精品解析：山西省朔州市怀仁市2025—2026学年度第二学期期末七年级学情调研 数 学

怀仁市2025—2026学年度第二学期期末七年级学情调研 数 学 （满分：120分 调研时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 实数4的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 4. 在下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某池塘中现有鱼的数量，选择全面调查 B. 为了解全国居民日常垃圾分类的落实情况，选择全面调查 C. 为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，选择抽样调查 5. 小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ） A. 2，3 B. 2， C. 3，2 D. 3， 6. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，其中与相交于点，连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 相等的角是对顶角 D. 如果两个角互补，那么它们是邻补角 9. 在进行《低碳生活》综合与实践活动时，小颖查阅相关资料了解到2020—2025年我国可再生能源发电量占总发电量的比重如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 可再生能源发电量占比 准备将此表的数据绘制成统计图，下列说法正确的是（ ） A. 条形统计图最适合反映这组数据逐年变化的趋势走向 B. 绘制折线统计图，可以描述年份与可再生能源发电量占比之间的关系 C. 利用折线统计图，能够精准算出2026年可再生能源发电占比的准确数值 D. 绘制扇形统计图，其中2020年所占的百分比是 10. 某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（ ） A. 小亮成功超越小华率先到达终点 B. 小亮仍未超越小华 C. 小亮与小华同时到达终点 D. 两人仍保持原有距离 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 12. 不等式组的解集是______________． 13. 同学们计划对我市一年中白昼时长的变化规律开展统计调查，商讨后认为本次调查主要有6个步骤（如下表），但顺序被打乱了，请写出正确的先后顺序____________（用字母按顺序写出即可）． A．明确调查问题，明确要求什么； B．记录结果，把收集到的数据完整记录下来； C确定调查对象，明确针对谁开展调查； D．分析数据，对记录好的数据整理分析，得出结论； E．展开调查收集数据，按选定方法实地获取原始数据； F．选择调查方法，根据对象和问题，选择调查方法和方式； 14. 明代数学家程大位在《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少配成完？”意思是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，为使制成的笔管与笔套正好配套（1个笔管配1个笔套），应安排制作笔管和笔套的短竹各多少根？设应安排制作笔管的短竹x根，制作笔套的短竹y根，根据题意可列方程组为___________． 15. 如图①是城市道路上的可调节路灯，其示意图如图②，灯杆与地面垂直，支撑杆与灯杆的夹角，支撑杆与灯臂的夹角，为了适配不同路段的照明需求，灯臂与灯头的夹角可调节．若将灯头调节与地面平行（），则的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程组 （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ．第五步 任务一： （1）填空：①以上解题过程中，第一步的依据是________________________； ②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________________________________． 任务二： （2）请直接写出该不等式的正确解集：____________． 任务三： （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验就解不等式时还需要注意的事项，给其他同学提一条建议． 18. 某校为培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校900名学生参加“奔赴星河·筑梦航天”科普知识竞赛．现从中抽取了部分参赛学生的竞赛成绩（满分100分，且都不少于60分，每名学生的成绩记为x分）进行统计，分成A（），B（），C（），D（）四组，将所得数据进行整理，信息如下： 信息一：抽取参赛学生竞赛成绩的频数分布表如下： 分组 A B C D 频数 15 9 信息二：绘制的频数分布直方图和扇形图（均不完整）如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）在选取本次调查的样本时，下列抽样方式最合适的是________；（填选项） A．只选取七年级参赛学生的成绩作为样本 B．从全校参赛学生中随机抽取部分学生的成绩作为样本 C．只选取学校航天社团参赛学生的成绩作为样本 D．只选取参赛的男同学的成绩作为样本 （2）在频数分布表中，__________，__________； （3）补全频数分布直方图，并写出扇形图中D组对应的圆心角的度数为__________； （4）若规定学生竞赛成绩为优秀，请估计所有参赛学生中成绩优秀的人数． 19. 2026年某市开展文明交通、智慧出行专项宣传活动，准备在十字路口设立A，B，C三处交通宣传点位（如图），其中A，B点的坐标分别为，． （1）在网格中建立满足上述条件的平面直角坐标系，并写出C点的坐标； （2）为扩大宣传范围，新增一处临时宣传点，请在平面直角坐标系中描出点D； （3）因执勤调整，三处宣传点位整体向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的三处宣传点构成的三角形，并直接写出点A的对应点的坐标． 20. 手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． （1）求融合后大球的半径（结果保留根号）； （2）判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 21. 某校文创社团手绘了书签和明信片两类文创产品．已知手绘40张书签和20张明信片共花费140元，手绘20张书签和40张明信片共花费160元． （1）求手绘一张书签和一张明信片分别需要多少元； （2）该社团计划手绘书签和明信片共220张进行义卖，义卖所得利润全部捐助福利院，希望这些书签、明信片全部卖出以后获利不少于500元．若每张手绘书签售价为4元，每张手绘明信片售价为6元，则最多需要手绘多少张书签？ 22. 阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． （1）如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； （2）请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； （3）在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 23. 综合与实践 问题情境：综合实践活动课上，老师提出如下问题： 如图①，点A，B分别在直线，上，，的平分线交于点E，且．试判断直线和的位置关系，并说明理由． （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）若将图①中的线段沿直线向右平移得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，连接． ①如图②，当时，求的度数； ②在平移的过程中，直线与的平分线所在直线交于点O，当时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市2025—2026学年度第二学期期末七年级学情调研 数 学 （满分：120分 调研时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 实数4的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据平方根的定义，可知实数4的平方根是． 2. 在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据平面直角坐标系内点的位置确定小亮所在的象限是：第三象限． 3. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项B： ，结果是整数，属于有理数，不符合题意； 选项C：0是有理数，不符合题意； 选项D：，结果是整数，属于有理数，不符合题意． 4. 在下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某池塘中现有鱼的数量，选择全面调查 B. 为了解全国居民日常垃圾分类的落实情况，选择全面调查 C. 为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，选择抽样调查 【答案】D 【解析】 【详解】根据全面调查与抽样调查的特点逐一判断．对于总体规模大或检测具有破坏性的调查，可通过抽样估计总体．选项A统计池塘现有鱼的数量不具有现实意义，应抽样调查；选项B全国居民范围广，应抽样调查；选项C神舟飞船的设备零件质量要求极高，应全面调查；选项D了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，应抽样调查，正确． 5. 小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ） A. 2，3 B. 2， C. 3，2 D. 3， 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去， 则，的值可能是2，3． 6. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，其中与相交于点，连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：三角形沿方向平移得到三角形，根据平移前后，对应点所连线段平行或在同一条直线上且相等可得，，故选项A，B成立，不符合题意； 根据平移前后，对应角相等可得， ∵， ∴， ∴，故选项C成立，不符合题意； ∵，不一定等于，所以不一定等于，选项D不一定成立． 7. 在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：y轴上点的横坐标为0，因此点P的坐标为； ∵点P到x轴的距离为6， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 相等的角是对顶角 D. 如果两个角互补，那么它们是邻补角 【答案】B 【解析】 【详解】解：只有两条平行线被第三条直线所截，内错角相等， 故选项A错误； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线的性质， 故选项B正确； 相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角也相等，但不是对顶角， 故选项C错误； 互补仅要求两个角的和为，邻补角还要求两个角位置相邻（有公共顶点和公共边），两个不相邻的角也可以互补， 故选项D错误． 9. 在进行《低碳生活》综合与实践活动时，小颖查阅相关资料了解到2020—2025年我国可再生能源发电量占总发电量的比重如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 可再生能源发电量占比 准备将此表的数据绘制成统计图，下列说法正确的是（ ） A. 条形统计图最适合反映这组数据逐年变化的趋势走向 B. 绘制折线统计图，可以描述年份与可再生能源发电量占比之间的关系 C. 利用折线统计图，能够精准算出2026年可再生能源发电占比的准确数值 D. 绘制扇形统计图，其中2020年所占的百分比是 【答案】B 【解析】 【分析】根据各种统计图的特点，得出答案即可． 【详解】解：A．折线统计图最适合反映这组数据逐年变化的趋势走向，故选项A错误； B．绘制折线统计图，可以描述年份与可再生能源发电量占比之间的关系，故选项B正确； C．折线图可以估计未来的发展但不能精准算出未来的具体值，故选项C错误； D．是2020年可再生能源发电量占当年总发电量的百分比，不是在扇形统计图中的占比，故选项D错误． 10. 某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（ ） A. 小亮成功超越小华率先到达终点 B. 小亮仍未超越小华 C. 小亮与小华同时到达终点 D. 两人仍保持原有距离 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析及的实际意义，进而根据判断“…”表示的情境即可． 【详解】解：小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺， 则表示小华冲刺的时间， 设小亮冲刺时的平均速度为， 则表示小华冲刺时小亮冲刺的路程， 小华在距终点时暂时领先，身后处的小亮也同时发起冲刺， 则为小亮距终点的距离， ∴表示小华冲刺时小亮冲刺的路程大于小亮距终点的距离，即小亮成功超越小华率先到达终点． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：要使，可添加． 12. 不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由不等式，得， 由不等式，得， ∴不等式组的解集为． 13. 同学们计划对我市一年中白昼时长的变化规律开展统计调查，商讨后认为本次调查主要有6个步骤（如下表），但顺序被打乱了，请写出正确的先后顺序____________（用字母按顺序写出即可）． A．明确调查问题，明确要求什么； B．记录结果，把收集到的数据完整记录下来； C确定调查对象，明确针对谁开展调查； D．分析数据，对记录好的数据整理分析，得出结论； E．展开调查收集数据，按选定方法实地获取原始数据； F．选择调查方法，根据对象和问题，选择调查方法和方式； 【答案】ACFEBD 【解析】 【分析】本题考查统计调查的基本步骤，按照统计调查的逻辑流程对给出步骤排序即可． 【详解】解：统计调查的正确流程为：先明确调查问题，再确定调查对象，接着选择调查方法，之后展开调查收集原始数据，再记录调查结果，最后分析数据得出结论． 因此正确的先后顺序为ACFEBD． 14. 明代数学家程大位在《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少配成完？”意思是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，为使制成的笔管与笔套正好配套（1个笔管配1个笔套），应安排制作笔管和笔套的短竹各多少根？设应安排制作笔管的短竹x根，制作笔套的短竹y根，根据题意可列方程组为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“有83000根短竹”可得方程；根据“每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，制成的笔管与笔套正好配套（1个笔管配1个笔套）”可得方程． 【详解】解：设应安排制作笔管的短竹x根，制作笔套的短竹y根，根据题意得： ． 15. 如图①是城市道路上的可调节路灯，其示意图如图②，灯杆与地面垂直，支撑杆与灯杆的夹角，支撑杆与灯臂的夹角，为了适配不同路段的照明需求，灯臂与灯头的夹角可调节．若将灯头调节与地面平行（），则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，过点G作，根据平行公理得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点G作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程组 （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 解得， 将代入①，得， 解得：． 所以这个方程组的解是． 17. 下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ．第五步 任务一： （1）填空：①以上解题过程中，第一步的依据是________________________； ②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________________________________． 任务二： （2）请直接写出该不等式的正确解集：____________． 任务三： （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验就解不等式时还需要注意的事项，给其他同学提一条建议． 【答案】（1）①不等式的性质2； ②二；去括号时，括号前的没有与括号内的x相乘； （2）； （3）解：去分母时，不要漏乘不含分母的项． 【解析】 【分析】（1）①根据不等式的性质作答即可； ②第二步去括号时开始出现错误； （2）根据解不等式的步骤求解即可； （3）根据实际情况作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略． 18. 某校为培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校900名学生参加“奔赴星河·筑梦航天”科普知识竞赛．现从中抽取了部分参赛学生的竞赛成绩（满分100分，且都不少于60分，每名学生的成绩记为x分）进行统计，分成A（），B（），C（），D（）四组，将所得数据进行整理，信息如下： 信息一：抽取参赛学生竞赛成绩的频数分布表如下： 分组 A B C D 频数 15 9 信息二：绘制的频数分布直方图和扇形图（均不完整）如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）在选取本次调查的样本时，下列抽样方式最合适的是________；（填选项） A．只选取七年级参赛学生的成绩作为样本 B．从全校参赛学生中随机抽取部分学生的成绩作为样本 C．只选取学校航天社团参赛学生的成绩作为样本 D．只选取参赛的男同学的成绩作为样本 （2）在频数分布表中，__________，__________； （3）补全频数分布直方图，并写出扇形图中D组对应的圆心角的度数为__________； （4）若规定学生竞赛成绩为优秀，请估计所有参赛学生中成绩优秀的人数． 【答案】（1）B （2）9；27 （3）；54 （4）所有参赛学生中成绩优秀的人数约为540人 【解析】 【分析】（1）根据样本的抽取原则作答即可； （2）根据频数分布直方图可知的值，根据B组数据求出总数，进而求得C组的频数； （3）根据（2）中结论可补全频数分布直方图；用乘以D组比例即可； （4）用乘以优秀率即可． 【小问1详解】 解：抽取的样本应具有随机性、代表性、广泛性，其中A，C，D三个选项中都选取特定人群的成绩作为样本，不符合样本抽取的原则； 【小问2详解】 解：根据题意，A组中竞赛成绩x满足，结合频数分布直方图可得A组的频数为9，即； 根据B组频数的值和扇形图中B组占比可得样本容量为，进而求得C组的频数； 【小问3详解】 解：根据（2）中结论可知， 频数分布直方图略； 根据D组频数为9，样本容量为60，可得D组对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：由题中信息可知，共有900名学生参加竞赛．样本中竞赛成绩为优秀的有人，样本容量为60， ∴竞赛成绩优秀的占比为， ∴所有参赛学生中成绩优秀的人数约为人． 19. 2026年某市开展文明交通、智慧出行专项宣传活动，准备在十字路口设立A，B，C三处交通宣传点位（如图），其中A，B点的坐标分别为，． （1）在网格中建立满足上述条件的平面直角坐标系，并写出C点的坐标； （2）为扩大宣传范围，新增一处临时宣传点，请在平面直角坐标系中描出点D； （3）因执勤调整，三处宣传点位整体向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的三处宣传点构成的三角形，并直接写出点A的对应点的坐标． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示．C点的坐标为 （2）点D的位置如图所示 （3）三角形如图所示；点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点A，B的坐标，在网格中确定原点位置，建立平面直角坐标系，再根据网格读出点C的坐标． （2）根据点D的坐标，在已建立的平面直角坐标系中找到横坐标为，纵坐标为的位置，描出点D． （3）将点A，B，C 整体向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到平移后的三角形．根据点的平移规律：横坐标“右加左减”，纵坐标“上加下减”，由点 可得平移后点的坐标为． 【小问1详解】 作图略，C点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作图略，点的坐标为； 20. 手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． （1）求融合后大球的半径（结果保留根号）； （2）判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】（1）融合后大球的半径为 （2）融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【解析】 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【小问1详解】 解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． 【小问2详解】 略． 21. 某校文创社团手绘了书签和明信片两类文创产品．已知手绘40张书签和20张明信片共花费140元，手绘20张书签和40张明信片共花费160元． （1）求手绘一张书签和一张明信片分别需要多少元； （2）该社团计划手绘书签和明信片共220张进行义卖，义卖所得利润全部捐助福利院，希望这些书签、明信片全部卖出以后获利不少于500元．若每张手绘书签售价为4元，每张手绘明信片售价为6元，则最多需要手绘多少张书签？ 【答案】（1）手绘一张书签需要2元，手绘一张明信片需要3元 （2）最多需要手绘160张书签 【解析】 【分析】（1）设手绘一张书签需要x元，手绘一张明信片需要y元．根据两个等量关系“手绘40张书签和20张明信片共花费140元”“手绘20张书签和40张明信片共花费160元”列方程组求解； （2）设需要手绘张书签， 根据“这些书签、明信片全部售出以后获利不少于500元”列不等式求解． 【小问1详解】 解：设手绘一张书签需要x元，手绘一张明信片需要y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：手绘一张书签需要2元，手绘一张明信片需要3元； 【小问2详解】 解：设需要手绘a张书签，则手绘张明信片． 根据题意，得， 解得：， ∵a为正整数， ∴最大为160， 答：最多需要手绘160张书签． 22. 阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． （1）如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； （2）请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； （3）在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）； （3）平行 【解析】 【分析】（1）任取一个x的值代入求出y的值即可； （2）找出的两个解，进而画出方程的图象，同理画出的图象，根据图象作答即可； （3）根据同一平面内两直线的位置关系作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，解得，即方程的一个解为； 作图略； 【小问2详解】 解：将代入得，解得，即方程的一个解为， 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图略； 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图如下： 由图象可知与的公共解为， 即二元一次方程组的解为； 【小问3详解】 解：∵方程组无解， ∴与不相交， 即与平行． 23. 综合与实践 问题情境：综合实践活动课上，老师提出如下问题： 如图①，点A，B分别在直线，上，，的平分线交于点E，且．试判断直线和的位置关系，并说明理由． （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）若将图①中的线段沿直线向右平移得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，连接． ①如图②，当时，求的度数； ②在平移的过程中，直线与的平分线所在直线交于点O，当时，请直接写出的度数． 【答案】（1）． 理由：∵是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴． （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质，得到，通过等量代换得到，根据内错角相等，两直线平行即可说明； （2）①利用平行线的性质，求出和的度数，通过平移前后两直线平行，得到，再利用（1）中的关系，求出的度数，利用三角形内角和求解即可； ②分类讨论点O在下方与上方两种情况，画出草图，仿照（2）①的求解过程即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质，得， ∴， ∴； ②或，理由如下： 分两种情况： 情况一：如图，点O在下方，过点O作，则． ∴，，． ∴， ∵平分， ∴， ∴； 情况二：如图，点O在上方，过点O作，则． ∴，，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $