精品解析：山东省临沂市郯城县2025-2026学年下学期七年级期末考试数学试卷

2025~2026学年度下学期学业质量检测试题 七年级数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在，，，这四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同角的余角相等 C. 内错角相等 D. 如果，那么 4. 若，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了探究武汉2025年上半年白昼时长的变化规律，收集到1月5日至6月21日部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时间武汉白昼时长的变化趋势，估计4月20日的白昼时长约是（ ） A. 672分钟 B. 702分钟 C. 732分钟 D. 762分钟 6. 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 9. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 12. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为________． 13. 如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为________． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算解不等式组 （1） （2），并把解集在数轴上表示出来． 17. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息：的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．根据信息解决下列问题： 模型设计成绩的频数分布直方图 模型设计成绩的扇形统计图 （1）抽取学生的总数为____人； （2）请补全频数分布直方图； （3）成绩为的学生所在扇形圆心角的度数为____； （4）请估计全校名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 18. 如图，每个小正方形的边长均为，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： （1）请在给定的网格图中，精准地绘制出平面直角坐标系并写出点的坐标（_______，________）； （2）在平面直角坐标系中，画出平移后的；其中点，，的对应点分别为，，（不写画法）； （3）请问在轴上是否存在一点，使的面积是的面积的倍，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，，与互补． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 20. 根据以下信息，按要求完成下列任务． 知行合一·全面发展”研学探究项目 项目背景：研学就是“行走的课堂”，目的是让孩子知行合一，意义在于全面提升综合能力．研学基地为激发学生参与性，举行了多种竞赛活动，并购买甲、乙两种机器人模型作为奖品奖励学生． 项目要求：运用二元一次方程组、一元一次不等式组等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示： 素材：已知购买个甲种机器人模型和个乙种机器人模型共花费元；购买个甲种机器人模型和个乙种机器人模型则花费了元． 素材2：基地计划采购个机器人模型，以满足活动的需求．同时，此次购买甲、乙两种机器人模型的总费用不超过元． 素材3：为了保证活动的有效开展，购买甲种机器人模型的数量不得多于乙种机器人模型数量的倍． 问题解决 （1）任务一：精准定价，请你依据素材，精确计算出购买一个甲种机器人模型和一个乙种机器人模型分别需要多少钱 （2）任务二：方案规划，请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究基地共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种机器人模型的具体购买数量． （3）任务三：成本优化，在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 21. 综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 （1）画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． （2）判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； （3）观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． （4）【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 22. 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，为非零常数）．例如：，．已知，． （1）________，________． （2）已知，为非负整数，求关于，的方程的解． （3）若关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 23. 已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． （1）【基础探究】若点在直线的下方且在直线的上方（如图所示），试探究，，之间的数量关系，并给出详细的证明过程． （2）【深入探究】在（1）的条件下，过点作的角平分线交的延长线于点，过点作的角平分线交的反向延长线于点（如图所示），若，，求的度数； （3）【扩展探究】若点在直线的上方且不在直线上，过点所作的角平分线与过点所作的角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期学业质量检测试题 七年级数学 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 在，，，这四个数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，只需分别判断四个数与的大小关系，即可得到正确答案． 【详解】解：， 排除A选项和B选项； ， 排除D选项； 比较和， ，，， ．因此比大的数是． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 对乘坐飞机的乘客进行安检 C. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】B 【解析】 【分析】根据调查范围，调查是否具有破坏性，对结果的要求判断即可，适合全面调查的情况为：结果要求精确，必须对所有个体逐一检查，且调查不具有破坏性． 【详解】解：∵调查全国中学生，范围过大，工作量大，适合抽样调查，∴选项A不符合题意； ∵ 乘坐飞机乘客安检关系飞行安全，必须对每名乘客逐一检查，∴适合采用全面调查，选项B符合题意； ∵C调查草莓农药残留，调查具有破坏性且样本量大，适合抽样调查，∴选项C不符合题意； ∵D调查汽车抗撞击能力，测试具有破坏性，适合抽样调查，∴选项D不符合题意． 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同角的余角相等 C. 内错角相等 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据对顶角的性质、余角的性质、平行线的性质、平行线的判定判断即可． 【详解】A. 对顶角相等，是真命题，故此选项不符合题意； B. 同角的余角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C. 两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，此选项符合题意； D. 如果，那么，是真命题，故此选项不符合题意； 故选C． 4. 若，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断选项，找出错误结论即可． 【详解】解：∵，∴，A正确，不符合题意； ∵，移项可得，B正确，不符合题意； ∵，且，∴ ，因此不成立，C错误，符合题意； ∵，，∴ ，D正确，不符合题意． 5. 为了探究武汉2025年上半年白昼时长的变化规律，收集到1月5日至6月21日部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时间武汉白昼时长的变化趋势，估计4月20日的白昼时长约是（ ） A. 672分钟 B. 702分钟 C. 732分钟 D. 762分钟 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查散点图，根据图中信息，估计4月20日的白昼时长，即可求解． 【详解】解：根据图中信息可得月1日和5月1日的白昼时长，估计4月20日的白昼时长在至分钟之间， 故选：C． 6. 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】长方形对边平行，利用平行线性质结合折叠前后角相等，先求出的补角，再由折叠得，最后根据两直线平行同旁内角互补求出． 【详解】解：由长方形纸片可知，平角为，已知， ． 是折叠折痕，折叠前后对应角相等， ， 又， ． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 8. 对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 9. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴个整数解为，，，， 可得． 10. 如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，横坐标小于零，纵坐标大于零，列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围； 【详解】解：∵点在第二象限 根据第二象限内点的坐标特征，可得且， 解得； 解得 ∴不等式组的解集为； 12. 已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 13. 如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先得出点的纵坐标与点的纵坐标相同，再根据求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵线段轴，且点的坐标是， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则，依次计算前几次运算得到的点坐标，找出循环规律，再利用规律求解次运算后的结果即可． 【详解】解：根据题意，计算得：点经过第次运算后得到的点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， …… 可得规律：点每经过次运算为一个循环， ， 点经过次运算后得到点． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算解不等式组 （1） （2），并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）负数的绝对值等于它的相反数，会求一个数的算术平方根和立方根是解题的关键； （2）牢记不等式的基本性质是解题的关键，不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 此不等式组的解集为． 图略． 17. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息：的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．根据信息解决下列问题： 模型设计成绩的频数分布直方图 模型设计成绩的扇形统计图 （1）抽取学生的总数为____人； （2）请补全频数分布直方图； （3）成绩为的学生所在扇形圆心角的度数为____； （4）请估计全校名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50 （2） （3） （4）600人 【解析】 【分析】（1）用5除以即可求解； （2）先求出成绩在，两组的人数，再在频数分布直方图中画小长方形即可； （3）用样本中成绩在这组人数所占的百分比乘以即可； （4）用1000乘以样本中成绩不低于80分的人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 【小问2详解】 解：成绩在这组的人数为20人， 成绩在这组的人数为： （人）， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 估计全校名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为人． 18. 如图，每个小正方形的边长均为，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： （1）请在给定的网格图中，精准地绘制出平面直角坐标系并写出点的坐标（_______，________）； （2）在平面直角坐标系中，画出平移后的；其中点，，的对应点分别为，，（不写画法）； （3）请问在轴上是否存在一点，使的面积是的面积的倍，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，P或 【解析】 【分析】（1）由，可知点在轴上、纵坐标3，结合网格定位原点，即可读到点的坐标； （2）根据，，求出平移规则，得到对应点坐标，连线得到； （3）先在网格中求出的面积，设，列方程求出，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：横坐标为0，竖直网格线为轴；纵坐标3，向下3格定位原点． 观察网格，点坐标：． 【小问2详解】 解：已知网格小正方形边长为1，平移得到， 对应点为：，； 横坐标变化：，即向右平移5个单位； 纵坐标变化：，即向下平移1个单位． ，，即，． 向右5、向下1： ， 已知，，，三点连线即． 【小问3详解】 解：， ， 设， ，到的距离为4， ， 解得：或， 或． 19. 如图，，与互补． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 解：理由： ． ， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）由可知，因为与互补，根据同角的补角相等可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行； （2）由角平分线定义得，由，得，由邻补角定义得，由（1）知，可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分 ． ， ． ， ． ， ． 由（1）知， ． 20. 根据以下信息，按要求完成下列任务． 知行合一·全面发展”研学探究项目 项目背景：研学就是“行走的课堂”，目的是让孩子知行合一，意义在于全面提升综合能力．研学基地为激发学生参与性，举行了多种竞赛活动，并购买甲、乙两种机器人模型作为奖品奖励学生． 项目要求：运用二元一次方程组、一元一次不等式组等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示： 素材：已知购买个甲种机器人模型和个乙种机器人模型共花费元；购买个甲种机器人模型和个乙种机器人模型则花费了元． 素材2：基地计划采购个机器人模型，以满足活动的需求．同时，此次购买甲、乙两种机器人模型的总费用不超过元． 素材3：为了保证活动的有效开展，购买甲种机器人模型的数量不得多于乙种机器人模型数量的倍． 问题解决 （1）任务一：精准定价，请你依据素材，精确计算出购买一个甲种机器人模型和一个乙种机器人模型分别需要多少钱 （2）任务二：方案规划，请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究基地共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种机器人模型的具体购买数量． （3）任务三：成本优化，在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】（1）个甲种机器人模型元，个乙种机器人模型元． （2）有种方案，方案一：甲个，乙个．方案二：甲个，乙个．方案三：甲个，乙个． （3）方案一费用：（元）； 方案二费用：（元）； 方案三费用：（元）； ∵， ∴方案三总费用最低． 【解析】 【分析】（1）设个甲种机器人模型元，个乙种机器人模型元，根据题意列二元一次方程组即可． （2）设甲种机器人模型有个，则乙种机器人模型有个，根据题意列出不等式组求解即可． （3）按照任务二的方案分别计算费用进行对比即可． 【小问1详解】 解：设个甲种机器人模型元，个乙种机器人模型元， 由题意得： 解得： 答：个甲种机器人模型元，个乙种机器人模型元． 【小问2详解】 解：设甲种机器人模型有个，则乙种机器人模型有个， 由题意得： 解得：， ∵为正整数， ∴，，， ∴有种方案， 方案一：甲个，乙个． 方案二：甲个，乙个． 方案三：甲个，乙个． 【小问3详解】 略 21. 综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 （1）画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． （2）判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； （3）观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． （4）【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 【答案】（1）两点确定一条直线 （2）B，D， （3）（2，3）， （4） 【解析】 【分析】（1）二元一次方程的图象是直线，依据几何基本事实两点确定一条直线，只需找出直线上两个点描点连线，就能画出完整图象． （2）判断点是否在直线上，将各点横坐标代入解析式计算y，若计算出的y与点纵坐标相等，则该点在图象上，筛选出符合条件的点，再取两点作图． （3）两个一次函数图象交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解，联立方程求出交点坐标，直接得到方程组的解． （4）不等式对应图象上直线位于下方的部分，结合两直线交点，确定满足位置关系的x取值范围． 【小问1详解】 画这个方程的图象时，只需要在直线上任意找出两组x、y的对应值，得到两个点的坐标，在坐标系里描出这两个点，再用直尺连接两点，就能完整画出这条直线，不需要再多取其他点． 所以画图时只需要取两个点就可以画出直线，故原理是：两点确定一条直线； 【小问2详解】 解：当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 综上，在图象上的是点B，D． 作图：略 【小问3详解】 解：观察图象，两条直线的交点为， 所以方程组的解为． 【小问4详解】 从图象看是下降直线，是上升直线，两直线交于． 不等式的几何含义：直线在直线下方时的取值． 从图象看：交点右侧，的图象更低，即． 22. 对实数，，我们定义一种新运算：（其中，为非零常数）．例如：，．已知，． （1）________，________． （2）已知，为非负整数，求关于，的方程的解． （3）若关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据新定义得到二元一次方程，求出非负整数解即可； （3）根据新定义得到二元一次方程组，求出．根据得到，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，（其中，为非零常数）． ∴ 解得，； 【小问2详解】 即： 为非负整数 当时，； 当时，（舍）； 当时，； 当时，（舍）； 方程的解为． 【小问3详解】 ①-②得： 即： ， 解得：． 23. 已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． （1）【基础探究】若点在直线的下方且在直线的上方（如图所示），试探究，，之间的数量关系，并给出详细的证明过程． （2）【深入探究】在（1）的条件下，过点作的角平分线交的延长线于点，过点作的角平分线交的反向延长线于点（如图所示），若，，求的度数； （3）【扩展探究】若点在直线的上方且不在直线上，过点所作的角平分线与过点所作的角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）解：． 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质计算即可． （2）根据平行线性质和角平分线性质逐步计算，再利用（1）中结论即可求出． （3）需要分类讨论点的位置，根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 【小问3详解】 解：或， ，如图， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $