26.4.1几何图形的最大面积-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决几何图形最大面积问题，通过小球运动实例导入，衔接矩形篱笆等几何模型，梳理“设变量—列解析式—求顶点—定最值”步骤，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以探究活动（如60m篱笆围矩形）引导学生抽象函数关系，通过顶点公式推理最值，结合中考真题强化应用。采用问题链设计，学生能提升建模与推理能力，教师可直接使用分层练习与解题模板提高教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十六章 二次函数 26.4.1 几何图形的最大面积 练习题 知识点回顾：1. 解题核心：利用二次函数最值求解几何图形最大（小）面积。几何面积问题可转化为二次函数模型 $$y=ax^2+bx+c$$。2. 最值规律：$$a<0$$ 开口向下，图象有最高点，存在最大值；$$a>0$$ 开口向上，存在最小值（面积问题大多求最大值）。3. 通用解题步骤：①设几何图形边长/变量为 $$x$$；②根据面积公式列出二次函数解析式；③利用顶点公式 $$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 求出最值点；④代入求出最大面积，注意自变量取值范围（边长必须为正数）。4. 常见模型：矩形面积、靠墙矩形面积、分割图形面积最值。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 对于二次函数型面积公式 $$S=-2x^2+12x$$，图形的面积最值情况是（） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 无最值 D. 无法判断 2. 用总长为40m的篱笆围成矩形场地，设矩形一边长为$$x$$，面积为$$S$$，则面积解析式为（） A. $$S=x(40-x)$$ B. $$S=x(20-x)$$ C. $$S=2x(20-x)$$ D. $$S=x(40-2x)$$ 3. 二次函数 $$S=-x^2+6x$$ 的最大面积为（） A. 9 B. 6 C. 12 D. 3 4. 靠墙围成矩形菜园，墙长不限，篱笆长30m，围成矩形的最大面积是（） A. $$112.5\mathrm{m^2}$$ B. $$100\mathrm{m^2}$$ C. $$120\mathrm{m^2}$$ D. $$90\mathrm{m^2}$$ 5. 若矩形面积$$S=3x^2-12x+5$$，则下列说法正确的是（） A. 有最大面积 B. 有最小面积 C. 最大值为5 D. 最值为0 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数求几何最大面积的本质是利用抛物线的__________坐标。 2. 周长一定的矩形中，__________的面积最大。 3. 面积函数 $$S=-4x^2+16x$$，当 $$x=$$__________时，面积最大。 4. 用长为24cm的铁丝围成矩形，最大面积为__________$$\mathrm{cm^2}$$。 5. 靠墙篱笆问题中，自变量一定要满足__________（取值范围）。 三、解答题（共60分） 1.（20分）用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，设矩形的一边长为$$x\mathrm{m}$$，面积为$$S\mathrm{m^2}$$。 （1）求 $$S$$ 与 $$x$$ 的函数关系式；（2）求矩形的最大面积。 2.（20分）如图，利用一面足够长的墙，用篱笆围成一个矩形菜园，篱笆总长度为48m，设垂直于墙的边长为$$x\mathrm{m}$$。 （1）求面积关于 $$x$$ 的函数解析式；（2）求菜园的最大面积。 3.（20分）已知一个矩形的周长为32cm，设矩形长为$$x\mathrm{cm}$$，面积为$$S\mathrm{cm^2}$$，求当长、宽分别为多少时，矩形面积最大，最大面积是多少？ 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.A 4.A 5.B 二、填空题 1. 顶点 2. 正方形 3. 2 4. 36 5. $$x>0$$，且边长符合实际篱笆长度限制 三、解答题 1. 解：（1）矩形一边为$$x$$，另一边为$$30-x$$，解析式：$$S=x(30-x)=-x^2+30x(0<x<30)$$。 （2）$$a=-1<0$$，开口向下，有最大值。当$$x=-\dfrac{30}{2\times(-1)}=15$$时，$$S_{\text{max}}=-15^2+30\times15=225$$。答：最大面积为$$225\mathrm{m^2}$$。 2. 解：（1）垂直墙边长$$x$$，平行墙边长$$48-2x$$，$$S=x(48-2x)=-2x^2+48x(0<x<24)$$。 （2）$$a=-2<0$$，当$$x=-\dfrac{48}{2\times(-2)}=12$$时，$$S_{\text{max}}=-2\times12^2+48\times12=288$$。答：最大面积为$$288\mathrm{m^2}$$。 3. 解：长为$$x$$，宽为$$16-x$$，$$S=x(16-x)=-x^2+16x$$。 当$$x=8$$时，面积最大，此时长和宽均为8cm（正方形），最大面积$$64\mathrm{cm^2}$$。 26.4.1几何图形的最大面积 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值； 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 学习目标 推进新课 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。 3 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？ 思考 探究 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S ①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是 m，场地面积S= m2. ②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组： . 解不等式组得l的范围是 . l S 总长为60m 分析： (30-l) l(30-l) 0<l<30 何时取最大值呢？ S=l(30-l) l S 总长为60m ③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 . 向下 直线l=15 (15,225) (0，0)，(30，0) (0，0) ④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图。 50 100 S 150 200 250 O -50 50 l 由图象知： 点 是图象的最高点，即当l= 时，S有最 (选填“大”或“小”)值. (15,225) 15 大 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S 解： 场地的面积 S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0<l<30) 即当l是15m时，场地的面积S最大。 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 随堂演练 基础巩固 1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面 积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m. ∴0<x≤18. 【链接中考】1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 中考考法 解：设 BC 的边长为 x m， 解：(1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. A B C D 15m x 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 中考考法 课堂小结 2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $