1.2提公因式法（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖提公因式法概念、运算、应用及综合拓展，通过基础巩固到实际运用的路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|确定公因式|以选择、填空题为主，考查系数与字母公因式提取，培养抽象能力| |基础运算|提公因式法分解|包含单式、多项式因式分解，强化运算能力，衔接新授课基础目标| |初步应用|代数值计算|结合已知条件求值，体现因式分解简化运算的工具性，发展推理意识| |综合应用|实际问题解决|联系几何面积、物理电路等情境，构建数学模型，提升应用意识| |拓展提升|综合运用|融入竞赛题与跨知识点问题，深化知识迁移能力，激发创新意识|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.2提公因式法 基础达标题 题型一 确定公因式 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】6a2bc 9x2ys 9v5x2 6.【答案】 2xy'z 7.【答案】 题型一 利用提公因式法进行因式分解 1.【答案】D 2.【答案】3(x-1) x(x-3) 3.【答案】 3a(3a-1) 4.【答案】 3m(x-2y) 5.【答案】 6. 3x(x+2+y) 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式3x即可分解因式. 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x2+6x+3xy 【详解】解： =3x(x+2+y) 7. 3x(3x-2y+1) 【答案】(1) 2a-2m-） 【分析】本题考查了因式分解： (1)直接提出公因式3x即可； m(a-2)-n(a-2) (a-2) (2)原式先变形为 ,然后提出公因式 即可. =3x(3x-2y+1) 【详解】(1)解：原式 (2)解：原式=m(a-2)小-n(a-2) =(a-2)(m-n) 8. (m-n)(a+2b) 【答案】(1) (②5(x-'(2b-a) 3)2(2a+b)} 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法， (1)先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可： (2)先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； (3)先提取公因式2+b),然后合并同类项，再提取公因式即可： 【详解】(1)解： 2a(m-n)-4b(n-m) 2/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2a(m-n)-4b[-(m-n)] =2a(m-n)+4b(m-n) =2(m-n)(a+2b) (2)解： 10b(x-y)2-5a(0y-x)月 =10b(x-y)}-5a(x-y)月 =(x-y)'(10b-5a) =5(x-y)'(2b-a) (3)解：(2a+b2a-3b)+(2a+5b)j(2a+b) =(2a+b)(2a-3b+2a+5b) =(2a+b)(4a+2b) =2(2a+b)(2a+b) =2(2a+b} 题型二 利用因式分解求代数值的值 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】7 7.【答案】63 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 【答案】 2(0y-z(a+2b)0 【分析】本思考查的是因武分解，求解代数式的值，先化为2如-)+46(，-)，再提公因式，最后代 入数据进行计算即可： 【详解】解.2a(0y-z-46(e-y =2a(y-z)°+4b(y-z月 =2(y-z)°(a+2b) 当a=2,b=-1时原式=20y-2八(2-2)=0 题型三 因式分解的实际应用 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 4. 【答案】(2a+b)(a+b) 【分析】本题考查因式分解：用长方形面积减去正方形面积，利用提公因式法因式分解即可. 【详解】解：长方形面积：(3a+2ba+b), (a+b)2 挖去的正方形面积： (3a+2b)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(3a+2b-a-b)=(2a+b)(a+b) 剩余面积： 5. 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，仿照例题将x2-3x=1,整体代入代数式求值，即可. 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：x2-3x-1=0, x2-3x=1 2x3-3x2-11x+1 =2x(2-3x+3x2-11x+1 =2x×1+3x2-11x+1 =3x2-9x+1 =3(x2-3x)+1 =3×1+1 =4 6. 【答案】220 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解.用提公因式法把 U=R+R,+R,因式分解为 (R+R2+R) 再进行计算求值， U=IR +IR,+IR3=I(R+R,+R) 【详解】解：根据题意，得 =2.2×(20.3+31.9+47.8) =2.2×100 =220 拓展培优题 题型一 提公因式法的综合运用 1.【答案】0 2. 【答案】 x(x+5)x2+5x+10) 5/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】木题考查因式分解，熟练掌提因式分解的方法，是解题的关健.把《+)(+)作为组， (《+2儿x+3)作为组，分别展开，再把+5红作为个整体，肇续辰开，然后进行因式分解即可。 【详解】解：(x+10(x+2x+3)0x+4)-24 =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24 =(x2+5x+10(x2+5x)+24-24 =(x2+5x+10(x2+5x) =(x2+5x)(x2+5x+10） =x(x+5)(x2+5x+10) 3. ②. 1 【答案】(1)①2②2(2)29 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思 想是解题的关键： (1)①对x+y+2=0两边同时平方求解即可；②对y+z+z=2两边同时平方，可得xy+xz2+yz2 一4，再对其两边同时平方求解即可； x-yx2+xy+y2)=4 2-2xy+y2=1 (2)由立方差公式可得 ,由完全平方公式可得 进而可得1，则 x2+y2=3,x2+y2= 两边同时平方可得+=7，再由 (x3-yx4+y) ,对 求解即可. 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y+z=0x2+y2+z2=1 【详解】解：(1)解：① ∴.(x+y+z)2=[(x+y)+z]=(x2+2xy+y2)+z2+2zx+2zy=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz =x2+y2+z2+2(y+xz+z)=1+2(y+xz+yz)=0 1 .'.x+X+y=- 2: ②：x+y+2=0,y+z+z=- 2, (y+xz+z)2=x2y2+x2z2+y2z2+2x2y2+2zx2+20z2=x2y2+x2z2+y2z2+2xzx+y+z)=x2y2+x2z2+y2z2 4, +了+y=+y++2y+2r2+2y2=+y+2+2(ey2+2+r）r+广++-l :+y+2=2: 1 (2)解： x-y=1,x3-y23=4 x3-y2=(x-y)(x2+xy+y2)=4(x-y)2=x2-2xy+y2=1 x2+xy+y2=4x2-2xy+y2=1 xy=1, x2+y2=3 ∴(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4=x4+y4+2=9 .x4+y4=7 ∴(x3-y2x4+y)=x+x3y4-xy2-y2=x2-y+x3y20y-x)=x7-y2-1=4×7=28 .x-y2=29 7/7 1.2提公因式法 题型一   确定公因式 1．（25-26八年级上·广东汕头·月考）多项式的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西大同·月考）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）多项式的公因式是 ． 6．（25-26八年级上·新疆·月考）用提公因式法分解时，应提出的公因式 ． 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）把分解因式时，应提取的公因式是 ． 题型一   利用提公因式法进行因式分解 1．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）因式分解： ． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）因式分解： ． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期末）因式分解： ． 5．（25-26八年级上·广东汕头·月考）用提公因式法分解因式： 6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：． 7．（25-26八年级上·天津宝坻·月考）分解因式： (1)； (2) 8．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 题型二   利用因式分解求代数值的值 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 4．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若，则的值为（） A．143 B．134 C． D．153 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）若实数x满足，则代数式的值为 ． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么 ． 8．（25-26八年级上·新疆·月考）先分解因式，再求值：，其中，． 题型三   因式分解的实际应用 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（   ） A．30 B．40 C．70 D．140 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 6．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，把，，三个电阻串联起来，线段AB上的电流为，电压为，则．若，，，，求的值． 题型一   提公因式法的综合运用 1．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若，则的和为 ． 2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2提公因式法 题型一   确定公因式 1．（25-26八年级上·广东汕头·月考）多项式的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式；找出多项式中各项系数的最大公因数和公有变量的最低次幂，组合得到公因式． 【详解】解：∵多项式为， 各项系数为12和30，最大公因数为6， 公有变量为，最低次幂为， ∴公因式为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西大同·月考）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：∵系数和的最大公因数为，变量和都含有， ∴公因式为． 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到，与第一个多项式对比，可知公因式为． 【详解】解：∵ ， ∵ 第一个多项式为， ∴二者的公因式为， 故选D． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，的最小指数为2，的最小指数为2，的最小指数为1，故公因式为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·新疆·月考）用提公因式法分解时，应提出的公因式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，通过提取多项式中各项的公因式，包括系数的最大公约数和变量的最低次幂，找出公因式即可． 【详解】解：多项式为，系数27和18的最大公约数为9，变量x的指数取较小值2，变量y的指数取较小值5， 因此公因式为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）把分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 题型一   利用提公因式法进行因式分解 1．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 确定公因式是3，再提出公因式化成两个整式乘积的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，直接提取公因式x分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．提公因式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东汕头·月考）用提公因式法分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是关键；通过识别多项式中各项的公因式，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·天津宝坻·月考）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）直接提出公因式即可； （2）原式先变形为，然后提出公因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型二   利用因式分解求代数值的值 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，通过提取公因式进行因式分解，然后利用乘法分配律简化计算即可 【详解】解：， 又， 故选：A 3．（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，整理原式为，即可求解． 提取公因式2025进行因式分解，简化计算即可． 【详解】解：， 故选：C 4．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出的值，再将原式因式分解为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若，则的值为（） A．143 B．134 C． D．153 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，因式分解，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 将表达式中的提取公因式化为，整体表达式转化为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）若实数x满足，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果，那么 ． 【答案】63 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式， 故答案为：63． 8．（25-26八年级上·新疆·月考）先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先化为，再提公因式，最后代入数据进行计算即可. 【详解】解： 当，时，原式 题型三   因式分解的实际应用 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴若，则，为等腰三角形； 若，则，不符合三角形三边关系，舍去； 综上，三角形为等腰三角形， 故选：C． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（   ） A．30 B．40 C．70 D．140 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形的周长计算公式和面积计算公式可推出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：用长方形面积减去正方形面积，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：长方形面积：， 挖去的正方形面积：， 剩余面积：． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，仿照例题将，整体代入代数式求值，即可． 【详解】解： +1 6．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，把，，三个电阻串联起来，线段AB上的电流为，电压为，则．若，，，，求的值． 【答案】220 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解：根据题意，得   题型一   提公因式法的综合运用 1．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若，则的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把作为一组，作为一组，分别展开，再把作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【详解】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $