第二十五章一元二次方程单元检测卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学第二十五章一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、运算能力和模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|一元二次方程定义、根的判别式、实际问题（增长率、道路面积）|结合矩形道路、生物标本互赠情境，渗透模型意识| |填空题|6题|根与系数关系、配方、一般形式、降价百分率|考查韦达定理及方程转化，强化抽象能力| |解答题|7题|解方程、根的判别式应用、利润问题、面积问题、换元法|含自行车棚面积计算、换元法创新题，体现运算能力与推理意识|

第二十五章 一元二次方程单元卷 姓名：_________ 班级：____________ 一、选择题 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的方程是一元二次方程，则的取值是(    ) A. 任意实数 B. 或 C. D. 3.如果代数式的值为，那么的值是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 7.方程经过配方后得(    ) A. B. C. D. 8.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程(    ) A. B. C. D. 9.某经济开发区今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，问、月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为(    ) A. B. C. D. 10.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是(    ) A.   B.   C.    D.   二、填空题 11.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是        ． 12.设、是方程的两个根，则          ． 13.将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 14.将方程化为一般形式为______． 15.某蛋糕公司决定下调盒装蛋糕的价格，经过两次降价，每盒由元调至元，若平均每次降价的百分率为，由题意可列方程        ． 16.如图，在一幅长，宽的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果要使整个挂图的面积是，则金色纸边的宽为          ． 三、解答题。 17.用恰当的方法解下列方程． ； ． 18.19.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 若为正整数，求的值； 若，满足，求的值． 19.已知关于的方程为常数． 求证：不论取何值时，该方程总有实数根． 方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由． 20.某商店将进价为元的商品按售价元出售时，能卖件．已知该商品每涨价元，销售量就会减少件，为获得元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元？ 21.某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m=15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示长方形的面积S； (2)若要求车棚的面积为80平方米，求AB长； (3)若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？ 22.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，求的值． 23.实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、含有个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数，未知数的最高次数是，二次项系数不为，是一元二次方程，符合题意； D、含有个未知数，不符合题意； 故选：． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 此题考查了考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：根据一元二次方程的定义可知，， ， 故选：． 由一元二次方程的定义可知，需要同时满足三个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是且最高次项的系数不为，就可得出，，就可得出答案． 本题考查一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义解决相关问题． 3.【答案】  【解析】解：根据题意得：，即， 解得：， 故选：． 根据题意列出方程，整理后利用平方根定义开方即可求出的值． 此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 4.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故选：． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出的值即可． 此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：， ， ， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：． 根据题意，先对方程移项，整理成一般式，根据根的判别式的值与零的大小关系判断根的情况． 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：根据题意，直接把代入， 则， 或； 故选：． 利用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值． 本题考查了一元二次方程的解，在解题时要重视解题思路的逆向分析是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：由题意可知： 故选：． 根据配方法即可求出答案． 本题考查一元二方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题是属于基础题型． 8.【答案】  【解析】解：设道路的宽应为米．依题意得： ， 故选：． 把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程． 考查了一元二次方程的应用，关键是将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程的运用，根据题意列出方程即可． 增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【解答】 解：二月份的产值为：， 三月份的产值为： ， 故第一季度总产值为： ． 故选D． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 由题意可知，这是一道双循环的题目，从而可以列出相应的方程，本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 11.【答案】  【解析】解：设关于的一元二次方程的另一个根为， 则依题意得：， 解得． 故答案是：． 通过根与系数的关系求得方程的另一个根． 本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 12.【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ，， ； 故答案为； 由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入计算即可； 本题考查一元二次方程根与系数的关系 13.【答案】  【解析】解：方程， 移项得：， 配方得：，即， 则的值为． 故答案为：． 方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简，即可确定出的值． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 利用多项式乘以多项式计算法则把左边展开，然后再合并同类项即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式． 15.【答案】  【解析】解：依题意得， 故答案为：． 利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：设金色纸边的宽为，则长方形挂图的长为，宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，舍去． 故答案为：． 设金色纸边的宽为，则长方形挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出金色纸边的宽． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 【答案】（1）  ，； （2）  ，  【解析】， ， 则或， 解得，； ， ， 则， 或， 解得，． 利用因式分解法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 为正整数， 或； 由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 解得：，， ， ．  【解析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； 由根与系数的关系可得：，，把变形为，代入解方程即可得到结论． 19.【答案】证明：， 方程总有实数根； 解：不可能． 理由：两根之和， 两个根不可能都是负数．  【解析】证明判别式大于等于即可； 根据两根之和是正数，判断即可． 本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】解：设售价为元，根据题意可得： ， 解得：，， 尽量减少库存， 售价应为元， 答：售价应元．  【解析】直接利用每件商品的利润销量总利润，进而得出等式求出答案． 此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． 21【答案】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 【解析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 22..【答案】；    【解析】有两个不相等的实数根， ， ； ，是方程两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ． 根据根的判别式大于零列式求解即可； 根据根与系数的关系求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，掌握其相关性质是解题的关键． 23.【答案】 （1）解：由题意可得：AB＝xm，则BC＝（27+1−2x）＝（28−2x）m， 故； （2）由（1）得：， 整理得：， 解得：，， ∵当AB＝4时，BC＝28−2x＝20（m）， ∴此时不合题意，故AB＝10m； （3）当 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不能搭建面积为100平方米的车棚． 【解析】（1）根据题意表示出BC的长，再利用矩形面积得出答案； （2）利用（1）中所求，结合S＝80进而得出答案； （3）利用（1）中所求，结合S＝100，再由根的判别式得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程单元卷 姓名：_________ 班级：____________ 一、选择题 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的方程是一元二次方程，则的取值是(    ) A. 任意实数 B. 或 C. D. 3.如果代数式的值为，那么的值是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 7.方程经过配方后得(    ) A. B. C. D. 8.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程(    ) A. B. C. D. 9.某经济开发区今年一月份工业产值达亿元，第一季度总产值为亿元，问、月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为(    ) A. B. C. D. 10.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是(    ) A.   B.   C.    D.   二、填空题 11.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是        ． 12.设、是方程的两个根，则          ． 13.将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 14.将方程化为一般形式为______． 15.某蛋糕公司决定下调盒装蛋糕的价格，经过两次降价，每盒由元调至元，若平均每次降价的百分率为，由题意可列方程        ． 16.如图，在一幅长，宽的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果要使整个挂图的面积是，则金色纸边的宽为          ． 三、解答题。 17.用恰当的方法解下列方程． ； ． 18.19.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 若为正整数，求的值； 若，满足，求的值． 19.已知关于的方程为常数． 求证：不论取何值时，该方程总有实数根． 方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由． 20.某商店将进价为元的商品按售价元出售时，能卖件．已知该商品每涨价元，销售量就会减少件，为获得元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元？ 21.某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长m=15米），并利用已有总长27米的铁围栏，且留有1米宽的门．设矩形自行车棚的边AB长x米，面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示长方形的面积S； (2)若要求车棚的面积为80平方米，求AB长； (3)若要求车棚的面积为100平方米，能否搭建？ 22.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，求的值． 23.实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $