专题2.4 分式方程（12大题型） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-创新”为逻辑链条，构建“基础模块-微专题-压轴”三阶训练体系，突出分式方程解题方法的系统性迁移与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程概念|1典例+3变式|定义辨析法|从分母含未知数的特征切入，建立分式方程与整式方程的概念区分| |解分式方程|1典例+4变式|去分母转化法|强调“去分母-求解-验根”三步法，突出最简公分母确定与增根检验| |参数问题|5模块（含解/增根/整数解等）|分类讨论策略|以方程解的存在性为线索，构建参数取值的逻辑推理框架| |实际应用|1典例+4变式|建模分析法|从经济、行程问题中抽象等量关系，培养数学建模与数据应用意识| |压轴突破|裂项/换元2专题|化归思想|通过代数变形将复杂方程转化为基本型，发展运算能力与创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.4 分式方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式方程概念 模块9列分式方程 模块2 解分式方程 模块10 分式方程的实际应用 模块3 错解纠错问题 微专题1分式方程的规律探索题 模块4 由分式方程解的值求参数 微专题2分式方程的新定义题 模块5 由分式方程增根求参数 压轴1 裂项法解分式方程 模块6由分式方程无/有解求参数 压轴2 换元法解分式方程 模块7由分式方程的整数解求参数 通关检测·实战演练 模块8 由分式方程解的取值范围求参数 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式方程 1.分式方程.：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的重要特征 (1)是方程; (2)分母中含有未知数. 知识点2 解分式方程 1.解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母:这也是解分式方程的一般 方法. 2. 解分式方程的一般步骤： ①‌去分母化成整式方程 ②‌求解整式方程 ③‌检验根是否是方程的解‌， 注意：验根是解分式方程的关键步骤，漏掉这一步很容易出错 知识点3 分式方程的增根问题 1.增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 2.考点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 模块通关·举一反 三 【模块一】分式方程概念 【典例1】．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可. 【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键. 【变式1-1】在方程，，， 中，分式方程有（     ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义，可得答案． 【详解】=2, =1是分式方程， 故答案选：B. 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义. 【变式1-2】下列关于x的方程，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】A. 方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B. 方程分母中不含未知数，故不是分式方程； C. 方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； D. 方程分母中含未知数x，故是分式方程． 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义. 【变式1-3】下列各式中，不是分式方程的是（     ） A． B． C． D．·（ 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A. B. C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A. B. C均不符合题目要求；D中的式子不是方程，故本选项符合题目要求． 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义. 【模块二】解分式方程 【典例2】分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解． 【详解】 解：， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的解， 故选：A． 【名师点拨】 本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验． 【变式2-1】分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】 根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】 解：方程变形得. 方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1. 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解． 故选：D． 【名师点拨】 本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键． 【变式2-2】下列分式方程去分母后所得结果正确的是（　　） A．去分母得， B．去分母得， C．去分母得， D．去分母得， 【答案】D 【分析】根据去分母的方法逐一分析即可． 【详解】解：去分母得，； 故A不符合题意； 去分母得，，故B不符合题意； 去分母得，，故C不符合题意； 去分母得，，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是解分式方程的去分母，掌握利用等式的基本性质去分母是解本题的关键． 【变式2-3】解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无解 (2) (3) (4) 【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1） 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，原方程无解； （2） 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，当时，， 所以原方程的解为； （3） 原方程可化为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （4） 原方程可化为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【模块三】错解纠错问题 【典例3】以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边同时乘，得，…………第一步 解得…………第二步 检验：当时，…………第三步 所以是原方程的解…………第四步 (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)写出正确的解方程的过程． 【答案】(1)一 (2)见详解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤一步步检查即可. （2）按照解分式方程的步骤进行计算即可. 【详解】（1）第一步去分母时等式右边的整数2没有乘以，因此小明的解法从第一步开始出现错误. 故答案为：一 （2）解：方程两边同时乘，得, 去括号，得, 解得, 检验：当时，, 所以是原方程的解. 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键. 【变式3-1】以下是小亮同学在解分式方程的过程： 解：去分母得………………①化简得………………………………② 解得，……………………………③ 经检验，，是原方程的解………④ 所以原方程的解为， 根据小亮的解题过程，回答下列问题： (1)小亮的解题过程中第 步开始出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小亮的解题过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项，得：， 检验：把代入， 所以原方程的解为． 【点睛】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题关键． 【变式3-2】小婷同学解分式方程的过程如下，请你认真阅读，并完成任务． 解：方程两边同乘得 ．        第一步        ．        第二步         第三步        ．第四步        检验：当时，．第五步 所以是原方程的解．        第六步 任务：①小婷的解答过程是从第______步开始出错的，错误的原因是______． ②请直接写出该分式方程的正确解． 【答案】①二；去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号；② 【分析】根据解分式方程的步骤，读懂每一步的解答，然后正确解出分式方程即可完成． 【详解】解：（1）原式．①方程两边同乘得：， 去括号得：，     整理得：，              解得：．         检验：当时，． 所以是原方程的解． 由上面解答知，第二步开始出错，错误原因是：去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号； 故答案为：二；去括号时括号前是负号，括号中的第二项没有变号 ②由①的解答知，分式方程的解为：． 【变式3-3】下面是小玲同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：方程两边同乘，得：   第一步     第二步   第三步            第四步               第五步 任务一：填空： （1）第一步的依据是______； （2）第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出正确的解答过程； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）等式的基本性质；（2）二，去括号时1没有乘以4 任务二：见解析 任务三：见解析（答案不唯一） 【分析】任务一：（1）根据等式的性质，等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；（2）找到方程出错的步骤，分析其原因即可； 任务二：直接根据解分式方程的步骤求解即可； 任务三：给出合理建议即可． 【详解】任务一：（1）等式的基本性质 （2）二，去括号时1没有乘以4 任务二：解：方程两边同乘，得：， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 任务三：建议：去括号时，如果括号前是负号，括号里的每一项都要变号．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握等式的性质，去括号，合并同类项的法则是解题的关键． 【模块四】由分式方程解的值求参数 【典例4】已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ， ∴， 当时，关于y的方程是：， ∴， ∴， ∴， 经检验：是关于y的方程的解． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验． 【变式4-1】a为何值时，关于x的分式方程的解为． 【答案】 【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答； 【详解】解：代入方程中得：，， 解得：， 经检验：是原方程的根； 【变式4-2】小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 【答案】 【分析】先按小明同学的方法去分母再将代入方程，即可求得的值，再求解方程． 【详解】解：由错误的去分母可得：， 解得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，既是基础知识又是重点．由于方程中两个分母互为相反数，所以去分母时，要注意符号问题，这是本题的关键． 【变式4-3】阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为、，求（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)−6，1 (2)13 (3) 【分析】（1）根据题意即可得到，； （2）方程的解为，得，，代入 即可得到答案； （3）原方程可变形为，由可得或，则，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个解，分别为，．且 方程的两个解分别为，， ，； （2）方程的两个解分别为，，则，， 由 ，把，代入上式得： ； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解法，读懂题意并准确计算是解题的关键． 【模块五】由分式方程增根求参数 【典例5】已知关于x的方程有增根，那么__________． 【答案】 【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值． 【详解】解：， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程， 解得． 把代入整式方程 无解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法． 【变式5-1】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的解法即可得到，再利用增根的定义即可解答． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查的了解分式方程，分式方程的增根，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式5-2】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的解法即可得到，再利用增根的定义即可解答． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查的了解分式方程，分式方程的增根，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式5-3】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【提示】 先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解． 【详解】 解：， 去分母得：， ∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2， ∴，即：m=2， 故选C． 【名师点拨】 本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 【模块六】由分式方程无/有解求参数 【典例6】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式无解得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 整理，得， 当即时，方程无解，即原分式方程无解； 当时，， ∵当或时，原分式方程无解， ∴或，则， 综上，满足条件的m值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键． 【变式6-1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式无解得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 整理，得， 当即时，方程无解，即原分式方程无解； 当时，， ∵当或时，原分式方程无解， ∴或，则， 综上，满足条件的m值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键． 【变式6-2】关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　） A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2 【答案】B 【提示】 解分式方程得：即，由题意可知，即可得到. 【详解】 解： 方程两边同时乘以得：， ∴， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B. 【名师点拨】 本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键. 【变式6-3】已知关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【答案】-6或1.5或-1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：2（x+2）+mx=x-1， 去括号得：2x+4+mx=x-1， 整理得（m+1）x=-5， 当m+1=0时，整式方程无解，解得m=-1； 当（x-1）（x+2）=0，即x=1或x=-2时，分式方程有增根， 当x=1时，m+1=-5，解得m=-6； 当x=-2时，-2（m+1）=-5，解得m=1.5； 故m的值是-6或1.5或-1， 故答案为：-6或1.5或-1． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【模块七】由分式方程的整数解求参数 【典例7】．已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______． 【答案】或 【分析】根据解方式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数的值，由此即可求解． 【详解】解： 移项， 即， ∴， ∴且， ∵解是正整数， ∴，且， ∵正整数， ∴，即， 此时（舍去）或或，符合题意； 综上所述，正整数的值是或． 【点睛】本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式7-1】若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（    ） A． B．4 C． D．4或 【答案】C 【分析】先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值． 【详解】方程两边同时乘以得 去括号得 移项合并同类项得 ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， 当时，，经检验，是原分式方程的解； 当时，，此时分式分母为0； 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验． 【变式7-2】若关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的负整数 的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出分式方程的解，然后结合分式方程的解为正整数，再求出的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∴； ∵，则； ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∴， 又为负整数， ∴的值为； 故选：D 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不能等于0． 【变式7-3】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】2 【分析】先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 是正整数，且， 满足条件的整数的和为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 【模块八】由分式方程解的取值范围求参数 【典例8】关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可． 【详解】∵， 去分母，得， 解得． ∵分式方程的解为正数，且方程的增根为， ∴， 解得且， 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【变式8-1】关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______． 【答案】 【分析】解出关于的分式方程的解为，解为正数解，进而确定的取值范围，注意增根时的值除外，再根据为负整数，确定的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， 关于的分式方程有正数解， ， ， 又是增根，当时，，即， ， ∴且， ∴符合条件的负整数m有，，，其和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数的意义是正确解答的关键． 【变式8-2】如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先求出该方程的解为，再根据解为非负数和可得和，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得， 综上：m的取值范围是且． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不为0． 【变式8-3】关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】求出分式方程的解，根据其解为正数可求得a的取值范围；再求出不等式组的解集，由不等式组有解可确定a的取值范围，最后可确定a的取值范围． 【详解】解：解分式方程，得， 由题意：， 解得：且； ∵关于y的一元一次不等式组有解， 即有解， ∴， ∴； 综合得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题是分式方程与不等式组的综合，考查了解分式方程，解一元一次不等式组，注意确定a的范围时，不要忽视分式方程的分母不为零这一隐含条件． 【模块九】列分式方程 【典例9】为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解． 【详解】 解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得： 故选：B． 【名师点拨】 考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题提示题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式9-1】某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】 根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】 解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2， 由题意可得：， 故选D． 【名师点拨】 本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 【变式9-2】八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　） A．-=20 B．-=20 C．-= D．= 【答案】C 【提示】 根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得， -=， 故选：C． 【名师点拨】 此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 【变式9-3】某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程． 【详解】 设班级共有x名学生，依据题意列方程得， 故选：B． 【名师点拨】 本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键． 【模块十】分式方程的实际应用 【典例10】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【提示】 （1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】 解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【名师点拨】 本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 【变式10-1】在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元． 【提示】 （1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可； （3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】 解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元． 依题意，得． 解得，，． 经检验，是原方程的根． ∴每盒产品的成本为：（元）． 答：每盒产品的成本为30元． （2） ； （3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下 ∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元； 当时，每天的最大利润为元． 【名师点拨】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． 【变式10-2】国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【提示】 （1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【名师点拨】 本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 【变式10-3】“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等．今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元．请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金． 【答案】租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元． 【提示】 设租用的B种客房每间客房的租金为x元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等列出方程，解之即可． 【详解】 解：设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 160+40=200元， ∴租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元． 【名师点拨】 本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式方程的规律探索题 【典例9】如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________． 【答案】41 【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可． 【详解】解：由图可得，，，……， ∴， ∵， ∴ ， 解得（舍去）或， 故答案为：41． 【点睛】此题考查了规律探究，解分式方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键． 【变式9-1】观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为______，其解为，； (2)根据这类方程特征，写出第个方程为______，其解为，； (3)请利用（2）的结论，直接写出关于的方程（其中为正整数）的解． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意归总结得第n个方程应为：， 故答案为：； （3）解： 将原方程变形为：， 令，即：， ∴根据题意直接写出解为：， ∴，． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． 【变式9-2】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1)， (2)， (3)过程见解析，， 【分析】（1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 【变式9-3】阅读下列材料： 关于的分式方程的解是， ，即的解是， 的解是， 的解是，． (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （3）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：方程可变形为：， 则由（2）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，都是原方程的解， 所以，． 【点睛】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． 【微专题二】分式方程的新定义题 【典例10】数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：，因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题中的新定义列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：D． 【点睛】此题考查了新定义，解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【变式10-1】通常情况下，不一定等于，但我们数学上存在这样一些特殊的数对，观察：，，，…，我们把符合的两个数叫做“和积数对”，已知m、是一对“和积数对”． (1)求代数式的值； (2)小明发现了一个关于m、n的结论：；你认为小明发现的结论正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明发现的结论正确，理由见解析 【分析】（1）由题意知，将代入中计算求解即可； （2）将进行整理得到与的关系，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵m、是一对“和积数对”， ∴， ∴， ∴代数式的值为； （2）解：小明发现的结论正确，理由如下： 去分母得：，即， ∵，， ∴． ∴结论正确． 【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，新定义运算，分式方程．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 【变式10-2】对于实数x，规定：． 例如：，，． (1)求值：___________；___________． (2)猜想：___________，并证明你的结论； (3)求：的值； (4)解方程：． 【答案】(1)1；1 (2)1；理由见详解 (3) (4) 【分析】（1）分别算出，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． （4）先去分母，化成整式方程，解出方程即可． 【详解】（1）∵；； ∴1； ∵；； ∴1； 故答案为：1；1； （2）∵； ∴1； 故答案为：1； （3） ＝ ＝ ＝． （4） 去分母得： 合并同类项得： 系数化为1得： 经检验：是方程的解 【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 【变式10-3】对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)是“易解方程”， ， (2) (3) 【分析】（1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断； （2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）解：是“易解方程”， 理由：可化为，， ∴是“易解方程”． 该方程的解为，； （2）解：由题意可得，， 故； （3）解：由题意得是“易解方程”， 设，方程可化为， 易知n和是这个方程的解， ∵n为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 【点睛】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】裂项法解分式方程 【典例11】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式： ；，，． (1)由此可推测__________；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）__________； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果； （2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果； （3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据已知条件可得：， 则一般规律为：； （2）解： ； （3）解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解． 【点睛】本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提． 【变式11-1】观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出下列各式的计算结果：＝　　 (2)猜想并写出：＝　　． (3)探究并解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出拆项规律，原式利用拆项法变形，计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律，写出即可． （3）先将方程左边拆项变形为，合并后再解方程． 【详解】（1） （2）． （3） 所以原方程可化为 两边同时乘以得， 当时最简公分母不等于0， 所以原分式方程的解是． 【点睛】此题考查了用裂项相消的方法解含形如的分式方程的解法，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键． 【变式11-2】观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可； （2）利用找出的一般规律进行计算即可； （3）根据找出的规律将方程变形为，然后解分式方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， …， ∴． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：分式方程整理得：， 即， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原分式方程的解， ∴原方程的解为：． 【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，解分式方程，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键． 【变式11-3】李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可； （2）根据“裂项”的方法，计算证明即可； （3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数四则混合运算、解分式方程，解本题的关键在理解题意，充分利用运算规律计算． 【压轴二】换元法解分式方程 【典例12】阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 【解析】 【详解】 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验： 都是方程的解， ∴当时，，解得；当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，，或 (2) 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得，根据换元法，可得答案． 【详解】（1）设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：，解得：或2， 经检验：和2都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得：． 经检验：和是原分式方程的解， 故答案为：，，或； （2）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以y得：，解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：． 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法，注意将所得的解代入分式方程检验分式方程是否有意义． 【变式12-1】．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则原方程可化为，去分母即可． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， 则，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，解此题的关键是能正确换元． 【变式12-2】用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可． 【详解】解：设， 可化为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法． 【变式12-3】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 (4)， 【分析】（1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可； （4）利用换元法，转化为材料中的规律解答． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）， ， ， 即，， 解得：，； （4）令，则方程可化为， 由（2）规律可得，，； 即或， 解得，． 【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可. 【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2.分式方程的根是（    ） A． B．1 C．5 D．7 【答案】D 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． 3.已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（       ） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3， 整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得：， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程﹣1＝无解， ∴或， 即无解或3（m+2）＝﹣3， 解得m＝﹣2或﹣3． ∴m的值是﹣2或﹣3． 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件． 4．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可． 【详解】解： 两边都乘以，得：， 解得：， 因为分式方程的解为正数， 所以且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件． 5.关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题． 【详解】 解：, 两边同时乘以（)， , , 由于该分式方程的解为正数， ∴，其中; ∴，且； ∵关于y的元一次不等式组有解， 由①得：; 由②得：; ∴， ∴ 综上可得：,且; ∴满足条件的所有整数a为：； ∴它们的和为； 故选B． 【名师点拨】 本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的提示能力有一定要求，属于较难的计算问题． 二 填空题 6.方程的解是__________． 【答案】 【分析】按解分式方程的步骤解方程，即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的方法和步骤是解决本题的关键． 7.若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______． 【答案】1 【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 方程有增根， ， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键． 8.若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝_____． 【答案】 【分析】先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：；经检验，符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的方法与步骤是解本题的关键． 9.小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 【答案】 【分析】先按小明同学的方法去分母再将代入方程，即可求得的值，再求解方程． 【详解】解：由错误的去分母可得：， 解得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，既是基础知识又是重点．由于方程中两个分母互为相反数，所以去分母时，要注意符号问题，这是本题的关键． 10定义一种新运算，当时，．若，则______． 【答案】4或 【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解． 【详解】解：由题意可知：当时，则， 解得：， 经检验当时，，且 ∴是原方程的解； 当时，则， 解得：， 经检验当时，，且 ∴是原方程的解； 故答案为4或． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 三.解答题 11．解下列分式方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （3）解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （4）解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12．已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案； （2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可； （3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得； （2）， 两边都乘以得， ， 整理得，， 由分式有增根，则， ∴或， 把代入，a的值不存在， 把代入，解得， 综上可知，； （3）由（2）可知，， 当时，方程无解，即， 当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知， 综上可知，或． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 13.关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的根； (2)若这个方程的解为正数，求取值的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）把代入分式方程，去分母，解的值，再进行检验即可； （2）首先解分式方程，解出，分式方程解为正数的条件为有解且解为正数，分式方程有解的条件为，故且，解出的范围即可． 【详解】（1）解：（1）当时，分式方程为； ， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以当时，分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法以及分式方程解为正数的条件的理解． 14.阅读：对于两个不等的非零实数、．若分式的值为零，则或，又因为，所以关于的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解中较小的一个为___________； (2)解关于的方程首先将两边同加1成，设两个解分别为（），则求． (3)关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由所给材料直接可得答案； （2）将所求的方程变形为，再由阅读材料可得或，求出方程的解即可； （3）将所求的方程变形为，再由阅读材料可得或，求出，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：中， ∴方程的两个解分别为， ∴较小的一个为， 故答案为：； （2）∵， ∴或， 解得； （3）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解法，根据所给的阅读材料，将所求的分式方程转化为一元一次方程是解题的关键． 15.我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.4 分式方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式方程概念 模块9列分式方程 模块2 解分式方程 模块10 分式方程的实际应用 模块3 错解纠错问题 微专题1分式方程的规律探索题 模块4 由分式方程解的值求参数 微专题2分式方程的新定义题 模块5 由分式方程增根求参数 压轴1 裂项法解分式方程 模块6由分式方程无/有解求参数 压轴2 换元法解分式方程 模块7由分式方程的整数解求参数 通关检测·实战演练 模块8 由分式方程解的取值范围求参数 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式方程 1.分式方程.：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的重要特征 (1)是方程; (2)分母中含有未知数. 知识点2 解分式方程 1.解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母:这也是解分式方程的一般 方法. 2. 解分式方程的一般步骤： ①‌去分母化成整式方程 ②‌求解整式方程 ③‌检验根是否是方程的解‌， 注意：验根是解分式方程的关键步骤，漏掉这一步很容易出错 知识点3 分式方程的增根问题 1.增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 2.考点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 模块通关·举一反 三 【模块一】分式方程概念 【典例1】．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在方程，，， 中，分式方程有（     ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列关于x的方程，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，不是分式方程的是（     ） A． B． C． D．·（ 【模块二】解分式方程 【典例2】分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列分式方程去分母后所得结果正确的是（　　） A．去分母得， B．去分母得， C．去分母得， D．去分母得， 【变式2-3】解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块三】错解纠错问题 【典例3】以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边同时乘，得，…………第一步 解得…………第二步 检验：当时，…………第三步 所以是原方程的解…………第四步 (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)写出正确的解方程的过程． 【变式3-1】以下是小亮同学在解分式方程的过程： 解：去分母得………………①化简得………………………………② 解得，……………………………③ 经检验，，是原方程的解………④ 所以原方程的解为， 根据小亮的解题过程，回答下列问题： (1)小亮的解题过程中第 步开始出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【变式3-2】小婷同学解分式方程的过程如下，请你认真阅读，并完成任务． 解：方程两边同乘得 ．        第一步        ．        第二步         第三步        ．第四步        检验：当时，．第五步 所以是原方程的解．        第六步 任务：①小婷的解答过程是从第______步开始出错的，错误的原因是______． ②请直接写出该分式方程的正确解． 【变式3-3】下面是小玲同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：方程两边同乘，得：   第一步     第二步   第三步            第四步               第五步 任务一：填空： （1）第一步的依据是______； （2）第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出正确的解答过程； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【模块四】由分式方程解的值求参数 【典例4】已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】a为何值时，关于x的分式方程的解为． 【变式4-2】小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 【变式4-3】阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为、，求（用含n的代数式表示）． 【模块五】由分式方程增根求参数 【典例5】已知关于x的方程有增根，那么__________． 【变式5-1】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【模块六】由分式方程无/有解求参数 【典例6】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【变式6-1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【变式6-2】关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　） A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2 【变式6-3】已知关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【模块七】由分式方程的整数解求参数 【典例7】．已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______． 【变式7-1】若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（    ） A． B．4 C． D．4或 【变式7-2】若关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的负整数 的和是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【模块八】由分式方程解的取值范围求参数 【典例8】关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式8-1】关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______． 【变式8-2】如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式8-3】关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是___________． 【模块九】列分式方程 【典例9】为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　） A．-=20 B．-=20 C．-= D．= 【变式9-3】某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ） A． B． C． D． 【模块十】分式方程的实际应用 【典例10】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【变式10-1】在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 【变式10-2】国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式10-3】“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等．今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元．请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式方程的规律探索题 【典例9】如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________． 【变式9-1】观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为______，其解为，； (2)根据这类方程特征，写出第个方程为______，其解为，； (3)请利用（2）的结论，直接写出关于的方程（其中为正整数）的解． 【变式9-2】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【变式9-3】阅读下列材料： 关于的分式方程的解是， ，即的解是， 的解是， 的解是，． (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 【微专题二】分式方程的新定义题 【典例10】数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：，因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式10-1】通常情况下，不一定等于，但我们数学上存在这样一些特殊的数对，观察：，，，…，我们把符合的两个数叫做“和积数对”，已知m、是一对“和积数对”． (1)求代数式的值； (2)小明发现了一个关于m、n的结论：；你认为小明发现的结论正确吗？请说明理由． 【变式10-2】对于实数x，规定：． 例如：，，． (1)求值：___________；___________． (2)猜想：___________，并证明你的结论； (3)求：的值； (4)解方程：． 【变式10-3】对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题： (1)判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． (2)若，是“易解方程”的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】裂项法解分式方程 【典例11】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式： ；，，． (1)由此可推测__________；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）__________； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【变式11-1】观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出下列各式的计算结果：＝　　 (2)猜想并写出：＝　　． (3)探究并解方程：． 【变式11-2】观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 【变式11-3】李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 【压轴二】换元法解分式方程 【典例12】阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 【解析】 【详解】 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验： 都是方程的解， ∴当时，，解得；当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ； (2)模仿上述换元法解方程：． 【变式12-1】．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（  ） A． B． C． D． 【变式12-2】用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (3)由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论解方程：． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2.分式方程的根是（    ） A． B．1 C．5 D．7 3.已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（       ） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3 4．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5.关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A． B． C． D． 二 填空题 6.方程的解是__________． 8.若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝_____． 9.小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 10定义一种新运算，当时，．若，则______． 三.解答题 11．解下列分式方程： (1)； (2) (3)； (4)． 12．已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 13.关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的根； (2)若这个方程的解为正数，求取值的范围． 14.阅读：对于两个不等的非零实数、．若分式的值为零，则或，又因为，所以关于的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解中较小的一个为___________； (2)解关于的方程首先将两边同加1成，设两个解分别为（），则求． (3)关于的方程的两个解分别为（），求的值． 15.我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为． ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $