吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷聚焦函数、统计与导数核心知识，通过销售调研建模、帕德近似探究等创新情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高二综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、命题真假、函数单调性、正态分布|基础与中档题结合，如第6题正态分布概率计算，体现数学思维| |填空题|3题/15分|导数切线、函数单调区间、零点问题|注重导数应用，如第12题切线问题考查数学眼光| |解答题|5题/77分|独立性检验、导数最值、销售利润优化、帕德近似|突出综合应用，17题销售建模（数学语言），19题帕德近似（创新意识）|

吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={-3<x<2},B={x>-1},则AUB=() A.{x>-B.{xx>-3}C.(-1<x<2}D.{-3<x<- 【答案】B 2.已知命题P:x∈R,X+(a-1)x+1<0,若命题P是假命题，则a的取值范围为() A.1≤a≤3 B.1<a<3C.-1≤a≤3D.0≤a≤2 【答案】C 由题：命题P是假命题，其否定：x∈R,x2+(a-1)x+1≥0为真命题，即△=(a-1)2-4≤0，解得 -1≤a≤3.故选：C 3.如果点(xo)在函数f(x)=x2+1的图象上，都有点(2xo)在函数y=8(x)的图象上，则g(2)=() A.17 B.5 C.3 D.2 【答案】D 【分析】求出函数g(x)的解析式，代入可得 【详解】设点(x,)在函数y=g()的图象上，则点（点）在函数fx)=x2+1的图象上， 所以y=子1，即8间-手1，所以g2)2数选：D 4.已知幂函数f(x=(m2-3m+1)x1在(0，+∞）上单调递增，则=() A.0 B.3 C.2 D.-1 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出即可. 【详解】由幂函数的定义知，m2-3m+1=1,解得=0或m=3, 当m=0时，f(x)=x1,fx)在(0，+)上单调递减，不符合题意： 当m=3时，f(x)=x2,f(x)在(0，+∞)上单调递增，故m=3. 故选：B 5.在我校读书节活动中，甲、乙、丙、丁4位同学获奖。现将4人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的 不同排法有() A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 【答案】C 【详解】第一步：将甲、乙全排列有A=2×1=2种不同的排法： 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有A=3×2×1=6种不同的排法： 由分步计数原理得，共有2×6=12种不同的排法.故选C. 第1页共8页 6.设随机变量5~N,4),函数fw)=x2+2x一没有零点的概率是0.5，则P(1<≤3)=() 附：随机变量服从正态分布N,σ，Pu一o<5<u+o)=0.6827,Pu-2o<<u+2o)=0.9545. A.0.1359 B.0.1587 C.0.2718 D.0.3413 【答案】A 【详解】由△<0知P(-1)=0.5,则u=-1, 故P1<3)=[Pu-2o<5u+20-Pu<u+]01359,故选：A 7.设a=0.78,b=0.87,c=log30.7,则a,b,c的大小关系() A.b>c>a B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到1>b>α，由对数函数的性质得到c>1,即可求解 【详解】由对数函数的性质，可得c=log30.7>log30.8=1,由指数函数的性质，可得1>b=0.87>0.88, 由幂函数y=x8在(0，+m)为单调递增函数，可得0.88>0.708=a,所以1>b>a, 所以1og30.7>0.87>0.78,即c>b>a.故选：D. 8设了是定义拨为R的奇蹈改，且/+(，若()则得)() A 1 B. 3 C.-3 D3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，结合己知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为f(w)是定义域为R的奇函数， 由f(1+x)=f(-x)=-f(x),得f(2+x)=-f(1+x)=f(x),该函数的周期为2， 所以+g- 放选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A.0<a<1B.b有最大值}C.日十号有最大值5D.分+有最小值3 a b b a 【答案】ABD 【分析】利用α+b=1(a,b为正实数)和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A,由正实数a,b满足a+b=1,易得0<a<1,故A正确： 由基本不等式可得ab≤，-4，当且仅当a=b=时等号成立，量 对于C,因为a+b=1,所以上+a+b⊥ 1 7b一=，由B项知06≤4，则 24 ab 即。+6有最小值为4，无最大值，故C错误 对于D,因为a+b=1,且ab为正实数，所以+L=a+a+b_0+b ++122, a b +1=3, b a b a b a Vb a 第2页共8页 当且仅当a=b-号时，会+君有最小值3，故D正确 b a 10.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则() A.P(BIA)+P(BA)=1 B.P(BA)+P(BI A=P(A) C.若A,B独立，则P(AB)=P(A) D.若A,B互斥，则P(A|B)=P(B|A) 【答案】ACD 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案 【详解】因为PBA+PEAP4+PA⊙1，A正确，B错误， P(A) 由独立事件定义，若A,B独立，则PAB)=PA0PB,P(AB)=PAB P(B） =P(A),C正确： 若4，B互斥，则P(4B)=0,PA=以4a-0,P8A=4-0,D正确。 P(B P(A) 故选：ACD 11.已知函数f(x)=x2-3x+lx,则() A.(x)的极小值为-2 B.f(x)有两个零点 C.存在a使得关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根 D.f(x2)>f(x)的解集为(1，+∞) 【答案】AC 【详解】函数f的定义域为(0，+∞)，fx)=2x-3+上.(2x-1x-) 由了(>0得0<x<度x>1:由f0得)<1，f)有极大值付)；h2<0,极小值 f(1)=-2<0,∴A正确： 由极大值和极小值均小于0知f()最多一个零点，.B不正确： 当x→0，时，f()→-0，当x→m时，f(9)→0，当-2<a<-h2时，f(y)=a有三个不同 4 的实根，C正确： 当5<1时，<x<1,此时)>，D不正确 2 故选：AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线y=2x-4是曲线y=1nx+x+a的切线，则实数a的值是 【答案】-3 【分析】根据导数的几何意义，结合切点既在曲线上，又在切线上即可求解 【详解】y=nx+x+a,则y=+l,直线y=2x-4是曲线y=lnx+x+a的切线， 1 所以y=1+1=2,解得x=1,所以1+a=2-4,解得a=-3.故答案为：-3 第3页共8页 13.已知函数f(x)= 2025x-1x≥0在R上单调递减，则a的取值范围为 x2+ax+a,x<0 【答案】[-1,0] 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数α的取值范围. 【详解】因为函数f(x)= [x+ax+a,x<0 -2025x-1,x≥0在R上单调递减， 则函数y=x2+x+a在(-，0)上单调递减，所以-≥0，即a≤0 2 又y=-2025.x3-1在[0，+∞）上单调递减，因此a≥-1. 综上所述，实数a的取值范围是[-1,0].故答案为：[-1,0]. 14.已知函数f(x)=xeH-x+k,有且只有一个负整数x,使f()≤0成立，则k的取值范围是一 【答案】 21] 3e2 【分析】将问题转化e+1≤-k有且只有一个负整数解，构造函数g(x)=xe与h(x)=x-k,利用导 数法求函数gx)的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解， 【详解】已知函数f(x)=xe-+k,则f(x)≤0一eH≤x-k有且只有一个负整数解. 令g(x)=xexH,则g'(x)=(x+1)e, 当x<-1时，8'(x)<0,当x>-1时，g(x)>0, 所以gx)在(-o,-1)上递减，在(-1，+∞）上递增， 当x=-1时，gw)取得最小值为g(-1)=(-1)×e1=-1. 设h(x)=a-k=k(-1),则x)恒过点(1,0) 在同一坐标系中分别作出y=gx)和y=(x)的图象，如图所示 g(x) 显然x,=-1,依题意得g(-1)≤h(-1)且g(-2)>h(-2) h(x) 即-1s2且，解料元<k宁 e 所以实数k的取值范国足（品引 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身 高，然后按“身高低于170cm与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）. 性别 身高低于170cm 身高不低于170cm 合计 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 第4页共8页 (1)依据=0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率. 附：附：x= n(ad-be)2 a+b)(c+d)(a+c)b+d)' P(x2≥k) 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联。（② 12 【解】(1)x2= n(ad-bc)2 508×6-24×12y8.333>7.879 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)32×18×20×30 依据α=0.005的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联， (2)记事件A=“从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组” 则=8.2412了 3218321812 即从男生样本和女生样本中各选取一人，两名学生身高不在同一组的概率为 12 16.(15分)已知函数f(x)=4-k.2+H+1(k∈R) (1)若f)=1,求f(x)的最小值： (2)若存在x∈R,使得f(x)≤0成立，求k的取值范围. 【答案】(1)0(2)[1，+∞) 【分析】(1)利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； (2)对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可 【详解】()f@)=1→4-4k+1=1→k=1,即f)=4-2H+1=(2)-22”+1, 令2=t,则t>0,8(t)=t-2t+1=(t-1), 因为t>0, 所以当t=1时，函数g(t)有最小值0， 所以当x=0时，函数f(x)有最小值0； (2)f(x)≤0→4*-k2xH+1≤0→k.2x+14+1, 因为2>0， 所以2≥4+1=2≥25+→≥2+) :(+)司-1，当且仅当2=÷时取等号， 即当且仅当x=0时， (+)有最小值1 要想存在x∈R,使得f(x)≤0成立， 只需k≥1，所以k的取值范围为[1，+∞) 第5页共8页 17.(15分)我校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间 的调查，发现该商品每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)近似满足关系式 f=二+4(x-0,其巾，3<t<6,ab为常数。已知销售价格为45元千克时，每日可售出2 千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克. (1)求fx)的解析式； (2)若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大. 【答案】0-58-6,64元/千克 【分析】(1)依题意可得当x=4.5时，f(x)=22,当x=5时，f(x)=11,即可得到关于a、b的方程组，解 得即可；(2)设每日销售该商品获利(x)元，即可得到(x)的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可 求出函数的最大值，从而得解 【详解】(1)由题意可知，当x=4.5时，f(x)=22, 当x=5时，f(x)=11, 「29 a+-b=22 即346 (20+6=11 1 ，解得6 b=8 所以f)=g*8x-6,c6. (2)设每日销售该商品获利h(x)元，则 i)=-39g+86-6-6+8(6-15+72-108). 则h(x)=24(x-10x+24)=24(x-4)(x-6), 令h'(x)=0,得x=4或x=6(舍去)， 所以xe(3,4)时，h'(x)>0,h(x)为增函数， x∈(4,6)时，h'(x)<0,h(x)为减函数， 所以x=4时，h(x)取得最大值，h(x)s=h(4)=38, 所以销售价格定为4元/千克，商家每日获利最大。 18.(17分)自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列我校为了了 解教师一周的运动情况，调查了名教师一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方 图.已知运动时长在[2,4)小时的教师有48人 频率/组距 (1)求a,n: 0.17 (2)根据频率分布直方图，估计我校教师一周运动时长的平均数；（结果保留2位 小数) 0.08 884 (3)学校计划选择1位教师向大家分享运动心得，则在选中的教师一周运动时长 0246810-周运动 不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间[6,8)内的概率。 时长（小时） 【答案】①0.16：150②4246)26 第6页共8页 【分析】(1)根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求a,再根据运动时长在[2,4)小时的员工有48 人，结合频率可求；(2)根据频率分布直方图平均数的公式求解即可；(3)根据题意设事件，再利用条件 概率公式求概率即可. 【详解】(1)由频率分布直方图可(0.08+a+0.17+0.05+0.04)×2=1,解得a=0.16, 因为运动时长在[2,4小时的员工有48人，所以48=0,16×2，解得n=150, 即a=0.16,n=150. (2)由(1)知a=0.16, 则平均数为2×(0.08×1+0.16×3+0.17×5+0.05×7+0.04×9)=4.24， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24. (3)设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件A, 选中的员工一周一周运动时长在区间[6,8)内为事件B, 则P(A)=(0.17+0.05+0.04)×2=0.52,P(AB)=0.05×2=0.1, 小-4智8路8 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间6,8)内的概率 26 19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 m,n,函数f(r)在x=0处的[m,川阶帕德近似定义为：R(x)=4+++a“ 1+4x++bx,且满足： f(O)=R(0),f(O)=R(O),f"(0)=R"(O),,fmm(0)=Rm)(0).(注：f"(x)=[f(x门， f"(x)=[F(x了，(x)=[f(x]，f(x)=[f()，fm(x)为f(x)的导数 已知了)=(x+山在x=0处的1，阶帕德近似为g)+一 (1)求实数m,n的值： (2)证明：当x≥0时，f(x)≥g(x): (3)设a为实数，讨论函数h(x)=f(x)-ax的单调性 【答案】(0m=1,n-号正明见解析6)答案见解新 【分析】(1)根据∫'(0)=g'(0),f"(0)=8"(0)可构造方程求得结果； (2)构造函数p(x)=f(x)-g(x)(x≥0)，利用导数可求得p(x)单调性，结合最值可证得结论： (3)求导后，分别在a≤0和a>0的情况下，根据(x)正负可求得单调性. 【详解10治-h(x+.g=知：了0-g=0: f点- 1+x,8(x)-2m (+1,8(x)= (1+xF, 第7页共8页 f'(0)=8'(0)=m=1,f"(o)=g'(0)=-1=-2m,m=1,n=} 2油()知：g(=x+2 2x 令=f-8(=h*小年>0， 则小中可0，在[®+树)上单调递省， 又p(0)=f(0)-g(0)=0,∴p(x)≥p(0)=0,即当x≥0时，f(x)≥g(x) (3)由题意知：h(x)=f(x)-=ln(x+1)-r(x>-1), h(x)=1,a=-m+1-0。 x+1 x+1 ①当-a≥0，即a≤0时，1>0，÷h(x)=1 x+1 +1a>0, .h(x)在(-1，+o)上单调递增； ②当-a<0,即a>0时，令m()=0得：X=1二0=11>-1， 当(1时，)>0：当x日-1+时，)<0： ()在(-1。上单调递增，在日1+网上单调递减： 综上所述：当a≤0时，h(x)在(l,+∞)上单调递增： 当a>0时，h)在(1日上单调递增，在(21+m上单调递减 第8页共8页吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知集合A={-3<x<2},B={x>-1,则AUB=() A.(-3<x<-1}B.（-1<x<2} C.{x>- D.{x>-3} 2.已知命题P:x∈R,2+(a-1)x+1<0,若命题P是假命题，则a的取值范围为() A.1≤a≤3 B.1<a<3 C.-1≤a≤3 D.0≤a≤2 3.如果点(x)在函数f(x)=x2+1的图象上，都有点(2x)在函数y=8(x)的图象上，则g(2)=() A.17 B.5 C.3 D.2 4.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1x在(0，+∞)上单调递增，则=() A.0 B.3 C.2 D.-1 5.在我校读书节活动中，甲、乙、丙、丁4位同学获奖。现将4人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的 不同排法有() A.8种 B.10种 C.12种 D.16种 6.设随机变量5~N(,4),函数f(w)=x2+2x一没有零点的概率是0.5，则P1<≤3)=() 附：随机变量服从正态分布N,o),P(u一o<5<u十o)=0.6827,Pu-2o<5<u十2o)=0.9545 A.0.1359 B.0.1587 C.0.2718 D.0.3413 7.设a=0.78,b=0.87,c=log30.7,则a,b,c的大小关系() A.b>c>a B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a ⑧.设f回是定义域为R的奇函数，且0+)=)，若f()则f③)() c.-3 5 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A0<a1B西有最大位好C台片有最大值5D.号日有最小值3 a b 10.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则() A.P(B|A)+P(B4)=1 B.P(BIA)+P(BA)=P(4) C.若A,B独立，则P(B)=P(A) D.若A,B互斥，则P(A|B)=P(B|A) 11.已知函数f(x)=x2-3x+lx,则() A.f(x)的极小值为-2 B.f(x)有两个零点 第1页共4页 C.存在a使得关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根 D.f(x2)>f(x)的解集为(1，+∞) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线y=2x-4是曲线y=1nx+x+a的切线，则实数a的值是 13.已知函数f(x)= 2025xLx≥0在R上单调递减，则a的取值范围为 x2+ax+a,x<0 14.己知函数f(x)=xeH-x+k,有且只有一个负整数x,使f()≤0成立，则k的取值范围是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身 高，然后按“身高低于170cm与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）. 性别 身高低于170cm 身高不低于170cm 合计 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据=0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率. 附：附：X= n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' P(x2≥k 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 16.(15分)已知函数f(x)=4-k.2+1(k∈R) (1)若f)=1,求f(x)的最小值： (2)若存在x∈R,使得f(x)≤0成立，求k的取值范围. 第2页共4页 17.(15分)我校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间 的调查，发现该商品每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)近似满足关系式 )2)b(x-6矿，其中，3<x<6,ab为常数，已知销售价格为45元千克时，每日可售出2 千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克. (1)求f(x)的解析式： (2)若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大 18.(17分)自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列我校为了了 解教师一周的运动情况，调查了名教师一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方 图.已知运动时长在[2,4)小时的教师有48人. (1)求a,: (2)根据频率分布直方图，估计我校教师一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数） (3)学校计划选择1位教师向大家分享运动心得，则在选中的教师一周运动时长不少于4小时的前提下， 求此人一周运动时长在区间[6,8)内的概率. 个频率/组距 0.17 0.08 88阁l 0246810一周运动 时长（小时） 第3页共4页 19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 0儿，函数f)在=0处的[阶啪链近似定义东：-经，且满远：了o-O。 f(0)=R'(0),f"(0)=R”(0),…,f(o)=Rm(o).(注：f"(x)=[f(x]，(x)=[f(x了， f()=[f(],f(x)=「f()],f(x)为fm(x)的导数) 已知fx)=血(x+1)在x=0处的1阶帕德近似为g(x)=,mx 1+x (I)求实数l,n的值； (2)证明：当x≥0时，f(x)≥g(x): (3)设a为实数，讨论函数h(x)=f(x)-ax的单调性 第4页共4页 吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(       ) A． B． C． D． 2．已知命题P：，若命题P是假命题，则a的取值范围为(       ) A． B． C． D． 3．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则(     ) A．17 B．5 C．3 D．2 4．已知幂函数在上单调递增，则m=( ) A．0 B．3 C．2 D．-1 5．在我校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖。现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有(     ) A．种 B．种 C．种 D．种 6．设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f (x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝(    ) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545． A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413 7．设，，，则，，的大小关系(    ) A． B． C． D． 8．设f (x)是定义域为R的奇函数，且，若，则( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数，满足，则下列说法正确的是(       ) A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则(     ) A． B． C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 11．已知函数，则(     ) A．f (x)的极小值为 B．f (x)有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线是曲线切线，则实数a的值是______. 13．已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 14．已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于 170cm”与“身高不低于 170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表(单位：人)． 性别 身高低于170cm 身高不低于170cm 合计 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16．(15分)已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 17．(15分)我校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量f (x)(单位：千克)与销售价格x(单位：元千克)近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出千克，销售价格为元/千克时，每日可售出千克． (1)求f (x)的解析式； (2)若该商品的成本为元/千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 18．(17分)自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.我校为了了解教师一周的运动情况，调查了n名教师一周的运动时长(单位：小时)，作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的教师有48人． (1)求a，n； (2)根据频率分布直方图，估计我校教师一周运动时长的平均数；(结果保留2位小数) (3)学校计划选择1位教师向大家分享运动心得，则在选中的教师一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 19．(17分)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.(注：，，，，为的导数) 已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数m，n的值； (2)证明：当时，； (3)设a为实数，讨论函数的单调性. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年下学期期末考试卷 高二数学 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 2．已知命题P：，若命题P是假命题，则a的取值范围为(       ) A． B． C． D． 【答案】C 由题：命题P是假命题，其否定:为真命题，即，解得.故选：C 3．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则(     ) A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以.故选：D. 4．已知幂函数在上单调递增，则m=( ) A．0 B．3 C．2 D．-1 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，故. 故选：B. 5．在我校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖。现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有(     ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法； 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法； 由分步计数原理得，共有种不同的排法．故选C． 6．设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f (x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝(    ) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545． A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413 【答案】A 【详解】由△<0知P(ξ<-1)=0.5，则μ=-1， 故P(1＜ξ≤3)＝[P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)]=0.1359，故选：A. 7．设，，，则，，的大小关系(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与幂函数的性质，得到，由对数函数的性质得到，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得，由指数函数的性质，可得， 由幂函数在为单调递增函数，可得，所以， 所以，即. 故选：D. 8．设f (x)是定义域为R的奇函数，且，若，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可 【详解】解：因为f (x)是定义域为R的奇函数， 由，得，该函数的周期为2， 所以.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数，满足，则下列说法正确的是(      ) A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用(为正实数)和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则(    ) A． B． C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【答案】ACD 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案. 【详解】因为，A正确，B错误； 由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确； 若A，B互斥，则，，，D正确． 故选：ACD 11．已知函数，则(    ) A．f (x)的极小值为 B．f (x)有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 【答案】AC 【详解】函数f (x)的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知f (x)最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线是曲线切线，则实数a的值是______. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合切点既在曲线上，又在切线上即可求解. 【详解】，则，直线是曲线的切线， 所以，解得，所以，解得.故答案为：. 13．已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，所以，即 又在上单调递减， 因此. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数g(x)的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，，当时，， 所以g(x)在上递减，在上递增， 当时，g(x)取得最小值为. 设，则h(x)恒过点 在同一坐标系中分别作出y=g(x)和y=h(x)的图象，如图所示 显然，依题意得且 即且，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于 170cm”与“身高不低于 170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表(单位：人)． 性别 身高低于 170cm 身高不低于 170cm 合计 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．(2) 【解】(1) 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． (2)记事件A=“从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组” 则 即从男生样本和女生样本中各选取一人，两名学生身高不在同一组的概率为 16．(15分)已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； (2)对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】(1)，即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； (2)， 因为， 所以， ∵，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需，所以的取值范围为. 17．(15分)我校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量f (x)(单位：千克)与销售价格x(单位：元千克)近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出千克，销售价格为元/千克时，每日可售出千克． (1)求f (x)的解析式； (2)若该商品的成本为元/千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大． 【答案】(1)，(2)元千克 【分析】(1)依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可；(2)设每日销售该商品获利h(x)元，即可得到h(x)的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解. 【详解】(1)由题意可知，当时，， 当时，， 即，解得， 所以，， (2)设每日销售该商品获利元，则 ， 则， 令，得或舍去， 所以时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以时，取得最大值，， 所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大． 18．(17分)自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.我校为了了解教师一周的运动情况，调查了n名教师一周的运动时长(单位：小时)，作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的教师有48人． (1)求a，n； (2)根据频率分布直方图，估计我校教师一周运动时长的平均数；(结果保留2位小数) (3)学校计划选择1位教师向大家分享运动心得，则在选中的教师一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率． 【答案】(1)0.16；150 (2)4.24 (3) 【分析】(1)根据频率分布直方图面积为1，列出方程可求，再根据运动时长在小时的员工有48人，结合频率可求；(2)根据频率分布直方图平均数的公式求解即可；(3)根据题意设事件，再利用条件概率公式求概率即可． 【详解】(1)由频率分布直方图可，解得， 因为运动时长在小时的员工有48人，所以，解得， 即，． (2)由(1)知， 则平均数为， 所以该公司员工一周运动时长的平均数约为4.24． (3)设选中的员工一周运动时长不少于4小时为事件， 选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件， 则，， ， 所以在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下， 此人一周运动时长在区间内的概率． 19．(17分)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.(注：，，，，为的导数) 已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数m，n的值； (2)证明：当时，； (3)设为实数，讨论函数的单调性. 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】(1)根据，可构造方程求得结果； (2)构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值可证得结论； (3)求导后，分别在和的情况下，根据正负可求得单调性. 【详解】(1)由，知：； ，，，， ，，，. (2)由(1)知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. (3)由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $