3.3 圆的对称性（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆的对称性（2）”，核心知识点为垂径定理。课堂通过折纸找圆心导入，结合知识回顾轴对称图形，引导学生动手对折直径、观察垂直弦的对称关系，构建从具体操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过严谨证明过程发展推理意识（数学思维），结合“圆材埋壁”“下水管道”等实例建立模型意识（数学语言）。教学注重问题驱动与变式训练，小结提炼核心模型与辅助线技巧，助力学生理解应用，教师可高效开展教学。

3.3 圆的对称性（2） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 掌握垂径定理内容，能准确区分条件与结论，规范书写几何推理语言． 3 会运用垂径定理解决求弦长、半径、弦心距等问题，能结合实际模型分析求解． 知识回顾 什么样的图形叫作轴对称图形？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴． 圆是轴对称图形吗？若为轴对称图形，它有多少条对称轴？ 圆是轴对称图形．经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴． 问题引入 假如你手里有一张圆形的纸片，在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，你能否只通过折纸的方式，快速、准确地找到它的圆心？ 数学活动 1．如图，在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折， 你发现了什么？ O A B 直径两旁的部分 完全重合. 数学活动 2．如图，任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D 关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？ O A B C D P 点C、D关于直线 AB 对称. 圆上任意一组到直线 AB 距离相等且分别在 AB 两侧的点都关于 AB 对称． 新知归纳 圆是轴对称图形， 过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴． 通过以上活动，我们得到如下结论： 观察思考 根据圆的轴对称性，你能在图中找到哪些相等关系？ O C D P A B PCPD 点C与点D重合； PC与PD重合； 与重合； 与重合. 直径AB平分弦CD，且平分， . 叠合法 观察思考 找出的相等关系，你能给出证明吗？ O C D P A B 证明：如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O 的弦， AB⊥CD，垂足为P．连接OC，OD． 在△OCD中， ∵ OC＝OD，OP⊥CD， ∴ PC＝PD，∠BOC＝∠BOD， ∴ ∠AOC＝∠AOD． ∴ ，． 新知归纳 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． ① ② 条件 ③ ④ 结论 知二推三 ① AB是⊙O的直径， ② AB⊥CD于点P ③ PC＝PD， ④ ， ⑤ . O C D P A B 新知巩固 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由． 是 不是， 因为没有垂直 是 不是， 因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 怎样修改图 (2)、(4) 能够满足垂径定理的条件？ (1) (2) (3) (4) 　垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. 这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? 例题讲解 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． O A B C D E 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． 分析： ① 看到垂直于弦的直径，你能联想到什么？ ② 要求直径CD，可以先求什么？ ③ 图中有哪些半径？ ④ 直角三角形三边之间有什么关系？ 例题讲解 O A B C D E 例题讲解 O A B C D E 解：如图，连接OA． 设 OA＝r，则 OE＝OC－CE＝r－1． ∵ AB⊥CD，AB＝10， ∴ AE＝EB＝5（垂径定理）． 在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2． ∴ r2＝52＋(r－1)2． 解这个方程，得 r＝13． ∴ CD＝2r＝2×13＝26． 例2 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． 思路总结： 见垂直，想定理，得半弦； 连半径，构直角，列方程． 变式训练 ∟ · 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AB＝10，OE＝3． 求弦CD的长． O A B E 解：连接OC． ∵直径AB＝10， ∴ OC＝5． 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 CE＝＝＝4． ∵ 弦CD⊥AB， ∴ CD＝2CE＝8． C D 归纳总结 O A B . C P D d a r 1．垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”． 2．在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形． 求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求． h d＋h＝r 弦心距 └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 方法1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)． 方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明． 方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证． 哪种方法更简洁？ └ E A C D B O 例题讲解 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD． 解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E． ∵ OE⊥AB， ∴ AE＝BE，CE＝DE (垂径定理)． ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD． 小结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长． 探究交流 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 菱形； (2) 梯形． 解： (1) 菱形：如图，在⊙O上作出 互相垂直的两条直径AC，BD． 连接 BC，CD，DA，AB ． 四边形 ABCD 即为所求． O A C B D · 解： (2) 梯形：如图，在⊙O 中任意作一 条直径AB，作弦CD⊥AB，EF⊥AB (CD≠EF)，连接 CE、DF，四边形 CEFD 即为所求． 探究交流 在一个给定的圆中，能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 菱形； (2) 梯形． A B · O C D E F 新知巩固 1．问题引入中，你能在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，只通过折纸的方式，快速、准确地找到圆形纸片的圆心吗？ O 折痕的交点为圆心O └ 新知巩固 N M 2．如图，AB，CD是⊙O的两条弦， AB∥CD． 与相等吗？为什么？ A C D B O 解： 与相等．作垂直于弦AB的直径MN． ∵ MN⊥AB ，AB∥CD， ∴ MN⊥CD． ∴ ＝． ∴ 即 . 新知巩固 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC的长 为点O到AB的距离. 连接OA． ∵ OC⊥AB， ∴ AC＝CB＝AB＝4． 在Rt△AOC中，由勾股定理，得 OC＝＝＝3． ∴ OP的取值范围3≤OP≤5． ∟ 3．如图，⊙O 的直径为10，弦 AB 的长为 8，点 P 在 AB 上运动． 求 OP 的取值范围． · O A B C P 能力提升 └ 1．如图，过⊙O内一点P画弦AB，满足什么条件时，P是AB的中点？ 说明理由． · O P A B · 解：当AB⊥OP时，P是AB的中点． 理由如下： ∵ 直线OP经过圆心O，AB⊥OP， 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦， ∴ P是弦AB的中点． 能力提升 2．如图，AB、AC 为⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6． 求⊙O的半径． 解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足分别为 D、E，连接OA． D E └ └ 在矩形ADOE中， 在Rt△OAD中，由勾股定理得， OD＝AE＝AC＝3， AD＝AB＝4． OA＝＝＝5． ∴⊙O的半径为5． · O A B C 能力提升 3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． (1) 求此下水管道横截面的半径； 解：(1) 作半径OD⊥AB于C，连接OA． 则CD＝0.1m． 由垂径定理，得AC＝AB＝×0.6＝0.3m． 设⊙O的半径为rm，则OA＝OD＝rm ， OC＝OD－CD＝(r－0.1)m． 　　在Rt△OAC中，由勾股定理，得OA2＝AC2＋OC2， 　　 r2＝0.32＋(r－0.1)²，解得 r＝0.5． 答：此下水管道横截面的半径为0.5m． D C └ 能力提升 3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． (2) 随着积水量的增加，水面又抬升0.7m，此时 水面的宽度增加了多少？ └ N M 解：(2) 如图，设此时水面为MN． 过点O作OH⊥MN于H，连接OM． ∵ OH⊥MN，∴ NH＝MH． ∵水面又抬升0.7m， ∴ OH＝0.1＋0.7－0.5＝0.3m． 在Rt△OMH中，由勾股定理，得 MH＝＝＝0.4m． ∴ MN＝2MH＝2×0.4＝0.8m．MN－AB＝0.8－0.6＝0.2m． 答：水面的宽度增加了0.2m． H 课堂小结 3.3 圆的对称性（2） 圆的对称性：圆是轴对称图形，过圆心直线都是对称轴 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 核心模型：半径、半弦、弦心距构成直角三角形，勾股定理计算 辅助线技巧：求弦长必作“垂直于弦的半径/圆心垂线” 感谢聆听！ $