9.2 提公因式法（题型专练，4大题型）数学新教材苏科版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.2提公因式法 题型一公因式 题型二利用提公因式法分解因式 基础达标题 题型三利用提公因式法求代数式的值 提公因式法 题型一 提公因式法的应用 能力提升题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一公因式 1.D 2.D 3.A 4.2x. 题型二利用提公因式法分解因式 1.4ab(3b-2ac). 2.(n-3)(n-4). 3.(a+1)(a-1). 4.(y-z)(2a+3b 题型三利用提公因式法求代数式的值 1.C 2.C 3.10 4.120 1/2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一提公因式法的应用 1.(1)12;(2)36. 2.(1)不符合题意；(x-2)4;(2)(a-1)4 3.(1)-8;(2)①1000000：②1010. 4.(1)提公因式法，2；(2)(1+x)6;(3)n:(1+x)m1. 拓展培优题 1.D 2.A 3.B 4.①3.98；②-2014. 2/2 9.2 提公因式法 题型一 公因式 1．多项式12ab3c+8a3b的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 2．多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是（　　） A．5mx2 B．5mxy C．mx D．5mx 3．多项式6x2﹣16x3的公因式为（　　） A．2x2 B．6x2 C．6x3 D．48x3 4．2x2与6xy的公因式是 ． 题型二 利用提公因式法分解因式 1．把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　 　 ． 2．将多项式（n﹣3）2﹣（n﹣3）因式分解的结果是　 　 ． 3．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　 ． 4．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　 　 ． 题型三 利用提公因式法求代数式的值 1．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 2．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 3．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　　 ． 4．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　　 ． 题型一 提公因式法的应用 1．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）3a3b﹣6a2b2+3ab3． 2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+2）（y+6）+4…（第一步） ＝y2+8y+16…（第二步） ＝（y+4）2…（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2…（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a）（a2﹣2a+2）+1进行因式分解． 3．（1）已知有理数a、b满足（a+2）2＝﹣b2+6b﹣9，求ab的值． （2）先观察下列计算过程，再解答问题． 99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104． 则：①999×999+1999＝ 　 　 ； ②求99999×99999+199999的值． 4．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　 　 ，共应用了　 　 次； （2）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． （3）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n，则需应用上述方法n 次，结果是　 （n为正整数）． 1．计算：（﹣2）100+（﹣2）99的值是（　　） A．﹣2100 B．﹣299 C．2100 D．299 2．把3（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．3﹣m B．3+m C．m﹣3 D．﹣m﹣3 3．把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 4．简便计算： ①1.992+1.99×0.01； ②20132+2013﹣20142． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 提公因式法 题型一 公因式 1．多项式12ab3c+8a3b的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 【答案】D 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2）， 故选：D． 【点评】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 2．多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是（　　） A．5mx2 B．5mxy C．mx D．5mx 【答案】D 【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案． 【解答】解：多项式5mx3+25mx2﹣10mxy各项的公因式是5mx， 故选：D． 【点评】本题考查了公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母是相同的字母，指数是相同字母的指数最底的指数． 3．多项式6x2﹣16x3的公因式为（　　） A．2x2 B．6x2 C．6x3 D．48x3 【答案】A 【分析】根据公因式为系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，求解即可． 【解答】解：多项式6x2﹣16x3的公因式为2x2； 故选：A． 【点评】本题考查公因式．熟练掌握公因式是系数的最大公因数乘以相同字母的最低次幂，是解题的关键． 4．2x2与6xy的公因式是 ． 【答案】2x． 【分析】根据公因式定义确定即可． 【解答】解：2x2与6xy的公因式是2x， 故答案为：2x． 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 题型二 利用提公因式法分解因式 1．把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　 　 ． 【答案】4ab（3b﹣2ac）． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：12ab2﹣8a2bc＝4ab（3b﹣2ac）， 故答案为：4ab（3b﹣2ac）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 2．将多项式（n﹣3）2﹣（n﹣3）因式分解的结果是　 　 ． 【答案】（n﹣3）（n﹣4）． 【分析】先找出公因式，然后提取即可． 【解答】解：（n﹣3）2﹣（n﹣3）＝（n﹣3）（n﹣3﹣1）＝（n﹣3）（n﹣4）， 故答案为：（n﹣3）（n﹣4）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 3．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　 ． 【答案】（a+1）（a﹣1）． 【分析】将原式变形后利用提公因式法因式分解即可． 【解答】解：原式＝（a+1）2﹣2（a+1） ＝（a+1）（a+1﹣2） ＝（a+1）（a﹣1）， 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，将原式进行正确的变形是解题的关键． 4．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　 　 ． 【答案】（y﹣z）（2a+3b） 【分析】利用提公因式法分解即可． 【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y） ＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键． 题型三 利用提公因式法求代数式的值 1．计算（﹣2）2025+（﹣2）2026的结果为（　　） A．﹣22025 B．﹣22026 C．22025 D．22026 【答案】C 【分析】先提公因式（﹣2）2025，再计算即可． 【解答】解：（﹣2）2025+（﹣2）2026 ＝（﹣2）2025×[1+（﹣2）] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． 2．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 【答案】C 【分析】将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6， ∴a﹣c＝﹣1， ∴a2﹣ac﹣b（a﹣c） ＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c） ＝（a﹣c）（a﹣b） ＝5×（﹣1） ＝﹣5； 故选：C． 【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，代数式求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． 3．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　　 ． 【答案】10 【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解． 【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝1×10 ＝10． 【点评】此题考查了代数式求值，因式分解﹣提公因式法．注意整体思想在解题中的应用． 4．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　　 ． 【答案】120 【分析】根据长方形的周长与面积公式求出a+b与ab的值，原式提取公因式后代入计算即可求出值． 【解答】解：由题意得：a+b＝8，ab＝15， 则原式＝ab（a+b）＝120， 故答案为：120 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 题型一 提公因式法的应用 1．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）3a3b﹣6a2b2+3ab3． 【答案】（1）12； （2）36． 【分析】（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，提公因式ab分解因式，然后再代入式子计算即可． （2）先提公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12， 当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝ab（a﹣b） ＝12×1 ＝12； （2）当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝3ab（a2﹣2ab+b2） ＝3ab（a﹣b）2 ＝3×12×12 ＝36． 【点评】本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值．熟练掌握以上知识点是关键． 2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+2）（y+6）+4…（第一步） ＝y2+8y+16…（第二步） ＝（y+4）2…（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2…（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a）（a2﹣2a+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）不符合题意；（x﹣2）4； （2）（a﹣1）4． 【分析】（1）根据因式分解必须彻底进行判断并改正即可； （2）设a2﹣2a＝m，换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不符合题意； 正确的因式分解结果应为（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4； （2）设a2﹣2a＝m， 原式＝m（m+2）+1 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2 ＝（a2﹣2a+1）2 ＝[（a﹣1）2]2 ＝（a﹣1）4． 【点评】本题考查利用完全平方公式因式分解及换元法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（1）已知有理数a、b满足（a+2）2＝﹣b2+6b﹣9，求ab的值． （2）先观察下列计算过程，再解答问题． 99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝1002＝104． 则：①999×999+1999＝ 　 　 ； ②求99999×99999+199999的值． 【答案】（1）﹣8； （2）①1000000； ②1010． 【分析】（1）把等式右边部分移到左边，再分解因式，然后根据完全平方式的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，从而求出答案即可； （2）①把999写成1998+1的形式，再利用完全平方公式进行计算即可； ②把199999写成199998+1的形式，再利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵（a+2）2＝﹣b2+6b﹣9， ∴（a+2）2+b2﹣6b+9＝0， （a+2）2+（b﹣3）2＝0， ∵（a+2）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8； （2）①原式＝999×999+1998+1 ＝（999+1）2 ＝10002 ＝1000000 故答案为：1000000； ②原式＝999992+199998+1 ＝（99999+1）2 ＝1000002 ＝（105）2 ＝1010． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和因式分解，解题关键是熟练掌握逆用乘法分配律分解因式进行计算． 4．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　 　 ，共应用了　 　 次； （2）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． （3）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n，则需应用上述方法n 次，结果是　 （n为正整数）． 【答案】（1）提公因式法，2； （2）（1+x）6； （3）n；（1+x）n+1． 【分析】（1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【解答】解：（1）根据因式分解的过程，上述分解因式的方法是提取（1+x）这个公因式，所以用的是提取公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）根据（1）分解因式的方法可得： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3] ＝（1+x）3[1+x+x（x+1）2] ＝（1+x）4[（1+x（x+1）] ＝（1+x）5（1+x） ＝（1+x）6； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣2] ＝⋯ ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1， 根据分解过程可知，应用上述方法n次，结果是（1+x）n+1． 故答案为：n；（1+x）n+1． 【点评】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． 1．计算：（﹣2）100+（﹣2）99的值是（　　） A．﹣2100 B．﹣299 C．2100 D．299 【答案】D 【分析】先用同底数幂的乘法逆运算将（﹣2）100化为（﹣2）99×（﹣2），再提公因数计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）99×（﹣2）+（﹣2）99 ＝（﹣2）99×（﹣2+1） ＝（﹣2）99×（﹣1） ＝299， 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．把3（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．3﹣m B．3+m C．m﹣3 D．﹣m﹣3 【答案】A 【分析】通过将（b﹣a）表示为﹣（a﹣b），化简原式后提取公因式（a﹣b），即可得到另一个因式． 【解答】解：把3（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b）， ∵b﹣a＝﹣（a﹣b）， ∴3（a﹣b）+m（b﹣a）＝3（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（3﹣m）． ∴另一个因式是3﹣m． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，利用提多项式公因式是解题关键． 3．把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 【答案】B 【分析】找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【解答】解：原式＝2xy2z（2x2﹣3z2+6yz）， ∴4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2的公因式是2xy2z； 故选：B． 【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键， 4．简便计算： ①1.992+1.99×0.01 ②20132+2013﹣20142． 【答案】见试题解答内容 【分析】①直接提取公因式1.99，进而求出答案； ②将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【解答】解：①1.992+1.99×0.01 ＝1.99×（1.99+0.01） ＝3.98； ②20132+2013﹣20142 ＝2013[（2013+1）]﹣20142 ＝2013×2014﹣20142 ＝2014×（2013﹣2014） ＝﹣2014． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $