第12讲 位似多边形【暑假预习】 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第12讲 位似多边形【知识精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解位似图形的概念，能识别位似图形及其位似中心。 · 掌握位似图形的性质：对应点连线交于一点，对应边平行（或共线），相似比等于对应点到位似中心距离之比。 · 掌握在坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律。 · 能利用位似变换进行作图（放大或缩小图形）。 · 能运用位似图形解决实际问题（如小孔成像、模型放大等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点① 位似图形的概念 如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫作位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似。 提醒 （1）相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上，要求对应顶点的连线相交于一点。 （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形是具有特殊位置的相似图形。 在图1中， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 在图2、3中，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形， 在图5中，五边形 与五边形 是以点 为位似中心的位似图形，且 提示： （1）位似图形的位似中心只有一个。 （2）利用位似，可以将一个图形放大或缩小。 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧（如图1）；也可能位于位似图形之间（如图5）；还可能位于图形的内部、边上或某一顶点处（如图2、3、4）。 【典型例1】 指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 解： 图1中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 图2中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 因为图3中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形。 *温馨提示：位似图形是对应顶点交于一点的相似图形。 总结：确定位似中心的方法：至少连接位似图形上的两组对应点，这两组对应点所在直线的交点即为位似中心。 【典型例题2】 如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 解：不是位似图形。 ∵ ，且 ， ∴ 。 但对应点 的连线与对应点 的连线不交于点 ， 故 与 不是位似图形。 ☆知识点② 位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质。 1. 位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点就是位似中心。 1. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。 1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【典型例题3】 如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 解析： ∵ 与 位似，且周长比为 ， ∴ 与 的相似比为 ， ∴ 。 答案： 总结：位似图形具有相似图形的所有性质，对应角相等，对应边成比例，对应高的比、中线的比、角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 ☆知识点③ 画位似图形 画位似图形的一般步骤： 1. 定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点。 1. 连线：分别连接位似中心和原图形的关键点。 1. 取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置。 1. 构图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形。 提醒 （1）画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比。 （2）以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。 【典型例题4】 四边形 的一个位似图形是四边形 ，且 的对应点分别是 。图中给出了 的对应边 所在的位置，请把四边形 其余部分补画上。 解： （1）连接 ，相交于点 ，则点 为位似中心； （2）作射线 ； （3）分别过点 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ； （4）连接 ，四边形 为所要画的图形（如图所示）。 ☆知识点④ 平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换中的坐标变化 如图，在平面直角坐标系中有一点 。点 在射线 上，并且 ，那么根据成比例线段的知识， 的坐标为 。同理，如果点 在射线 的反向延长线上，并且 ，那么 的坐标为 。 2. 平面直角坐标系中图形的位似变换 一般地，在平面直角坐标系中有两个 边形，分别记作多边形 和多边形 。如果存在一个非零常数 ，使得对任意 （），点 的横、纵坐标都是点 的横、纵坐标的 倍，那么就称多边形 与多边形 关于原点位似，原点 为位似中心， 为位似比。这时，通常简称这两个多边形位似。 提醒 如果，那么多边形和多边形 位于原点的同侧； 如果 ，那么多边形 和多边形 位于原点 的异侧。 如果多边形 与多边形 位似，并且位似比为 ，那么多边形 与多边形 一定相似，并且相似比为 。 于是，可以利用位似放大（若 ）或缩小（若 ）一个多边形。 特别地，当位似比 时，两个位似形重合；当位似比 时，两个位似形关于原点中心对称。 例 5 如图， 的三个顶点分别是 、、，试以原点 为位似中心，构造 的位似图形，使之与 的相似比为 2。 解： 设与 位似的图形为 与 ，且 与 均与 的相似比为 2，则： 的各顶点坐标分别是 、、； 的各顶点坐标分别是、、。 在平面直角坐标系中描出这两组点，然后顺次连接点 、、 和点 、、（如图所示）。则 和 为所求。 总结：求位似变换后点的坐标或作位似图形时，当位似的两个图形与位似中心的位置不明确时，应分两个图形位于位似中心的同侧和异侧两种情况讨论，避免漏解。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】位似图形的概念和性质（第1–6题） ※方法总结 · 判断位似：对应点连线交于一点，对应边平行。 · 位似比 = 对应边长之比 = 对应点到中心距离之比。 · 面积比 = 位似比的平方。 1．（2024秋•仁寿县期中）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得． 【解答】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 2．（2026•景宁县三模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝15，则A′B′的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为5：3， ∴， ∵AB＝15， ∴， ∴A′B′＝9． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比． 3．（2026•琼山区校级三模）如图，△ABC和△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为（0，2），（0，3）．若BC的长为4，则EF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义解答即可． 【解答】解：∵点A，D的坐标分别为（0，2），（0，3），△ABC和△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，BC＝4， ∴OA＝2，OD＝3， ∴△ABC与△DEF的相似比为OA：OD＝2：3， ∴，即， ∴EF＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形，坐标与图形性质，熟知位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比）是解题的关键． 4．（2026•永川区自主招生）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为3：4，则OA：AD的值是（　　） A．3：1 B．2：1 C．3：4 D．9：16 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△ABC与△DEF的周长比为3：4， ∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，且相似比为3：4， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∴OA：AD＝3：1． 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 5．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：9， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6．（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质得到△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3，再根据相似三角形的性质作答即可． 【解答】解：∵OC′：CC′＝2：1， ∴OC′：OC＝2：3， ∵△ABC与△A′B′C′位似， ∴△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3， ∴， ∵△A′B′C′的面积为8， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点2】画位似图形（第7–15题） ※方法总结 · 确定位似中心，连接各顶点。 · 根据位似比在射线上截取对应点。 · 注意放大与缩小的方向（同侧或异侧）。 7．（2024春•同步）如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【解答】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 8．（2021秋•鹿邑县期末）如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【解答】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 9．如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用位似图形的定义可判断第二种画法不正确． 【解答】解：以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的为第一种、第三种和第4种． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． 10．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数t，将得到的点先向右平移a个单位，再向上平移b个单位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'． ①a＝　　 ，b＝　2　 ； ②已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是 　（1，4）　 ． 【答案】①；2． ②（1，4）． 【分析】①根据点A到点A'及点B到点B'的坐标可列出方程，求解方程即可得出答案． ②设F点的坐标为（x，y），根据点F和点F'重合可列出方程组，解方程即可得出答案． 【解答】解：①由题意，点A到点A'可得方程组为， 由点B到点B'可得方程组为， 解得． ②设F点的坐标为（x，y）， ∴， 解得， 即点F的坐标为（1，4）． 故答案为：；2；（1，4）． 【点评】本题考查平移变换、二元一次方程组，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组． 11．（2024春•同步）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB＝2cm，则A′B′＝　4　 cm，并在图中画出位似中心O． 【答案】4 【分析】根据位似比等于相似比建立方程就可以求出结论，连接AA′，BB′，他们的交点就是位似中心O． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′． ∴． ∵AB＝2， ∴， ∴AB＝4cm． 故答案为：4． 如图，连接AA′，BB′，AA′与BB′的交点就是位似中心O． 【点评】本题考查了位似图形的性质的运用，位似变换作图的运用，位似图形的性质的运用，解答时根据位似图形的性质求解是关键． 12．（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为　（2，5）　 ． 【答案】（1）线段EF为所求： （2）（2，5）． 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点A和点B的位置，根据平行四边形的性质即可根据点C求得点D． 【解答】解：（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线，如图，线段EF为所求； （2）如图， ∵A（﹣5，1），B（﹣2，2）， ∴根据平行四边形的性质将点C向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵C（﹣1，4）， ∴D（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】本题考查作图—位似变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕着点A1按顺时针方向旋转90°得到图形△A2B2C2，写出C2的坐标 　（﹣1，﹣3）　 ； （3）以点B为位似中心，在网格内画出△A3BC3，使△A3BC3与△ABC位似，且位似比为2：1． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B1，C1的对应点B2，C2即可； （3）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点A3，C3即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求，写出C2的坐标（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）； （3）如图，△A3BC3即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确作出图形． 14．（2026•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段BC上作点D，使得CD＝3BD； （3）在图③中，作△BEF∽△BAC，且相似比为3：4． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）取格点M，N，使，连接MN交BC于点D，则点D即为所求． （3）根据相似的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图①，△A'B'C即为所求． （2）如图②，取格点M，N，使，连接MN交BC于点D， 可知△BDM∽△CDN， ∴， ∴CD＝3BD， 则点D即为所求． （3）∵△BEF∽△BAC，且相似比为3：4， ∴， 如图③，△BEF即为所求． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 15．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 【答案】解：（1）如图，线段BE即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，点G即为所求； （4）如图即为所求． 【分析】（1）取格点P、Q，连接BP并延长与AC交于点E，可通过全等得出∠ACQ＝∠PBC，再结合∠BCQ＝90°，得出∠BEC＝90°，即BE⊥AC； （2）取格点H，连接AH与BC交于点F，先利用相似三角形的性质，得出，则，结合勾股定理进而推出，则△ACF∽△BCA，即∠CFA＝∠CAB； （3）取格点M、N，连接MN并延长与AC交于点G，则MN∥BE，得MG⊥AC，AE＝EG，即BE垂直平分AG，即可得出BG＝BA； （4）在BC上取三等分点C′，取格点K，连接C′K与BP交于点P′，由C′K∥AC可得△BC′P′与△BCP相似，且相似比比为． 【解答】解：（1）如图，线段BE即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，点G即为所求； （4）如图即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】位似中心坐标的确定（第16–20题） ※方法总结 · 连接两组对应点，交点即位似中心。 · 利用相似三角形或坐标法求交点坐标。 16．（2023•大连模拟）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 【答案】C 【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标． 【解答】解：如图，连接BF交y轴于P， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1）， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴， ∴GP＝1，PC＝2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 17．（2016秋•鄱阳县校级期末）如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【答案】A 【分析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x、C′D′＝2﹣n、AD′＝m，根据位似比为1：2得，即，计算即可． 【解答】解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′， 设C（x，y）， 则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m， ∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1， ∴，即， 解得：xm，yn+3， ∴点C的坐标为（m，n+3）， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握两个图形必须是相似形是解题的关键，注意相似三角形的性质的灵活运用． 18．（2025•绥化一模）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　（1，2）或（﹣1，﹣2）　 ． 【答案】（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点， △AOB与△COD的相似比是3， ∴点C的坐标为（3，6），即（1，2）， 当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2） 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键． 19．（2026春•南岗区校级期中）按要求作图． （1）照样子用数对表示图中各点的位置：A（14，5），B（　11　 ，　3　 ），C（　14　 ，　3　 ）； （2）在方格图中画出△ABC按2：1放大后的图形．（所画图形不能与原图形重叠）． 【答案】（1）11，3；14，3； （2）如图所示，△DEF即为所求． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质画出图形即可． 【解答】解：（1）B（11，3），C（14，3）， 故答案为：11，3；14，3； （2）如图所示，△DEF即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，正确地画出图形是解题的关键． 20．（2026•金安区校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△OAB的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△OA1B1，使它与△OAB位似，且相似比为2； （2）请写出点A的对应点A1的坐标　（﹣4，﹣2）　 ； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）（﹣4，﹣2）． （3）（1，3）或（3，﹣1）或（﹣1，﹣3）． 【分析】（1）结合位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）结合平行四边形的性质确定点P的位置，进而可得答案． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求． （2）由图可得，点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣2）． 故答案为：（﹣4，﹣2）． （3）如图，点P1，P2，P3均满足题意， ∴点P的坐标为（1，3）或（3，﹣1）或（﹣1，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、坐标与图形性质、平行四边形的性质，熟练掌握位似的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【考点4】以原点为位似中心的位似变换（第21–29题） ※方法总结 · 若点的对应点为（同侧）或（异侧）。 · 先根据对应点坐标求位似比，再求其他对应点坐标。 21．（2026•温州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，原点O为位似中心．已知点A（﹣4，﹣1）的对应点为D（8，2），则点B（﹣3，﹣4）的对应点E的坐标为（　　） A．（﹣6，﹣8） B．（﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（8，6） 【答案】C 【分析】利用点A和点D的坐标特征得到相似比为2，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征把B点的横纵坐标都乘以﹣2得到E点坐标． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，原点O为位似中心， 而点A（﹣4，﹣1）的对应点为D（8，2）， ∴相似比为2， ∴点B（﹣3，﹣4）的对应点E的坐标为（6，8）． 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 22．（2026•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，已知点B（﹣4，﹣2），则点B在第一象限的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣3） 【答案】B 【分析】根据位似比为，点B′在第一象限，得出对应点的横坐标、纵坐标都乘以，即可得出答案． 【解答】解：∵△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，点B′在第一象限， ∴B（﹣4，﹣2），点B′的横坐标、纵坐标都乘以， ∴点B′的坐标是（2，1）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（2026•南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心是原点O，点A，B的对应点分别是点A′，B′，点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A′B′的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点A、B的坐标利用勾股定理求出AB的长，再根据点A、A′的坐标求出位似比，最后利用位似图形的性质求解即可． 【解答】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得， ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心是原点O，且A（4，0），A′（﹣2，0）， ∴位似比为， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 24．（2026•成都校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若CD＝3AB，点B的坐标为（2，1），则点D的坐标为　（6，3）　 ． 【答案】（6，3）． 【分析】由位似图形性质得出点D的横纵坐标分别为点B横纵坐标的三倍即可解决 【解答】解：∵△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，CD＝3AB，点B的坐标为（2，1）， ∴△AOB∽△COD， 得， ∴点D的横纵坐标分别为点B横纵坐标的三倍，即D（6，3）． 故答案为：（6，3）． 【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键． 25．（2026•京口区二模）如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为　（3，）　 ． 【答案】（3，）． 【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，由题意得∠COE＝30°，OE，由位似的性质可得D（6，0），即OD＝6，OE＝3，则可得CEOE，进而可得点C的坐标． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵∠OCD＝120°，CO＝CD， ∴∠COE＝30°，OE． ∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，B（﹣2，0）， ∴D（6，0）， ∴OD＝6， ∴OE＝3， ∴CEOE， ∴点C的坐标为（3，）． 故答案为：（3，）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（2026•邗江区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），以点O为位似中心，在第三象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1，则点A1的坐标为 　（﹣4，﹣6）　 ． 【答案】（﹣4，﹣6）． 【分析】根据关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，把点A的横纵坐标都乘以﹣2得到点A1的坐标． 【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1， 而点A的坐标为（2，3）， ∴点A1的坐标为（﹣2×2，﹣2×3），即（﹣4，﹣6）． 故答案为：（﹣4，﹣6）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 27．（2025秋•达川区期末）△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'． （2）在（1）中，点A'的坐标为 　（6，﹣4）　 ． （3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 　　 ． 【答案】（1）见解析； （2）（6，﹣4）； （3）． 【分析】（1）根据以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，得到△A'B'C'的顶点，依次连接即可； （2）由点A（﹣3，2），以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，可得A'（6，﹣4）； （3）点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段，相似比为2：1，即可得：． 【解答】解：（1）∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1， ∴△A'B'C'三个顶点的坐标分别为A'（6，﹣4）、B'（2，﹣6）、C'（4，﹣2）， 依次连接三个顶点可得△A'B'C'，如图所示： （2）∵A（﹣3，2），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1， ∴A'（6，﹣4）， 故答案为：A'（6，﹣4） （3）∵点P，Q分别是线段AB，AC的中点， ∴PQ是△ABC的一条中位线， ∴， ∵相似比为2：1， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的相似比是解题的关键． 28．（2025秋•太平区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1； （2）在（1）的条件下， ①点A的对应点A1的坐标为　（﹣4，﹣6）　 ，点B的对应点B1的坐标为　（4，﹣2）　 ； ②△OAB边上任意一点D（a，b）的对应点D1的坐标为　（2a，2b）　 ． 【答案】（1）如图所示，△OA1B1即为所求； ； （2）①（﹣4，﹣6），（4，﹣2）； ②（2a，2b）． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）①根据（1）所画图象解答即可； ②根据①中对应点的坐标变化解答即可； 【解答】解：（1）根据位似图形的性质画图即可，如图所示，△OA1B1即为所求； ； （2）①点B的对应点B1的坐标为（4，﹣2），点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣6）， 故答案为：（﹣4，﹣6），（4，﹣2）； ②由①可得，△ABC边上任意一点D（a，b）的对应点D1的坐标为（2a，2b）， 故答案为：（2a，2b）． 【点评】本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 29．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 【答案】（﹣2，4）． 【分析】根据点的坐标可得到位似比为1：2，再根据位似比即可求解． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∴点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（﹣1×2，2×2），即（﹣2，4）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 【考点5】位似图形在实际问题中的应用（第30–35题） ※方法总结 · 将实际问题抽象为位似模型。 · 利用位似比 = 对应距离比 = 对应边长比求解。 · 注意单位的统一。 30．（2025秋•邓州市期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB'＝20cm，蜡烛火焰倒立像A'B'＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B．线段AB中点与线段A'B'中点的连线不一定经过点O C．△ABO∽△A'B'O D．蜡烛火焰AB长9cm 【答案】B 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质计算，判断即可． 【解答】解：A、蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，说法正确，不符合题意； B、线段AB中点与线段A′B′中点的连线一定经过点O，故本选项说法错误，符合题意； C、∵AB∥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O，说法正确，不符合题意； D、∵△ABO∽△A′B′O， ∴，即， 解得：AB＝9， ∴蜡烛火焰AB长9cm，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 31．（2025秋•清水县校级期末）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质知：，代入数值求解即可． 【解答】解：∵该图形是以点O为位似中心， ∴． ∵AB＝5，A'B'＝3， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例． 32．（2024•柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（　　） A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4） 【答案】B 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，若点M的坐标为（1，2）， ∴点N的坐标为（1×2，2×2），即（2，4）， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 33．如图，在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形，观测点O为位似中心，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 【答案】（1）； （2）②号“E”的测试距离l2应为5m． 【分析】根据全等三角形的性质解答即可．根据P1D1∥P2D2，可得△P1D1O∽△P2D2O，即对应边成比例，从而进一步求解． 【解答】解：（1）∵P1D1∥P2D2， ∴△P1D1O∽△P2D2O， ∴， 即． （2）∵且b1＝3.2cm，b2＝2cm，l1＝8m， ．（注：可不进行单位换算） ∴l2＝5m． 答：②号“E”的测试距离l2应为5m． 【点评】本题主要考查了位似变换，解答本题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度． 34．如图所示，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP'是6m，光源到幻灯片的距离OP是0.5m，幻灯片上的四边形的面积是20cm2，周长是30cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？ 【答案】屏幕上的四边形的面积是3380cm2，周长为390cm． 【分析】设幻灯片上的四边形为ABCD，屏幕上的四边形为A′B′C′D′，根据位似的性质得到四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB∥A′B′，然后根据相似多边形的性质解决问题． 【解答】解：设幻灯片上的四边形为ABCD，屏幕上的四边形为A′B′C′D′， ∵光源O为位似中心， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB∥A′B′， ∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长＝OP：OP′， ∴四边形A′B′C′D′的周长30＝390（cm）， 四边形A′B′C′D′的面积＝（）2×20＝3380（cm2）． 答：屏幕上的四边形的面积是3380cm2，周长为390cm． 【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 35．（2024秋•浦东新区校级月考）位似图形：如图甲，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点A′、B′、…、P′、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． （1）下列各图，是位似图形的有 　①②④⑤　 （2）①由（1）可知，位似图形 　一定是　 相似图形，相似图形 　不一定是　 位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图乙，BC∥ED，下列说法不正确的是 C A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为AE：AD D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 （3）请在图丙中作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形A1B1C1D1，使它与下列矩形ABCD的相似比是． 【答案】（1）①②④⑤； （2）①一定是，不一定是； ②C； （3）见解析． 【分析】（1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接AC，BD，交于点P，作线段AP的中垂线，交AP于点A1以P为圆心，A1P的长为半径，画弧，分别交PB，PC，PD于点B1，C1，D1，连接A1D1，A1B1，B1D1，C1D1，则矩形A1B1C1D1即为所求． 【解答】解：（1）由题意，可知：①②④⑤为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：①②④⑤； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵BC∥ED， ∴△AED∽△ACB， 又对应点C，E和对应点B，D的连线交于点A， 两个三角形是位似图形，点A为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为AE：AC； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故答案为：C； （3）如图，矩形A1B1C1D1即为所求． 由作图可知：， ∴矩形A1B1C1D1与矩形ABCD位似，位似中心为P，且相似比为1：2． 【点评】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：位似中心确定练习2：位似变换求坐标练习3：位似与面积比 练习4：位似作图练习5：位似与相似比 【练习1】（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为　（﹣8，6）　 ． 【答案】（﹣8，6）． 【分析】利用相似比直接求解即可． 【解答】解：由题可知△OAB∽△OCD，且相似比为1：2， ∴， ∵A（4，﹣3），且点B在第二象限， ∴B（﹣8，6）， 故答案为：（﹣8，6）． 【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 【练习2】（2026•钱塘区二模）如图，在△ABO中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作△ABO的位似图形△CDO．已知点A（﹣1，2）的对应点为C（2，﹣4），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标为　（6，﹣2）　 ． 【答案】（6，﹣2）． 【分析】根据题意可得△CDO与△ABO的位似比为2：1，再根据点B在第二象限，点D在第四象限即可得到答案． 【解答】解：∵以点O为位似中心，A（﹣1，2），C（2，﹣4）， ∴△CDO与△ABO的位似比为2：1， ∵点B的坐标是（﹣3，1）， ∴点B的对应点D的坐标是（6，﹣2）， 故答案为：（6，﹣2）． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习3】（2025秋•如皋市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　8　 ． 【答案】8． 【分析】由题意得△ABC与△DEF的相似比为2：1，则可得△ABC与△DEF的面积比为4：1，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，A（2，4），D（1，2）， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：1， ∵△DEF的面积为2， ∴△ABC的面积为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【练习4】（2025秋•玄武区期末）如图，在4×3的正方形方格纸中，将△OAB以点O为位似中心，放大后得到△OCD，且O，B，D均为格点，则　　 ． 【答案】． 【分析】由题意知，△OAB与△OCD的相似比为，进而可得答案． 【解答】解：由题意知，△OAB与△OCD的相似比为， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【练习5】（2025秋•市南区期末）如图，△ABC在第二象限内，其中点B的坐标是（﹣2，1），以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△A′BC′，使它与△ABC的相似比为2：1．若点C的坐标为（a，b），则其对应点C′的坐标是　（﹣2a﹣6，﹣2b+3）　 ． 【答案】（﹣2a﹣6，﹣2b+3）． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△A′BC′与△ABC是以点B为位似中心的位似图形，相似比为2：1，点B（﹣2，1），点C（a，b）， ∴其对应点C′的坐标为（﹣2a﹣6，﹣2b+3）． 故答案为：（﹣2a﹣6，﹣2b+3）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：位似中心识别作业2：位似求坐标作业3：位似与面积比作业4：位似与周长比 作业5：位似求对应点作业6：位似中心与坐标作业7：位似面积比作业8：位似求坐标 作业9：位似中心确定作业10：位似与相似比作业11：位似作图作业12：位似与对称 作业13：位似与面积作业14：位似作图与比例 ❤ 复习建议 理解位似与相似的关系：位似是相似的特殊情况，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 掌握坐标变换规律：以原点为位似中心时，记住“同号同侧，异号异侧”的口诀。 作图要规范：连接位似中心与各顶点，按位似比截取，保留作图痕迹。 实际应用建模：将实际问题抽象为位似模型，利用位似比求解。 面积比与位似比：牢记面积比等于位似比的平方，周长比等于位似比。 【作业1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解． 【解答】解：根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心， 如图，连接AA′、BB′，交点即为位似中心， 由图形可得位似中心是点O， 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【作业2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【答案】B 【分析】由题意得△OAB与△OCD相似比为3：1，再结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，D（3，0），B（9，0）， ∴△OAB与△OCD相似比为3：1， ∵C（2，1）， ∴点A的坐标为（6，3）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业3】（2026•铜梁区模拟）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△A'B'C′＝4：9，则OA：OA'为（　　） A． B．2：3 C．2：5 D．4：9 【答案】B 【分析】由题意得△ABC与△A'B'C'的相似比为2：3，结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，S△ABC：S△A'B'C′＝4：9， ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为2：3， ∴OA：OA'＝2：3． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业4】（2026•舟山模拟）如图，四边形ABCD，A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．已知，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为，进而可得四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比是． 【解答】解：∵四边形ABCD，A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比是． 故选：C． 【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业5】（2025秋•慈溪市期末）如图，在直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点O．若点B（﹣3，﹣2）的对应点为B1（6，4），则点A（﹣2，1）的对应点A1的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（2，﹣1） 【答案】B 【分析】由题意得△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，再结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵点B（﹣3，﹣2）的对应点为B1（6，4）， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2， ∴点A（﹣2，1）的对应点A1的坐标为（﹣2×（﹣2），1×（﹣2）），即（4，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业6】（2025秋•泰兴市期末）已知A（﹣4，2），B（﹣2，3），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，﹣1），则点B的对应点D的坐标为　（1，）　 ． 【答案】（1，）． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A（﹣4，2）的对应点C的坐标为（2，﹣1）， ∴线段AB与线段CD的相似比为2：1， ∴点B（﹣2，3）的对应点D的坐标为（），即（1，）． 故答案为：（1，）． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业7】（2025秋•市中区期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为　36　 ． 【答案】36． 【分析】由题意得，△ABC与△A′B′C′的相似比为3：1，可得△ABC与△A′B′C′的面积比为9：1，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，△ABC与△A′B′C′的相似比为3：1， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为9：1， ∵△A′B′C′的面积为4， ∴△ABC的面积为36． 故答案为：36． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业8】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　（5，2）　 ． 【答案】（5，2）． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：由题意得，点B的对应点D的坐标为（10，），即（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业9】（2024秋•青羊区期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若△ABC、△DEF的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 　（﹣1，1）　 ． 【答案】（﹣1，1）． 【分析】连接DA，EB，FC，并分别延长，相交于点P，则点P为△ABC与△DEF的位似中心，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接DA，EB，FC，并分别延长，相交于点P， 则点P为△ABC与△DEF的位似中心， ∴位似中心的坐标是（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 50．（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为　8　 ． 【答案】8． 【分析】由题意易得▱ABCD∽▱AEFG，然后根据相似多边形的性质可进行求解． 【解答】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，它们的相似比为2：3， ∴▱ABCD∽▱AEFG，它们的周长之比也为2：3， ∵▱AEFG的周长为12， ∴▱ABCD的周长为； 故答案为：8． 【点评】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【作业10】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【答案】（1）如图①，点D，E即为所求； （2）如图②，△AMN即为所求． 【分析】（1）分别取AB，BC的中点D，E即可； （2）由位似的性质得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上，进而可得AM：MB＝AN：NC＝2：3．结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图①，点D，E即为所求； （2）如图②，△AMN即为所求． 证明；由题意得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上， ∴AM：AB＝AN：AC＝2：5， ∴AM：MB＝AN：NC＝2：3． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、勾股定理、三角形中位线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业11】（2026春•博白县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1． 【答案】（1）△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣2，3）； （2）△A2B2C2即为所求． 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴对称的点A1，B1，C1的坐标，再顺次连接即可； （2）将点A，B，C的横纵坐标分别乘以﹣2即可得到点A2，B2，C2，再顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣2，3）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【作业12】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】（1）； （2）面积不发生变化，其面积是． 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 【作业13】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为　12　 ． 【答案】（1）如图，点G即为所求； 重心G坐标为（3，3）； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）12． 【分析】（1）确定各边中点，可得中线，即可得解； （2）A、B、C三点坐标扩大两倍即可； （3）利用大长方形面积减去几个小三角形的面积即可得解． 【解答】解：（1）如图，点G即为所求； 重心G坐标为（3，3）； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）△ABC的面积＝4×84×44×22×8＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了位似变换、格点作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业14】（2026•湘桥区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△AB1C1． （2）在线段AB上画一个点M，使． 【答案】（1）如图，△AB1C1，即为所求； （2）如图，取格点E，F，连接EF交AB于点M， 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点E，F，使得，连接EF交AB于点M，利用相似三角形的判定和性质可得． 【解答】解：（1）根据位似的性质作图，如图，△AB1C1，即为所求； （2）取格点E，F，使得，连接EF交AB于点M，如图，取格点E，F，连接EF交AB于点M， ∵BE∥AF， ∴△EBM∽△FAM， ∴，故点M即为所求． 【点评】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 位似多边形【知识精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解位似图形的概念，能识别位似图形及其位似中心。 · 掌握位似图形的性质：对应点连线交于一点，对应边平行（或共线），相似比等于对应点到位似中心距离之比。 · 掌握在坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律。 · 能利用位似变换进行作图（放大或缩小图形）。 · 能运用位似图形解决实际问题（如小孔成像、模型放大等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点① 位似图形的概念 如图，每幅图的两个多边形不仅相似，而且它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，像这样的两个图形是位似图形，这点叫作位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似。 提醒 （1）相似仅要求两个图形的形状完全相同，而位似是在相似的基础上，要求对应顶点的连线相交于一点。 （2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形是具有特殊位置的相似图形。 在图1中， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 在图2、3中，四边形 与四边形 是以点 为位似中心的位似图形， 在图5中，五边形 与五边形 是以点 为位似中心的位似图形，且 提示： （1）位似图形的位似中心只有一个。 （2）利用位似，可以将一个图形放大或缩小。 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧（如图1）；也可能位于位似图形之间（如图5）；还可能位于图形的内部、边上或某一顶点处（如图2、3、4）。 【典型例1】 指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。 解： 图1中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 图2中的两个图形是位似图形，位似中心是点 。 因为图3中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形。 *温馨提示：位似图形是对应顶点交于一点的相似图形。 总结：确定位似中心的方法：至少连接位似图形上的两组对应点，这两组对应点所在直线的交点即为位似中心。 【典型例题2】 如图，，试判断 与 是不是位似图形？ 解：不是位似图形。 ∵ ，且 ， ∴ 。 但对应点 的连线与对应点 的连线不交于点 ， 故 与 不是位似图形。 ☆知识点② 位似图形的性质 1. 位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质。 1. 位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点就是位似中心。 1. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。 1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 【典型例题3】 如图， 是 以点 为位似中心经过位似变换得到的，如果 的周长与 的周长比是 ，那么 。 解析： ∵ 与 位似，且周长比为 ， ∴ 与 的相似比为 ， ∴ 。 答案： 总结：位似图形具有相似图形的所有性质，对应角相等，对应边成比例，对应高的比、中线的比、角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 ☆知识点③ 画位似图形 画位似图形的一般步骤： 1. 定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点。 1. 连线：分别连接位似中心和原图形的关键点。 1. 取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置。 1. 构图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形。 提醒 （1）画位似图形时，要弄清相似比，即分清是原图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比。 （2）以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。 【典型例题4】 四边形 的一个位似图形是四边形 ，且 的对应点分别是 。图中给出了 的对应边 所在的位置，请把四边形 其余部分补画上。 解： （1）连接 ，相交于点 ，则点 为位似中心； （2）作射线 ； （3）分别过点 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ； （4）连接 ，四边形 为所要画的图形（如图所示）。 ☆知识点④ 平面直角坐标系中的位似变换 1. 位似变换中的坐标变化 如图，在平面直角坐标系中有一点 。点 在射线 上，并且 ，那么根据成比例线段的知识， 的坐标为 。同理，如果点 在射线 的反向延长线上，并且 ，那么 的坐标为 。 2. 平面直角坐标系中图形的位似变换 一般地，在平面直角坐标系中有两个 边形，分别记作多边形 和多边形 。如果存在一个非零常数 ，使得对任意 （），点 的横、纵坐标都是点 的横、纵坐标的 倍，那么就称多边形 与多边形 关于原点位似，原点 为位似中心， 为位似比。这时，通常简称这两个多边形位似。 提醒 如果，那么多边形和多边形 位于原点的同侧； 如果 ，那么多边形 和多边形 位于原点 的异侧。 如果多边形 与多边形 位似，并且位似比为 ，那么多边形 与多边形 一定相似，并且相似比为 。 于是，可以利用位似放大（若 ）或缩小（若 ）一个多边形。 特别地，当位似比 时，两个位似形重合；当位似比 时，两个位似形关于原点中心对称。 例 5 如图， 的三个顶点分别是 、、，试以原点 为位似中心，构造 的位似图形，使之与 的相似比为 2。 解： 设与 位似的图形为 与 ，且 与 均与 的相似比为 2，则： 的各顶点坐标分别是 、、； 的各顶点坐标分别是、、。 在平面直角坐标系中描出这两组点，然后顺次连接点 、、 和点 、、（如图所示）。则 和 为所求。 总结：求位似变换后点的坐标或作位似图形时，当位似的两个图形与位似中心的位置不明确时，应分两个图形位于位似中心的同侧和异侧两种情况讨论，避免漏解。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】位似图形的概念和性质（第1–6题） ※方法总结 · 判断位似：对应点连线交于一点，对应边平行。 · 位似比 = 对应边长之比 = 对应点到中心距离之比。 · 面积比 = 位似比的平方。 1．（2024秋•仁寿县期中）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026•景宁县三模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝15，则A′B′的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 3．（2026•琼山区校级三模）如图，△ABC和△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为（0，2），（0，3）．若BC的长为4，则EF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2026•永川区自主招生）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为3：4，则OA：AD的值是（　　） A．3：1 B．2：1 C．3：4 D．9：16 5．（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 6．（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【考点2】画位似图形（第7–15题） ※方法总结 · 确定位似中心，连接各顶点。 · 根据位似比在射线上截取对应点。 · 注意放大与缩小的方向（同侧或异侧）。 7．（2024春•同步）如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2021秋•鹿邑县期末）如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数t，将得到的点先向右平移a个单位，再向上平移b个单位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'． ①a＝　 　 ，b＝　 　 ； ②已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是 　 　 ． 11．（2024春•同步）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB＝2cm，则A′B′＝　 　 cm，并在图中画出位似中心O． 12．（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为　 　 ． 13．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕着点A1按顺时针方向旋转90°得到图形△A2B2C2，写出C2的坐标 　 　 ； （3）以点B为位似中心，在网格内画出△A3BC3，使△A3BC3与△ABC位似，且位似比为2：1． 14．（2026•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍； （2）在图②中，在线段BC上作点D，使得CD＝3BD； （3）在图③中，作△BEF∽△BAC，且相似比为3：4． 15．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 【考点3】位似中心坐标的确定（第16–20题） ※方法总结 · 连接两组对应点，交点即位似中心。 · 利用相似三角形或坐标法求交点坐标。 16．（2023•大连模拟）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5） 17．（2016秋•鄱阳县校级期末）如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 18．（2025•绥化一模）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　 　 ． 19．（2026春•南岗区校级期中）按要求作图． （1）照样子用数对表示图中各点的位置：A（14，5），B（　 　 ，　 　 ），C（　 　 ，　 　 ）； （2）在方格图中画出△ABC按2：1放大后的图形．（所画图形不能与原图形重叠）． 20．（2026•金安区校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△OAB的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△OA1B1，使它与△OAB位似，且相似比为2； （2）请写出点A的对应点A1的坐标　 　 ； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【考点4】以原点为位似中心的位似变换（第21–29题） ※方法总结 · 若点的对应点为（同侧）或（异侧）。 · 先根据对应点坐标求位似比，再求其他对应点坐标。 21．（2026•温州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，原点O为位似中心．已知点A（﹣4，﹣1）的对应点为D（8，2），则点B（﹣3，﹣4）的对应点E的坐标为（　　） A．（﹣6，﹣8） B．（﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（8，6） 22．（2026•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，已知点B（﹣4，﹣2），则点B在第一象限的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣3） 23．（2026•南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心是原点O，点A，B的对应点分别是点A′，B′，点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A′B′的长为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•成都校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB与△COD是以原点O为位似中心的位似图形，若CD＝3AB，点B的坐标为（2，1），则点D的坐标为　 　 ． 25．（2026•京口区二模）如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为　 　 ． 26．（2026•邗江区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），以点O为位似中心，在第三象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1，则点A1的坐标为 　 　 ． 27．（2025秋•达川区期末）△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'． （2）在（1）中，点A'的坐标为 　 　 ． （3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 　 　 ． 28．（2025秋•太平区期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（2，﹣1）． （1）以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1； （2）在（1）的条件下， ①点A的对应点A1的坐标为　 　 ，点B的对应点B1的坐标为　 　 ； ②△OAB边上任意一点D（a，b）的对应点D1的坐标为　 　 ． 29．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 【考点5】位似图形在实际问题中的应用（第30–35题） ※方法总结 · 将实际问题抽象为位似模型。 · 利用位似比 = 对应距离比 = 对应边长比求解。 · 注意单位的统一。 30．（2025秋•邓州市期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB'＝20cm，蜡烛火焰倒立像A'B'＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B．线段AB中点与线段A'B'中点的连线不一定经过点O C．△ABO∽△A'B'O D．蜡烛火焰AB长9cm 31．（2025秋•清水县校级期末）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 32．（2024•柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（　　） A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4） 33．如图，在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形，观测点O为位似中心，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 34．如图所示，电影放映机的原理利用了位似图形的知识，光源O可看作位似中心，幻灯片与屏幕的距离PP'是6m，光源到幻灯片的距离OP是0.5m，幻灯片上的四边形的面积是20cm2，周长是30cm，那么屏幕上的四边形的面积是多少？周长是多少？ 35．（2024秋•浦东新区校级月考）位似图形：如图甲，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点A′、B′、…、P′、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． （1）下列各图，是位似图形的有 　 　 （2）①由（1）可知，位似图形 　 　 相似图形，相似图形 　 　 位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图乙，BC∥ED，下列说法不正确的是 　 　 A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为AE：AD D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 （3）请在图丙中作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形A1B1C1D1，使它与下列矩形ABCD的相似比是． 随堂检测 · 精选练习 练习1：位似中心确定练习2：位似变换求坐标练习3：位似与面积比 练习4：位似作图练习5：位似与相似比 【练习1】（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为　 　 ． 【练习2】（2026•钱塘区二模）如图，在△ABO中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作△ABO的位似图形△CDO．已知点A（﹣1，2）的对应点为C（2，﹣4），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标为　 　 ． 【练习3】（2025秋•如皋市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　 　 ． 【练习4】（2025秋•玄武区期末）如图，在4×3的正方形方格纸中，将△OAB以点O为位似中心，放大后得到△OCD，且O，B，D均为格点，则　 　 ． 【练习5】（2025秋•市南区期末）如图，△ABC在第二象限内，其中点B的坐标是（﹣2，1），以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△A′BC′，使它与△ABC的相似比为2：1．若点C的坐标为（a，b），则其对应点C′的坐标是　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：位似中心识别作业2：位似求坐标作业3：位似与面积比作业4：位似与周长比 作业5：位似求对应点作业6：位似中心与坐标作业7：位似面积比作业8：位似求坐标 作业9：位似中心确定作业10：位似与相似比作业11：位似作图作业12：位似与对称 作业13：位似与面积作业14：位似作图与比例 ❤ 复习建议 理解位似与相似的关系：位似是相似的特殊情况，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。 掌握坐标变换规律：以原点为位似中心时，记住“同号同侧，异号异侧”的口诀。 作图要规范：连接位似中心与各顶点，按位似比截取，保留作图痕迹。 实际应用建模：将实际问题抽象为位似模型，利用位似比求解。 面积比与位似比：牢记面积比等于位似比的平方，周长比等于位似比。 【作业1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【作业2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【作业3】（2026•铜梁区模拟）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△A'B'C′＝4：9，则OA：OA'为（　　） A． B．2：3 C．2：5 D．4：9 【作业4】（2026•舟山模拟）如图，四边形ABCD，A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．已知，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•慈溪市期末）如图，在直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点O．若点B（﹣3，﹣2）的对应点为B1（6，4），则点A（﹣2，1）的对应点A1的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（2，﹣1） 【作业6】（2025秋•泰兴市期末）已知A（﹣4，2），B（﹣2，3），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（2，﹣1），则点B的对应点D的坐标为　 　 ． 【作业7】（2025秋•市中区期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为　 　 ． 【作业8】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　 　 ． 【作业9】（2024秋•青羊区期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若△ABC、△DEF的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 　 　 ． 【作业10】（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为　 　 ． 【作业11】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【作业12】（2026春•博白县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1． 【作业13】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【作业14】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为　 　 ． 【作业15】（2026•湘桥区模拟）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△AB1C1． （2）在线段AB上画一个点M，使． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $