两边同乘得， 解得， ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， 解得， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 题型四   分式方程无解问题 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：方程两边同乘 ，得， 整理得： ． ∵分式方程无解， ∴其增根为或． 当 时， ； 当 时， ． 故当 或 时，方程无解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， ∴或． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（       ） A．0 B．2 C．－2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程无解的条件，利用增根的情况为无解是解题的关键． 分式方程无解的情况通常为解出的根为增根（使分母为零），先简化分式方程，再得到分式方程有增根时x的值，最后求解m即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，即为增根，方程无解， ∴，解得：， ∴当时，方程无解， 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）关于x的分式方程无解，则 ； 【答案】5 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，将分式方程化简为整式方程，根据分式方程无解的条件，得到整式方程的解为分式方程的增根，代入求解a的值即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于x的整式方程总有解 ∴当关于x的分式方程无解时，关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， 故答案为：5． 6．（25-26八年级上·上海·期中）当 ， 方程 会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m． 【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得， 化简得， 当，即或时，分式方程有增根， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 或时，方程 会产生增根． 7．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 题型五   列分式方程 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 首先根据原计划速度为x米/分，实际速度比原计划快，即米/分，再根据提前5分钟到达，即原计划时间减实际时间等于5分钟列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意可列：, 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，理解“提前”即原计划时间多于实际时间． 原计划每日行，实际每日行，原计划时间比实际时间多1日，据此列方程． 【详解】解：设原计划每日行x km，则原计划所需时间为日，实际所需时间为日． ∵实际比原计划提前1日到达， ∴， 故选B． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率． 乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可． 【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米． 依题意得：． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产箱药品，则下面所列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品，由“现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”构造方程． 【详解】解：设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品， 现在生产6000箱药品所需时间为天，原计划生产4500箱药品所需时间为天， 由两者时间相等，可列方程． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用总时间构造等量关系． 设已经读完的部分每天读页，则未读部分每天读页，根据读已读部分和未读部分的总时间等于14天，列出方程即可． 【详解】解：设已经读完的部分每天读页， 根据题意，得， 即， 故选：D． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 题型一   分式方程的行程问题 1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 2．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设小王原计划的平均速度为，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设小王原计划的平均速度为， 由题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小王原计划的平均速度为． 3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 【答案】25海里/时 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键． 根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时， 由题意得，， 解得， 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时． 4．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海·月考）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 6．（25-26八年级上·全国·假期作业）在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)；0.5 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分别列出分式方程即可； （2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是，根据甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为； 小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为； 故答案为：；； （2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是，则甲机器狗这次运铁饼的速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙机器狗这次运铁饼的速度是． 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 题型二   分式方程的工程问题 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 【答案】(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时 (2)1小时 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为，利用甲组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种单独完成此项工作所需时间，再将其代入中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间； （2）设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时，根据要求完成扫雪工作不超过小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 小时 答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时； （2）解：设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务． 3．（25-26八年级上·全国·期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)原计划每天铺设路面80米 (2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； （2）由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率工作时间工作量”的关系，通过设未知数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键． （1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和总工作量”列方程求解合作完成时间； （2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量两队合作完成的工作量总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 5．（25-26七年级上·上海宝山·月考）某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 【答案】 0.6万平方米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米， ∴依题意得： 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 【答案】 20天 【分析】本题考查分式方程的应用，解决本题的关键是根据方案建立等式． 通过设规定工期为x天，根据方案A与方案B可得到甲队与乙队单独完成的天数，根据方案C中甲、乙两队的工作量关系列出方程求解． 【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需天， 根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程： ， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 即，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：规定的工期是20天． 7．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）为提升农村饮水安全保障水平，陕西省某县启动农村供水主管道更新工程，计划对辖区内一条老旧供水管道进行翻新．工程采用合作施工模式，由甲、乙两支工程队共同参与．已知该供水管道全长96千米，甲工程队每天施工长度比乙工程队多1千米，且甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别施工的长度； (2)已知甲工程队每天施工费是乙工程队的倍，施工结束后，甲队获得工程款18万元，乙队获得工程款12万元，且甲队施工天数比乙队多3天，求甲、乙两个工程队每天的施工费． 【答案】(1)甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米 (2)甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的，列出方程，解方程即可； （2）设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据甲队施工天数比乙队多3天，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工千米，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， （千米）， 答：甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米． （2）解：设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费万元，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：甲工程队每天施工费万元，乙工程队每天施工费1万元． 8．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设A型机完成这批零件所用的时间为小时，则B型机完成这批零件所用的时间为小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要小时，则B型机单独工作完成这批零件需要小时． 依题意得： 解得： 检验：当时，，，，符合题意， 所以原分式方程的解为． 答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时． 题型三   分式方程的经济问题 1．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 2．年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； (2)最多可以采购个乙种型号玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 3．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 4．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 5．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 【答案】(1)第一批哈密瓜每件进价是元 (2)第二批哈密瓜赚了元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元，根据水果店老板用元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）求出第二批哈密瓜的售价和件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批哈密瓜每件进价是元． （2）解：由（1）得：第二批哈密瓜的进价为（元），件数为（件）， 所以第二批哈密瓜的利润为：（元）． 答：第二批哈密瓜赚了元． 6．菠菜是藜科一年生草本植物，味甘、性平，归肝、胃、大肠、小肠经，具有解热毒，通血脉，利肠胃之功效．由于生物实验要求观察叶片表皮细胞结构，李老师上周花费30元购买了一批新鲜菠菜．本周实验时发现材料不足需补购，因市场变化，本周菠菜单价上涨了，李老师本周又花费45元购买菠菜，购得的菠菜比上周多2.5斤．问：李老师上周购买的菠菜每斤多少元？ 【答案】2.4元 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设李老师上周购买的菠菜每斤元，则本周购买的菠菜为每斤元， 由题意得，， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：李老师上周购买的菠菜每斤2.4元． 7．为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 【答案】(1)“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元 (2)至少购进“乾坤圈”牌的服装28套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式，是解题的关键： （1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出方程即可； （2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴； 答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元； （2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为28， 答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套． 题型四   分式方程和差倍分问题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器， 根据题意得，， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为，则B车的速度为 km/h． 【答案】45 【分析】先根据速度比设出两车速度，再根据A车比B车多行驶的时间列出方程，解方程求出速度． 【详解】设车的速度为，则车的速度为，根据题意得： A车比B车多行驶的时间为 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 答：车的速度为． 故答案为： 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键思路是根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系来建立方程求解． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同求改造后每天生产的产品件数． 【答案】400件 【分析】本题考查了分式方程的运用，设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由此列方程求解即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为件，由题意可得： ， 解得， 检验：当时，原方程有意义， 是方程的解． 答：改造后每天生产的产品件数为400件． 4．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有个．计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩个苹果；改为每名战士再多分个，结果还差个苹果．那么，这个哨所共有多少名战士？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键． 设战士人数为，根据两次分苹果的差异列出方程求解． 【详解】设哨所共有名战士， 第一次分苹果，每人分得个， 第二次分苹果，每人分得个， 由于第二次每人比第一次多分个， ， 解得：， 检验可得：是方程的解； 这个哨所共有名战士． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．求这个分数． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程并求解是解题的关键． 设分子为未知数，根据“分母比分子的4倍少1”表示出分母，再结合“分子加1后分数值为”列方程求解． 【详解】解：设分子为，则分母为． ， ， ， ， ， ∴ ， 经检验，是分式方程的解， ∴分母：， 故此分数为． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【答案】B种机器人每小时还书本 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解． 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本，列出分式方程求解即可． 【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本． 根据题意，得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B种机器人每小时还书本． 8．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 题型五   分式方程的其他实际问题 1．（25-26九年级上·河南焦作·期中）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，根据设的电阻为，则、的电阻之和为，列出分式方程求解x的值即为所得结果． 【详解】解：由电路图可知，该电路为并联电路，经过的支路电流与、经过的支路电流形成干路电流，设的电阻为，则、的电阻之和为， 由题意知，， 解得， 即的值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题． 【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为元， 因此可列方程， 解得，经检验，是分式方程的解， 则圆珠笔的数量为， ∵圆珠笔的数量一定是整数， ∴不符合题意． 故嘉嘉搞错了． 4．（25-26八年级上·北京昌平·期末）京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 5．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校少10%． 【问题解决】请你根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两校的学生人数各是多少？ (2)甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 【答案】(1)甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人 (2)甲校的人均图书册数是20册，乙校的人均图书册数是18册 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． （1）设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； （2）根据（1）求得的两校学生人数，直接计算人均图书册数． 【详解】（1）解：设乙校的人数为人，则甲校的学生人数为人 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （人）， 答：甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人； （2）解：甲校人均图书为（册）， 乙校人均图书为（册）， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 【答案】600亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变列方程，即可求解． 【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变，得 ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩． 8．（25-26八年级上·北京房山·期末）《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：边衬的宽度为． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高 (2)的值为3 (3) 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）由（2）知，，利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量， “丰收2号”小麦的单位面积产量， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴的值为3． （3）解：由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键． 10．（25-26八年级上·吉林·期末）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______． (2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． (3)_______．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）根据和，代入可求得，取倒数即可得到答案； （2）设的电阻值为，由题意可得，再根据列出方程，解方程即可得到答案； （3）由可得，取倒数即可得到． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴． 题型一   分式方程的综合运用 1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 3．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4分式方程 题型一   判断是否是分式方程 1．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 5．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 题型二   解分式方程 1．（25-26八年级上·河北唐山·月考）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）分式方程的解是（  ） A． B．= C．= D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北唐山·月考）关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）解方程： (1) (2) 6．（23-24八年级上·云南昭通·期末）解分式方程． (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）计算：． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期末）解分式方程：． 9．（25-26八年级上·全国·假期作业）解方程： (1) (2) 10．（25-26八年级上·河南许昌·月考）解分式方程 (1) (2) 题型三   根据分式方程解的情况求值 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 7．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 题型四   分式方程无解问题 1．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）关于的方程无解，则的值为（    ） A．5或 B．1或5 C．或 D．或1 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（       ） A．0 B．2 C．－2 D．4 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）关于x的分式方程无解，则 ； 6．（25-26八年级上·上海·期中）当 ， 方程 会产生增根． 7．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 题型五   列分式方程 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产箱药品，则下面所列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 题型一   分式方程的行程问题 1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 2．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 3．（25-26九年级上·云南昆明·月考）我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 4．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 5．（25-26七年级上·上海·月考）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 6．（25-26八年级上·全国·假期作业）在田径铁饼赛场上，使用机器狗送铁饼．某次运铁饼过程中，甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等．问乙机器狗这次运铁饼的速度是多少？ (1)小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是，可列方程为 ．小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是，可列方程为 ． (2)请你按照（1）中小佳同学的解题思路，写出完整的解答过程． 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 题型二   分式方程的工程问题 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 3．（25-26八年级上·全国·期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 4．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 5．（25-26七年级上·上海宝山·月考）某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 6．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 7．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）为提升农村饮水安全保障水平，陕西省某县启动农村供水主管道更新工程，计划对辖区内一条老旧供水管道进行翻新．工程采用合作施工模式，由甲、乙两支工程队共同参与．已知该供水管道全长96千米，甲工程队每天施工长度比乙工程队多1千米，且甲队单独完成工程的天数是乙队单独完成天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别施工的长度； (2)已知甲工程队每天施工费是乙工程队的倍，施工结束后，甲队获得工程款18万元，乙队获得工程款12万元，且甲队施工天数比乙队多3天，求甲、乙两个工程队每天的施工费． 8．（25-26八年级上·全国·期末）某工厂使用两台不同型号的注塑机(A型和 B型)合作生产一批零件．已知： 1．如果两台机器同时工作，完成这批零件所需的时间比A型机单独工作少5小时； 2．B型机单独工作完成这批零件所需的时间是A型机单独工作所需时间的2倍； 问：A型机单独工作完成这批零件需要多少小时？ 题型三   分式方程的经济问题 1．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 2．年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 3．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 4．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 5．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 6．菠菜是藜科一年生草本植物，味甘、性平，归肝、胃、大肠、小肠经，具有解热毒，通血脉，利肠胃之功效．由于生物实验要求观察叶片表皮细胞结构，李老师上周花费30元购买了一批新鲜菠菜．本周实验时发现材料不足需补购，因市场变化，本周菠菜单价上涨了，李老师本周又花费45元购买菠菜，购得的菠菜比上周多2.5斤．问：李老师上周购买的菠菜每斤多少元？ 7．为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 题型四   分式方程和差倍分问题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为，则B车的速度为 km/h． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同求改造后每天生产的产品件数． 4．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 5．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有个．计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩个苹果；改为每名战士再多分个，结果还差个苹果．那么，这个哨所共有多少名战士？ 6．（2025八年级上·全国·专题练习）有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．求这个分数． 7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 8．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 题型五   分式方程的其他实际问题 1．（25-26九年级上·河南焦作·期中）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）如图是小云画的一个电路图，已知，移动滑动变阻器至一位置，此时干路电流．若总电压，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 4．（25-26八年级上·北京昌平·期末）京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 5．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校少10%． 【问题解决】请你根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两校的学生人数各是多少？ (2)甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 8．（25-26八年级上·北京房山·期末）《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 10．（25-26八年级上·吉林·期末）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______． (2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． (3)_______．（用含，的式子表示）． 题型一   分式方程的综合运用 1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程：． 2．（25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 3．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $