第一章 特殊平行四边形 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

人数 30 30 25 26 24 20 20 15 0 C D类别 (2)最希望增设“木偶班”的学生人数约为800×30=240.(3)列表如下： 100 男 男 男 女 女 男 (男，男) (男，男)（男，女） (男，女) 男（男，男） (男，男)（男，女） (男，女) 男（男，男） (男，男) (男，女) (男，女) 女 (女，男)（女，男） (女，男) (女，女) 女 (女，男)（女，男）（女，男）（女，女） 共有20种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有12种，∴·恰好抽中一男一女 的概率为号=号。 综合与实践 解：活动一：20活动二：(1)0.250.2540(2)40活动四：设鱼塘中有x条鱼.依 题意，得10-品解得x=150.经检验，x=1500是所列方程的解，且符合题意. .鱼塘中约有1500条鱼. 质量评估 第一章质量评估 1.A2.D3.C4.D5.D6.B7.D8.B9.A10.D 1.AC=BD(答案不唯-)12.(2+区，w②13.214.号 15.(1)解：在Rt△ABC中，：CD是斜边AB上的中线，.AB=2CD=6.:∠ACB= 90°，∴BC=√AB-AC区=√62-4=2√5.(2)证明：四边形ABCD是矩形，AB =CD,AD=BC,∠A=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中， BE=DF,:R△ABE≌ AB-CD. Rt△CDF(HL)..AE=CF,∴.AD-AE=BC-CF,即DE=BF. 16.解：，四边形ABCD是菱形，AB=BC,BC∥AD.,AE垂直平分BC,.AB= AC..AB=BC=AC.∴.△ABC是等边三角形.∴∠B=60°.BC∥AD,∴∠B+ ∠BAD=180°..∠BAD=180°-∠B=120°. 17.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.,DE=CF,∴.AD- DE=BC-CF,即AE=BF.∴.四边形ABFE是平行四边形.：BE平分∠ABC, ∠ABE=∠FBE.AD∥BC,.∠AEB=∠FBE..∠ABE=∠AEB.∴AB=AE '.四边形ABFE是菱形. 18.解：答案不唯一，如：(1)AB=BC(2),AB=BC,BF为AC边上的中线，.BF⊥ AC.∠BFC=90°.，四边形BECF为平行四边形，∴.四边形BECF为矩形 :∠ABC=9O,BF为AC边上的中线，∴BF=CF=号AC四边形BBCF为正方形. 19.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AD=BC.BE=CF,.BE+CE CF十CE,即BC=EF.∴.AD=EF.,四边形AEFD是平行四边形.：AE⊥BC, ∴∠AEF=90°..四边形AEFD是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC =AD=10..BE=BC-CE=6.四边形AEFD是矩形，.EF=AD=10,DF=AE, ∠AEF=∠DFE=90°.∴.BF=BE+EF=16.在Rt△ABE中，AE=√AB-BE=8, 34 .DF=AE=8.在Rt△BDF中，BD=√BF+DF=8√5.四边形ABCD是菱形， :O是BD的中点.：OF=合BD=45. 20.解：(1)由题意，得BQ=tcm,DP=tcm.,四边形ABCD是矩形，AB=4cm,BC= 8cm,∴.CD=AB=4cm,AD=BC=8cm.∴.AP=(8-t)cm.当四边形ABQP是矩形 时，BQ=AP.∴.t=8一t,解得t=4..当t的值为4时，四边形ABQP是矩形.(2)AB =4cm,BQ=tcm,∠B=90°，∴.AQ=√AB2+BQ=√42+平cm.由题意，得AP=CQ =(8-t)cm.,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..四边形AQCP是平行四边形.当 四边形AQCP是菱形时，AP=AQ.∴.√4十=8-t,解得t=3.当t=3时，BQ= 3cm,∴.CQ=BC-BQ=5cm.此时菱形AQCP的面积为CQ·AB=5×4=20(cm2). 21.(1)解：CG=CE.理由如下：，四边形ABCD是正方形，，BC=CD,∠BCG= ∠DCE=90°..∠E+∠EDC=90°..BF⊥DE,.∠BFE=90°.∴.∠E+∠CBG= 90°..∠CBG=∠EDC.∴.△BCG≌△DCE(ASA).∴.CG=CE.(2)证明：延长FD至 点G,使DG=BE,连接AG.,四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠B=∠BAD= ∠ADF=∠ADG=90°.，DG=BE,.∴.△ABE≌△ADG(SAS).∴.AE=AG,∠BAE= ∠DAG.,∠BAD=90°，∠EAF=45°，.∠BAE+∠FAD=45°.∴.∠DAG+∠FAD= 45°..∠FAG=∠EAF.,AF=AF,∴.△AEF≌△AGF(SAS)..EF=GF.,BE+ DF=DG+DF=GF,.BE十DF=EF.(3)解：由题意，得BC=CD=6.,E是BC边的 中点，∴BE=CE=号BC=3.设DF=x,则CF=CD-DF=6-x,EF=BE+DF=3+ x.在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2,即(3+x)2=32+(6-x)2,解得x=2..EF=5. 第二章质量评估 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.B9.A10.A 11.x2-2x=0(答案不唯一)12.-313.014.2或4 15.解：(1)这里a=2,b=5,c=-3.:b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0,.x= 二5装®=二5生，即=-3，=分(2)：x=-1是方程父+mx-5=0的根， 2X2 4 .1一m一5=0，解得m=-4.设另一个根为x2,则-1·x2=一5，.x2=5. 16.解：两名同学的解法都不正确.正确解答如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2 =0..(x-3)(3一x十3)=0..x一3=0，或6一x=0..x1=3,x2=6. 17.解：设该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为x.根据题意，得 200(1十x)2=338,解得x1=0.3=30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：该地9,10两 个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为306. 18.解：方程有两个不相等的实数根，△=b-4c>0,即b2>4c..选择②③均可.选 择②，则这个方程为2+3江+1=0，解得=一士5。=一3。选择①，则这个 2 方程为r+3x-1=0,解得4=二3+压，=3，区.（②3任选一个作答即可） 2 2 19.(1)证明：△=(1-2m)2-4×1×(m-3m2)=(4m-1)2≥0，.无论m为何实数， 方程总有实数根.(2)解：x1,x2是方程x2十(1一2m)x十m一3m2=0的两个实数根， 1十m=2m-1,西2=m-3m2.·华+4=5十连=西十)-2x1边=-5， x1工2 :2m-12Cm-3m--5,整理，得5m+m-1=0,解得m=二1+√@I,m m-3m2 10 二1√团.m的值为1+√团或1√团 10 10 10 20.解：（任务一）设正方形就餐区域的边长为xm.根据题意，得(x一6)(x一8)=168， 解得x1=20,x2=一6（不合题意，舍去）.答：正方形就餐区域的边长为20m.(任务二) 设收费标准降低y元.根据题意，得(20-)(50+六×5)-1250，解得1=%=50， 200-50=150(元).答：收费标准应定为150元/人. 21.解：(1)解方程x2-5x+6=0,得x1=2,x2=3.x2-x=1,.方程x2-5x十6=0 是“邻根方程”.(2)解方程x2-(m-1)x-m=0,得x1=m,x2=一1.：关于x的方程 一 35 x2-(m-1)x-m=0是“邻根方程”，.x1-x2|=m-（-1)|=1,解得m1=0,m2= 一2..m的值是0或-2.(3)设方程ax2+bx十1=0的两个根分别是1，x2.该方程 是邻根方程，小一=1.由根与系数的关系，得十=一名=日a -=√(a-)严=Vx+)2=4x西=√a 4o=1..-如=1，即8= a2 +4a.∴.t=12a-b=12a-(a2+4a)=-a2+8a=-(a-4)2+16.(a-4)2≥0， .-(a-4)2+16≤16.t的最大值是16. 第三章质量评估 1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.C8.A9.C10.D11.12:712.√5 13.27°14.2 9 15解，a器分6=4a2362020a器=号(24//…能 -2器-号ACB号即26A5B号.AB=10 16.解：：∠A=80°，∠B=75°，∠C=125°，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°.：四 边形ABCD四边形ABCD∠D=∠D-8对，0-识÷专-解得=10 17.解：(1)△ABG如图所示.点A的坐标为1,4).(2)(1，-受】 61 64一2 2468x B 6 18.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD.∴∠AEB=∠DAE.:∠B= ∠AED,.△ABE∽△DEA.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=6.由(1)知 △ABB△DE-()}-(告)广-号 19.证明：(I:∠ADB=∠ACB,∠AFD=∠BPC,△ADP△BCR,∴F-8器 ÷票-8：∠AFB=∠DFPC,AAFB△DPC∠ABF=∠DCF,即∠ABD= ∠ACD.(2)AE∥DC,∴.∠AEF=∠CDF.∠AFE=∠CFD,∴.△AFE∽△CFD. 器-F器-由I痴△AD△BCF,C-器器-肥EF· BC=AD·AF. 20.解：(1)由题意，得FC∥DE,∴.∠BFC=∠BED,∠BCF=∠BDE.∴·△BFCc∽ △BBD,S-品即S4景BC=3m2②：AC-=5.4m,C=3m,A5 =AC-BC=5.4-3=2.4(m).由题意，得∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB=90°， △BFC△BGA8架-C,即S-.AG=1.2m答：灯池到地面的高度 AG为1.2m. 21.(1)证明：E是AB的中点，∴AB=2BE.AB=2CD,∴CD=BE.又AB∥CD, .四边形BCDE是平行四边形.DE∥BC.∴∠EDM=∠FBM,∠DEM=∠BFM. ∴△EDM∽△FBM.(2)解：，F是BC的中点，∴BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是 平行因边形，DE=BC=2BR,由(I知△EDM△FBM,器-2BM= 子BD=子×12=4.(3)解：存在.如答图，：AB∥CD,∠CDB=∠ABD.:BD平分 —36第一章质量评估 (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题均有A, B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 母 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.若菱形的一条边长为5cm,则这个菱形的周长为 A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm 2.菱形、矩形和正方形都具有的性质是 A.四个角相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件后，能 使□ABCD成为菱形的是 ( A.AC=BD B.AB=CD C.AC⊥BD D.AD∥BC DA 8 (第3题图) (第4题图)》 4.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上A,D,B三点对应 的刻度分别为1,4,7（单位：cm),则CD的长为 ( ) A.6 cm B.4.5 cm C.3.5 cm D.3 cm 5.如图，在菱形ABCD中，AC=8,AD=5,则菱形的面积为( A.20 B.40 C.28 D.24 B D (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD= 120°，AB=2,则AC的长为 ( A.23 B.4 C.43 D.8 7.如图，已知AC=√2cm,小红作了如下操作：分别以点A,C为 圆心，1cm长为半径作弧，两弧分别相交于点B,D,依次连接 点A,B,C,D,则四边形ABCD的形状是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C矩形 D.正方形 8.图①是油纸伞展开后的剖面图，图②是油纸伞收起后的剖面图 已知B,E分别为AC和AF的中点，四边形ABDE是边长为4 的菱形，且∠CAF=120°，D为撑杆AM上可移动的点.当伞从展 开状态到收起状态的过程中，点D移动的距离是 () A.2 B.4 C.6 D.8 图① 图② (第8题图) (第9题图) 9.如图，将边长为12的正方形纸片ABCD折叠，点A的对应点E 落在边DC上，折痕为PQ.若DE=5,则PQ的长为 ( A.13 B.14 C.15 D.16 10.如图①，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以2cm/s的 速度沿折线B一C一D一A匀速运动至点A停止.设点P的运 动时间为t(s),△PAB的面积为y(cm),y关于t的函数图 象如图②所示，则矩形ABCD的对角线长为 ( A.4√10cm B.210 cm C.5 cm D.10 cm ↑y/cm 图① 图② (第10题图) (第11题图) 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且 OA=OC,OB=OD.要使四边形ABCD是矩形，可添加的一 个条件是 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，∠AOC= 45°，则点B的坐标为 B F (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，正方形ABCD的面积为4，E,F,G,H分别为边AB, BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH的面积为 14.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连 接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点，连接GH.若∠B= 60°，BC=2√3，则GH长的最小值为 2 三、解答题（本大题共7题，共54分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分8分)(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线，AC=4,CD=3,求BC的长； (2)如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AD,BC上的点， BE=DF.求证：DE=BF. 16.(本题满分6分)如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC,垂 足为E,连接AC,求∠BAD的度数. 17.(本题满分6分)如图，在口ABCD中，点E,F分别在AD,BC 上，且BE平分∠ABC,连接EF.若DE=CF,求证：四边形 ABFE是菱形， 一3一 18.(本题满分8分)如图，在Rt△ABC中，BF为斜边AC上的中 线，以BF,CF为一组邻边作口BECF,请你添加一个条件（不 再添加其他线条和字母)，使得四边形BECF为正方形， (1)你添加的条件是 (2)请根据你添加的条件，写出证明过程 19.(本题满分8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长BC到点F,使 CF=BE,连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OF,若AD=10,CE=4,求线段OF的长. 一4 20.（本题满分8分)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC= 8cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止；同时 点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止.点P,Q的速 度都是1cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为ts. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形 AQCP的面积. -5 21.(本题满分10分)【探究问题】 (1)如图①，在正方形ABCD中，E是边BC延长线上一点，连 接DE,F是DE上的一个动点，BF与边CD相交于点G. 若BF⊥DE,试猜想CG与CE之间的数量关系，并说明理由. 【拓展迁移】 (2)如图②，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点， 且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF (3)在(2)的条件下，若正方形的边长是6，E是BC边的中点， 求EF的长 D G 图① 图② 6—