精品解析：山东省菏泽市菏泽经济技术开发区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡止对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列各式中，错误是（ ） A B. C. D. 4. 正八边形的每个外角为（　　　　） A. B. C. D. 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图，直线与相交于点A，若，那么（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题是真命题的是(　　　) A. 等边三角形是等腰三角形 B. 若，则 C. 成中心对称的两个图形全等 D. 有两边相等的三角形是等腰三角形 8. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=2，则CE的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 分解因式：___ 12. a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为__________． 13. 已知点是函数图象上任意两点，且当时，总有成立，写出一个符合题意的k值___________． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的周长是，则的长等于____________． 15. 线段，的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段由线段绕点旋转得到，点的对应点的坐标为（2，2），则点的坐标是____． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中． 19. 如图，，E是上的一点，且．求证： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于点O的中心对称图形； （2）一次平移，若平移后点A的对应点的坐标为，则平移距离为 ，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ． 21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 22. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳跳绳活动，计划购买甲、乙两种品牌跳绳．已知甲品牌跳绳的价格是乙品牌跳绳的倍，100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条． （1）甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各多少元？ （2）某班级欲购买这两种跳绳共50条，并且购买乙品牌跳绳不超过10条，请你帮他们设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 23. 在中，，将绕点A顺时针旋转一定角度，得到，点B，C的对应点分别是D，E． （1）如图，当点E恰好在上时，求度数； （2）如图，点F是边的中点，当时，请证明E，F，C三点共线． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出了如下定义： 若，则称点为点的折射点． 例如：点的折射点的坐标是，点的折射点的坐标是． （1）若，求其折射点的坐标； （2）若在函数图象上，其折射点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡止对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，将一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；将一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转后图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟知概念是关键. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A. ，左边为二次多项式，右边是与的乘积，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； B. ，右边含分式，不是整式的积，故此选项不符合题意； C. ，属于整式的乘法运算，而非因式分解，故此选项不符合题意； D. ，右边为乘积与常数的和，不是积的形式，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知，下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵a＞b，∴a-3＞b-3，正确，不符合题意； B、∵a＞b，∴a-b＞0，正确，不符合题意； C、∵a＞b，∴-a＜-b，正确，不符合题意； D、∵a＞b，∴-a＜-b，∴5-a＜5-b，故本选项符合． 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解答此类题目时一定要注意当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变． 4. 正八边形的每个外角为（　　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形定义可得正八边形每个外角都相等，根据多边形外角和为360°进行计算即可． 【详解】解：正八边形的每个外角等于：360°÷8=45°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角，关键是掌握正多边形的外角都相等． 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 6. 如图，直线与相交于点A，若，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象得到当时可知． 【详解】解：从图象上得出，当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 7. 下列命题的逆命题是真命题的是(　　　) A. 等边三角形是等腰三角形 B. 若，则 C. 成中心对称的两个图形全等 D. 有两边相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断． 【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误； B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误； C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误； D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确； 故选：D 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理． 8. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式． 9. 如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=2，则CE的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=2， ∴BE=CE， ∴∠B=∠DCE=30°， 在Rt△CDE中， ∵∠DCE=30°，ED=2， ∴CE=2DE=4． 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 12. a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，理解题中关键字“倍”、“差”、“不小于”是解题的关键；根据题中包含的运算及不等关系即可列出不等式． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 13. 已知点是函数图象上任意两点，且当时，总有成立，写出一个符合题意的k值___________． 【答案】-1或-2（答案不唯一，值小于0即可） 【解析】 【分析】由当x1＜x2时，总有y1＞y2成立，可得出y随x的增大而减小，再利用一次函数的性质即可得出k＜0，任取一值即可． 【详解】∵当x1＜x2时，总有y1＞y2成立， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0． 故答案为：-1或-2（答案不唯一，值小于0即可）． 【点睛】考查了一次函数的性质，解题关键是熟记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，的周长是，则的长等于____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义． 由的垂直平分线交于点，根据线段的垂直平分线的性质得到，而，则，由，即可得到的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ， 又 ∵的周长是， ， ， 而， ， 故答案为：2． 15. 线段，的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段由线段绕点旋转得到，点的对应点的坐标为（2，2），则点的坐标是____． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】由旋转的性质可求解． 【详解】解：如图，连接AM，BN，作AM，BN的垂直平分线的交点为点P， ∴点P坐标（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确进行分式的混合运算是解题的关键．先计算加法，再计算除法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中． 【答案】（1）答案不唯一，如： （2）4 【解析】 【分析】本题考查了用公式法与提公因式法分解因式，因式分解的运用． （1）选第一个与第二的差，用平方差公式进行因式分解；若选第一个与第三个或第二个与第三个，则可用提公因式法分解因式； （2）利用完全平方公式分解因式，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：选第一个与第二的差， 即； 选第二个与第一的差， 即； 选第一个与第三的差， 即； 选第三个与第一的差， 即； 选第二个与第三的差， 即； 选第三个与第二的差， 即； 任选其中一个即可； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 19. 如图，，E是上的一点，且．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键；由得，则可证明，从而有． 【详解】证明：∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于点O的中心对称图形； （2）一次平移，若平移后点A的对应点的坐标为，则平移距离为 ，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2），画图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画图形的平移，画中心对称图形，确定旋转中心，勾股定理等知识，正确作图形的变换是关键； （1）确定各顶点关于点O的对称点，再依次连接三个对应点即可； （2）由点A及的坐标可确定平移，由勾股定理求出平移距离，根据平移确定B、C两点平移后的对应点，即可画出平移后对应的； （3）连接交于点，它就是旋转中心，即可写出其坐标． 【小问1详解】 解：关于点O的中心对称图形如下图所示； 【小问2详解】 解：由点A及坐标知，平移是先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；由勾股定理得； 平移后的如下图所示： 【小问3详解】 解：如图，连接、相交于点，它就是旋转中心，且； 故答案为：． 21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 如图：先画出图形、再写出已知、求值，再证明，根据全等三角形的性质得到，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可证明． 【详解】已知：如图，在中，点D，E分别是边的中点， 求证：且． 证明：如图，延长到点F，使，连接． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴且． 22. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展跳跳绳活动，计划购买甲、乙两种品牌跳绳．已知甲品牌跳绳的价格是乙品牌跳绳的倍，100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条． （1）甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是多少元？ （2）某班级欲购买这两种跳绳共50条，并且购买乙品牌跳绳不超过10条，请你帮他们设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各50元与20元 （2）最钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，找到数量关系列出方程或不等式是解题的关键； （1）设乙品牌跳绳每条x元，甲品牌跳绳每条元，根据等量关系： 100元购买乙品牌跳绳的数量比购买甲品牌跳绳多3条；列出分式方程，并解方程即可； （2）设甲品牌跳绳购买m条，则乙品牌跳绳购买条，根据不等关系：购买乙品牌跳绳不超过10条，列出一元一次不等式，并求得m的取值范围；再设购买的费用为w元，得到关于m的函数式，由一次函数的性质即可求得最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设乙品牌跳绳每条x元，甲品牌跳绳每条元， 由题意得：， 解得：， 经检验得是原方程的解，且符合实际， 则甲品牌跳绳每条（元）； 答：甲品牌跳绳与乙品牌跳绳每条各是50元与20元； 【小问2详解】 解：最钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条； 理由如下：设甲品牌跳绳购买m条，则乙品牌跳绳购买条， 由题意得：， 解得：； ， ∴ 设购买的费用为w元，则， ∵一次项系数， ∴w随自变量的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时最省钱的方案是甲品牌跳绳购买40条，乙品牌跳绳购买条． 23. 在中，，将绕点A顺时针旋转一定角度，得到，点B，C的对应点分别是D，E． （1）如图，当点E恰好在上时，求的度数； （2）如图，点F是边的中点，当时，请证明E，F，C三点共线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由旋转的性质得，，则，再由互余即可求解． （2）由旋转的性质可证明，得，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵，点F是边的中点， ∴，即，； 由旋转知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴E、F、C三点共线． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出了如下定义： 若，则称点为点的折射点． 例如：点的折射点的坐标是，点的折射点的坐标是． （1）若，求其折射点的坐标； （2）若在函数图象上，其折射点． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1）的坐标为(3，−1)；（2）①当时，或；②当时，的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）根据折射点的定义解答即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征求得， ①根据折射点的定义分两种情况讨论即可求解； ②根据折射点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的坐标为(3，−1)； （2）∵P(a，b)在函数图象上， ∴， ∴， ①当时，，； 当时，，； 综上所述，当时，或； ②∵， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，当时，的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“折射点”，解答此题还需要掌握一次函数的性质以及不等式组的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$