第12讲 可化为一元二次方程的分式方程（知识详解+5典例精讲+课后作业）2026年新八年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第12讲 可化为一元二次方程的分式方程 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：分式方程的定义 知识点02：解题核心思想 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：分式方程的概念 题型02：分式方程的解法 题型03：根据分式方程解的情况求值 题型04：分式方程无解问题 题型05：分式方程的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定要点：①是等式；②含有分母；③分母中必须含未知数（区别于分母只有常数的整式方程）。 可化为一元二次方程的分式方程：通过去分母变形后，可转化为一元二次整式方程的分式方程，是初中分式方程的重点类型。 【知识点02】解题核心思想 转化思想：将陌生的分式方程通过等价变形，转化为熟悉的一元二次整式方程求解，所有解题步骤均围绕“化分式为整式”展开。 【题型01】分式方程的概念 【典例1-2】．（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】．已知方程： ，，， 这四个方程中，分式方程的个数是（  ） A． B． C． D． 【题型02】分式方程的解法 【典例2-1】．（24-25八年级·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【变式2-2】．（2023·上海浦东新·二模）解方程：. 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【题型03】分式方程增根问题 【典例3-1】．（24-25八年级·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式3-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有增根，求的值． 【变式3-2】．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？ 【变式3-3】．（23-24八年级下·上海·期末）已知方程只有一个根，求a的值． 【题型04】分式方程无解问题 【典例4-1】（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 【变式4-1】若关于的方程无实数根，求的值； 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海静安·阶段检测）（1）解方程：； （2）解方程：． 【变式4-3】．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）关于的方程只有一个实数根，求：的值． 【题型05】分式方程的应用 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海·期末）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海静安·期末）从上海到南京相距300千米，小王上午驾车以一定的速度从上海去南京，下午从南京赶回上海，在回来的路上按原来的速度行驶了1小时后由于汽车故障修理了20分钟，随后以比原来快20千米／时的速度行驶，结果用了和去时相同的时间赶到上海，问小王上午驾车的速度是多少？ 本节课我们重点学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法与核心考点，核心逻辑是“转化与检验”。 1. 本质认知：这类方程属于分式方程，区别于普通整式方程，最大特点是分母含未知数，求解必须通过去分母转化为一元二次方程，依托一元二次方程的解法完成求解。 2. 解题关键：牢记“去分母→解整式方程→验根”三步核心流程，其中验根是分式方程的灵魂步骤，是区别于一元二次方程求解的核心，目的是剔除变形产生的增根，保证解的有效性。 3. 思想方法：全程运用转化思想，将未知、复杂的分式问题转化为已知、简单的整式方程问题；针对复杂分式方程，可借助换元法简化运算，提升解题效率。 4. 核心考点：基础考查方程求解，重难点为增根问题、分式方程无解的参数求解，解题时需精准区分增根的特征，规避漏乘、不验根等常见错误。 5. 解题原则：先观察方程结构，简单方程直接去分母求解，结构复杂优先换元，所有题目最终必须验根，严谨书写解题步骤。 一、单选题 1．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 2．若关于x的方程无解，则a的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 3．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 4．“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）方程的根是___________． 7．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是______． 9．（25-26八年级上·上海·期中）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 10．（25-26八年级上·上海·期末）若关于的分式方程无解，则_________． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）关于的方程只有一个实数解，则实数所有可能的值的绝对值之和为________． 12．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是__ ． 13．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 三、解答题 14．（25-26八年级上·上海崇明·期末）解分式方程：． 15．2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 16．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 17．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 18．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 19．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 20．（25-26八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 21．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 可化为一元二次方程的分式方程 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：分式方程的定义 知识点02：解题核心思想 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：分式方程的概念 题型02：分式方程的解法 题型03：根据分式方程解的情况求值 题型04：分式方程无解问题 题型05：分式方程的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（4） 二、填空题（9） 三、解答题（8） 【知识点01】分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定要点：①是等式；②含有分母；③分母中必须含未知数（区别于分母只有常数的整式方程）。 可化为一元二次方程的分式方程：通过去分母变形后，可转化为一元二次整式方程的分式方程，是初中分式方程的重点类型。 【知识点02】解题核心思想 转化思想：将陌生的分式方程通过等价变形，转化为熟悉的一元二次整式方程求解，所有解题步骤均围绕“化分式为整式”展开。 【题型01】分式方程的概念 【典例1-2】．（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 【变式1-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 【变式1-2】．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 【变式1-3】．已知方程： ，，， 这四个方程中，分式方程的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，即可． 【详解】解：是分式方程； ，是分式方程； ，是分式方程； ，不是分式方程； ∴上述分式方程的个数是：个． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的定义，学会判断分式方程． 【题型02】分式方程的解法 【典例2-1】．（24-25八年级·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，首先将分母因式分解，然后确定最小公倍数，两边同乘去分母，再展开和整理得到整式方程的一般式． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母，得， 整理，得， 故答案为：． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，换元法解方程；通过换元法，将原方程中的分式用表示，然后去分母转化为关于的整式方程． 【详解】解：设，则原方程中， 而， 因此原方程化为．两边同乘， 得， 整理得． 故答案为：． 【变式2-2】．（2023·上海浦东新·二模）解方程：. 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 【题型03】分式方程增根问题 【典例3-1】．（24-25八年级·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 【变式3-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于的方程有增根，求的值． 【答案】的值为或． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解方程，分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，又关于的方程有增根，所以或，将方程的增根代入整式方程计算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵若关于的方程有增根， ∴或， 当时，， ∴； 当时，， 整理得： ∴或； 综上：的值为或． 【变式3-2】．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？ 【答案】m=1或m=-2. 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式方程无解问题 【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值． 【详解】方程两边都乘以x（x+1）得， 2x2-m-1=（x+1）2， 若分式方程产生增根，则x（x+1）=0， 解得x=0或x=-1， 把代入整式方程，得解得； 把代入整式方程，得解得 ∴m=1或m=-2. 【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可． 【变式3-3】．（23-24八年级下·上海·期末）已知方程只有一个根，求a的值． 【答案】5或9或； 【知识点】一元二次方程的解、根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】去分母化为一元二次方程，分别讨论一元二次方程有一根为x=-1、有一根为x=-2、有两个相同根时，求得a的值再代入验证即可； 【详解】解： 去分母得： 去括号得： ①有一根为x=-1时，代入得a=5， ，则另一个根为x=0， 此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意； ②有一根为x=-2时，代入得a=9， ，则另一个根为x=1， 此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意； ③有两个相同根时，4-8（5-a）=0，a=， ，， 此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意； ∴a的值为5或9或； 【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能为零是解题关键． 【题型04】分式方程无解问题 【典例4-1】（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 【答案】 或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 【变式4-1】若关于的方程无实数根，求的值； 【答案】或 【解析】去分母整理得：，原方程无实数根，则 （1），即； （2）整式方程的根是原分式方程的增根，则或，代入整式方程得：， 综上所述：当或时，原方程无实数根． 【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海静安·阶段检测）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验． （1）方程两边同时乘，化简转化为一元二次方程，并求出x的值，再检验即可． （2）现将方程进行整理化简，再将方程两边同时乘，化简并转化为一元一次方程，求出y的值，再检验即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 解得， 检验：当时，分母，舍去，时， ∴原方程的解为； （2）解：， 整理得 方程两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【变式4-3】．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）关于的方程只有一个实数根，求：的值． 【答案】的值为或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可． 【详解】解：将转化为整式方程可得：； 当时，方程为，解得 经检验，是原方程的解； 当时，方程为一元二次方程，判别式 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根， 由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1， 当时，方程不成立，舍去； 当时，方程为，解得， 将代入可得 解得或 经检验，是原分式方程的解， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析． 【题型05】分式方程的应用 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【答案】1班人数是20人，2班人数是26人 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得（舍去），然后验根作答即可． 【详解】解：设2班人数是人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是人． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海·期末）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【答案】甲、乙两组合做能在规定时间内完成 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系“工作量工作效率工作时间”的运用，解答时根据工作问题的数量关系建立方程是关键．设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天，根据题意可列方程为，由此解答即可． 【详解】解：设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天， 根据题意得： 化简得： 整理得： ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 但时，，不符合实际意义，故舍去 所以规定时间为28天， 因为，所以甲、乙两组合做能在规定时间内完成， 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，问现在计划每天加固多少米？ 【答案】现在计划每天加固160米 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验．设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米，根据完成天数比原计划缩短2天，列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天加固长度为米，则现在每天加固长度为米， 由题意得：， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴现在每天加固长度为米． 答：现在计划每天加固160米． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海静安·期末）从上海到南京相距300千米，小王上午驾车以一定的速度从上海去南京，下午从南京赶回上海，在回来的路上按原来的速度行驶了1小时后由于汽车故障修理了20分钟，随后以比原来快20千米／时的速度行驶，结果用了和去时相同的时间赶到上海，问小王上午驾车的速度是多少？ 【答案】100千米/时 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，设小王上午驾车的速度是x千米/时，则上午用时小时，下午用时小时，根据上午和下午的时间相同列出方程，求解即可． 【详解】解：设小王上午驾车的速度是x千米/时，根据题意，得 ， 去分母，整理，得 解得，， 经检验，，均为方程的解，但不合题意，舍去． 答：小王上午驾车的速度是100千米/时． 本节课我们重点学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法与核心考点，核心逻辑是“转化与检验”。 1. 本质认知：这类方程属于分式方程，区别于普通整式方程，最大特点是分母含未知数，求解必须通过去分母转化为一元二次方程，依托一元二次方程的解法完成求解。 2. 解题关键：牢记“去分母→解整式方程→验根”三步核心流程，其中验根是分式方程的灵魂步骤，是区别于一元二次方程求解的核心，目的是剔除变形产生的增根，保证解的有效性。 3. 思想方法：全程运用转化思想，将未知、复杂的分式问题转化为已知、简单的整式方程问题；针对复杂分式方程，可借助换元法简化运算，提升解题效率。 4. 核心考点：基础考查方程求解，重难点为增根问题、分式方程无解的参数求解，解题时需精准区分增根的特征，规避漏乘、不验根等常见错误。 5. 解题原则：先观察方程结构，简单方程直接去分母求解，结构复杂优先换元，所有题目最终必须验根，严谨书写解题步骤。 一、单选题 1．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 2．若关于x的方程无解，则a的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要查了分式方程无解的问题．先去分母得到关于x的整式方程，然后分两种情况：当，即时，当，即时，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当，即时，有，此时方程无解； 当，即时， 解得：， ∵原方程无解， ∴或， 即或， 解得：或； 综上所述，a的值为或或． 故选：C 3．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 4．“武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程，找出等量关系列出方程是解题的关键． 设原来参加游览的人数有x人，根据“每个成员比原来少摊了3元钱车费”即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的人数有x人，根据题意，得 ． 故选：D 二、填空题 5．若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得， ∵关于x的分式方程无解， ∴，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）方程的根是___________． 【答案】和 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 7．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程的概念，熟悉解分式方程的步骤是关键；将分式方程的分母因式分解，找到公分母，去分母后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：方程化为． 两边同乘公分母，得． 整理得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是______． 【答案】或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、分式方程无解问题 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 9．（25-26八年级上·上海·期中）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 【答案】 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，根据实际平均每人制花数量比原定多15朵，列出分式方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，则原定全班平均每人制作朵红纸花．实际有10名同学因排练节目未参加，因此实际参加劳动的同学有人，平均每人制作朵． 根据题意，实际平均每人制花数量比原定全班平均每人数量多15朵，故可得方程 ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·期末）若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）关于的方程只有一个实数解，则实数所有可能的值的绝对值之和为________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、解分式方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． 先根据分式有意义的条件确定分式方程x的取值范围，再将分式方程整理成，再分、以及分式方程存在增根三种情况求得k的值，最后再求绝对值的和即可． 【详解】解：原分式方程 的x的取值范围为且． 两边乘以公分母 ，得： ， 简化后为：， 展开并整理得：，此为关于的二次方程，但系数含 ． ①：当 ，即 时，方程为一次方程． 将代入原方程，解得 ，符合题意，故符合条件． ②：当 ，即 ，方程为二次方程． 二次方程有唯一实数解时判别式为零： ，解得：． 当时，，经检验均不为或，故 符合条件． 情况三：考虑增根可能性． 若是根，代入二次方程得 ，即 ． 当，原方程解得 ，满足题意，故符合条件． 若是根，代入二次方程得 ． 当，原方程解得 ，满足题意，故 符合条件． 综上，所有符合条件的 值为 ． 其绝对值之和为： ． 故答案为 ． 12．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是__ ． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 根据现值原理，未来现金流的折现值之和应等于初始投资本金． 【详解】解：设收益率为，则一年后返还3万元的现值为 ，两年后返还万元的现值为 ，两者之和等于本金5万元， 故得方程 ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 三、解答题 14．（25-26八年级上·上海崇明·期末）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元二次方程求解的方法是关键．根据题意，先去分母，转换为一元二次方程，再根据解一元二次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：两边同时乘以得 ， 整理得， ， 解得或 ， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， 所以原方程的根是． 15．2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 【答案】1.2万 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】求的是原计划的工效，工作总量明显，一定是根据工作时间来列等量关系，本题的关键描述语是：提前4天完成任务，等量关系为：原计划所用时间﹣实际所用时间＝4，列出方程可求解． 【详解】解：设原计划每天加工x万只口罩， 根据题意，得＝4， 整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0， 解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6， 经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去． 答：该厂原计划每天加工1.2万只口罩． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 16．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 17．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 18．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 【答案】且或且 【知识点】分式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，解题的关键是熟练掌握相关内容．根据方程根的情况确定判别式的取值范围，从而得出参数的取值范围． 【详解】解：原方程两边同时乘以得，， 整理得，， ． 关于的方程有两个不同的实数解， ， 即， ， 解得，或， 又， 即且， ， 化简整理得，， 且． 综上，的取值范围是且或且． 19．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】， ， 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，再分情况计算即可． 【详解】解：设，， 则原方程可化为，， 或． 当时，即， 两边乘以得，， 解得，， 经检验，为原方程的解； 当时，即， 两边乘以得，， 整理得，， 解得，或， 经检验，， 均为原方程的解， 综上，方程的解为， ， ． 20．（25-26八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 【答案】 A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键，设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元，结合题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 经检验，当时，原方程有意义， ∴A厂采购单价为8元，则B厂采购单价为元， 答：A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元． 21．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $