26.4 第1课时 几何图形的最大面积（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的最值求法及几何图形最大面积问题，通过“物体抛向空中的高度与时间关系”情境导入，衔接二次函数基础，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于以情境化问题链贯穿教学，通过跳水高度、矩形菜园、窗框透光等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析最值条件（如自变量范围对最值的影响），用数学语言表达函数关系。采用“探究—总结—应用”模式，当堂小结提炼“建立函数关系式”关键和“结合增减性定最值”注意点，助力学生提升数学应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

26.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 第二十六章 二次函数 人教版九年级（上） 1 情境导入 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 知识点1： 求二次函数的最大（或最小）值 探究新知 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = -4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数h = -4.9t2+2.8t+11，当 时，h 有最大值 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其 重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. h= -4.9t2+2.8t+11 想一想 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 知识点2： 二次函数与几何图形面积的最值 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为 x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 20 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m， 矩形菜园的面积 S = x(20 − 2x)， 即 S = −2x2 + 20x (0＜x＜10). 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m². 当 时，S 有最大值 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 例3 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m， 则高为 m. 由于 这里应有 x＞0，故 0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是 链接中考 即 配方得 所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5. 这时 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2. 当堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 1. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y 米关于水珠和喷头的水平距离 x 米的函数解析式是 (0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( ) A. 1 米 B. 2 米 C. 5 米 D. 6 米 当堂练习 B 2. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，则该三角形 的面积的最大值是______. 8 3. 某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙 (墙长 25 m)，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BD 为 x m，绿化带的面积为 y m2． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 解：∵ BD = x m， A B C D (2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ ∵ 0＜x≤25， ∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大面积为 200 m2. $