第07讲 成比例的线段（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

学科网 第07讲 成比例的线段（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：线段的比 知识点02：成比例线段 知识点03：比例的五大核心性质 知识点04：黄金分割（教材重点拓展） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：线段的比与比例尺计算 题型02：判断四条线段是否成比例 题型03：比例基本性质互化 题型04：比例中项计算 题型05：合比、等比性质求值 题型06：黄金分割相关计算 题型07：设k法解多比例求值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 【知识点01】线段的比 1. 定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比值，称为线段的比，记作 或 。 2. 核心注意点 计算前必须统一长度单位，单位不统一无法直接求比； 线段长度均为正数，因此线段的比值恒为正数； 线段的比具有顺序性，，前后项不可随意调换。 3. 比例尺 比例尺本质是特殊的线段比，公式：图上距离∶实际距离 = 比例尺，计算核心为统一单位后代入比例运算。 【知识点02】成比例线段 1. 定义 对于四条线段 ，若满足 （即 ），则称这四条线段为成比例线段，简称比例线段。 其中 为比例外项， 为比例内项；成比例线段具有严格顺序，不可随意更改四条线段的排列顺序。 2. 比例中项 若 ，则线段 叫做线段 的比例中项。 核心关系式：； 注意：数的比例中项有正负，线段比例中项为长度，只取正数，即 。 【知识点03】比例的五大核心性质 设 （），五大性质为比例计算核心工具： 1. 基本性质（最常用） ，核心作用：实现比例式与等积式的相互转化。 2. 更比性质 交换内项或外项，比例仍成立：、。 3. 反比性质 比例式分子分母同时颠倒，比例仍成立：。 4. 合比性质 ，适用于比例式中分子、分母出现加减运算的求值场景。 5. 等比性质 若 ，且 ，则 。 适用场景：连等比例求值、已知分子和或分母和求比例值， 易错点：必须保证分母之和不为0。 【知识点04】黄金分割（教材重点拓展） 1. 定义 点 将线段 分为 两段（），若满足 ，则点 为线段 的黄金分割点。 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 2. 黄金比 黄金分割比值：。 重要结论：一条线段有两个黄金分割点，分别靠近线段两端。 3. 黄金三角形 顶角为36°的等腰三角形，腰与底边的比值为黄金比，是典型的黄金图形。 【题型01】线段的比与比例尺计算 【典例1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【答案】2 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 【变式1-3】（2023·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【题型02】判断四条线段是否成比例 【典例2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项符合题意； C、，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，即， 解得：． 故选B． 【题型03】比例基本性质互化 【典例3】（25-26九年级上·上海·期中）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴交叉相乘得， 即选项B正确； 选项A为，与推导结果不符； 选项C和D仅为特例，不一定成立，因此错误， 故选：B． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选C． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 【题型04】比例中项计算 【典例4】已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么___________． 【答案】6 【详解】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，，， ∴， ∴， 故答案为：6 【变式4-1】已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是___________. 【答案】8 【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【题型05】合比、等比性质求值 【典例5】在中，点、分别在边、上，且，则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【答案】（1）3；（2）120． 【解析】（1）由，可得，即，故，； （2）根据比例的等比性，，即，代入求得． 【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用． 【变式5-1】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，．求证：（1）； （2）． 【解析】证明：（1），． 根据比例的合比性质，，． 根据比例的合比性质，，即． 根据比例的合比性质，． 【变式5-2】设线段、、满足，求、、的值． 【答案】． 【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得． 【总结】考查比例的等比性质的应用． 【变式5-3】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【答案】三、四． 【解析】（1）时，根据比例的等比性质，此时一次函数 经过一、三、四象限； （2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限； 综上所述，函数必经过三、四象限． 【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联． 【题型06】黄金分割相关计算 【典例6】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则， ， ， ． 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的黄金分割点，且是较长的部分， ， 设，则， ， 交叉相乘得：，即， 整理得：， 解方程： ， ， ， ． 故选． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 【变式6-3】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米． 【答案】或． 【解析】注意线段的黄金分割点有两个，黄金比为，主持人需走的路程为；另一个比例则为，主持人需走的路程为． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义． 【题型07】设k法解多比例求值 【典例7-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【答案】，， 【详解】解：因为， 所以设，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 【典例7-2】已知、、满足，求的值． 【答案】 【详解】解：设， 则， 所以，，， 所以． 【变式7-1】已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】已知，求(1)的值；(2)若，求、、的值． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 1. 通用解题方法 求值类问题：优先使用设k法，其次运用合比、等比性质； 判断成比例问题：统一单位+排序验证比例关系； 几何证明问题：依托比例基本性质，实现等积式与比例式互推。 2. 重难点复盘 重点：比例基本性质、合比性质、等比性质的熟练应用； 难点：等比性质的取值限制条件、黄金分割的线段计算、几何图形中比例式的推导变形。 3. 知识衔接 本节课的比例变形技巧，是下一节「三角形一边的平行线」线段比例计算的核心工具，熟练掌握可快速解决A字型、8字型几何线段求值问题，是相似三角形学习的前置关键内容。 4. 课堂易错终极提醒 杜绝单位不统一、比例顺序混淆、等比性质忽略分母和为0、线段比例中项取负值四类高频错误。 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海闵行·阶段检测）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故选项D符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海长宁·阶段检测）已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，则，故此选项正确，符合题意； B．，则，故此选项错误，不符合题意； C．，，则，故此选项错误，不符合题意； D．∵， ∴有无数组解，，只是其中一组解，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 【答案】 【详解】解：， 设，则， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵点P是线段黄金分割点，且，， ∴. 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 10．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5 11．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是______厘米． 【答案】 【详解】解：∵线段和的比例中项为， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果的值是，那么的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：. 14．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 15．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【答案】 【详解】解：点是在线段上，且， 点是线段的黄金分割点， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 17．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 【答案】 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 三、解答题 19.，，，求线段、、的第四比例项． 【答案】． 【解析】将单位都转化为，则，根据比例的基本性质，， 可知线段、、的第四比例项． 【总结】成比例线段问题中注意单位的统一． 20.点是线段的黄金分割点，求的值． 【答案】或． 【解析】根据黄金分割点的定义，，即，两边同时除以，可解得=；或，类似的可得=． 【总结】注意线段的黄金分割点有两个． 21．化简：已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设（）， 则， ， ∴． 22.若，求直线经过的象限． 【答案】一、二、三或二、三、四． 【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数 经过一、二、三象限； （2） 时，可得，则，此时一次函数 经过二、三、四象限． 【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联． 23.已知、、是非零实数，且满足,求的值． 【答案】8或． 【解析】设． （1）当时，根据比例的等比性， 此时有， 可得， 代入所求代数式，可得：； （2）当时，可得，，， 代入所求代数式，可得：． 【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论． 24.在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 【详解】（1）解：如图所示： （2）连接，如图： ∵在中，，， ∴， ∵平分交于， ∴， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 25．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 1 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 第07讲 成比例的线段（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：线段的比 知识点02：成比例线段 知识点03：比例的五大核心性质 知识点04：黄金分割（教材重点拓展） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：线段的比与比例尺计算 题型02：判断四条线段是否成比例 题型03：比例基本性质互化 题型04：比例中项计算 题型05：合比、等比性质求值 题型06：黄金分割相关计算 题型07：设k法解多比例求值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 【知识点01】线段的比 1. 定义 在同一长度单位下，两条线段长度的比值，称为线段的比，记作 或 。 2. 核心注意点 计算前必须统一长度单位，单位不统一无法直接求比； 线段长度均为正数，因此线段的比值恒为正数； 线段的比具有顺序性，，前后项不可随意调换。 3. 比例尺 比例尺本质是特殊的线段比，公式：图上距离∶实际距离 = 比例尺，计算核心为统一单位后代入比例运算。 【知识点02】成比例线段 1. 定义 对于四条线段 ，若满足 （即 ），则称这四条线段为成比例线段，简称比例线段。 其中 为比例外项， 为比例内项；成比例线段具有严格顺序，不可随意更改四条线段的排列顺序。 2. 比例中项 若 ，则线段 叫做线段 的比例中项。 核心关系式：； 注意：数的比例中项有正负，线段比例中项为长度，只取正数，即 。 【知识点03】比例的五大核心性质 设 （），五大性质为比例计算核心工具： 1. 基本性质（最常用） ，核心作用：实现比例式与等积式的相互转化。 2. 更比性质 交换内项或外项，比例仍成立：、。 3. 反比性质 比例式分子分母同时颠倒，比例仍成立：。 4. 合比性质 ，适用于比例式中分子、分母出现加减运算的求值场景。 5. 等比性质 若 ，且 ，则 。 适用场景：连等比例求值、已知分子和或分母和求比例值， 易错点：必须保证分母之和不为0。 【知识点04】黄金分割（教材重点拓展） 1. 定义 点 将线段 分为 两段（），若满足 ，则点 为线段 的黄金分割点。 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 2. 黄金比 黄金分割比值：。 重要结论：一条线段有两个黄金分割点，分别靠近线段两端。 3. 黄金三角形 顶角为36°的等腰三角形，腰与底边的比值为黄金比，是典型的黄金图形。 【题型01】线段的比与比例尺计算 【典例1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【变式1-3】（2023·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【题型02】判断四条线段是否成比例 【典例2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【变式2-2】下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【题型03】比例基本性质互化 【典例3】（25-26九年级上·上海·期中）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型04】比例中项计算 【典例4】已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么___________． 【变式4-1】已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是___________. 【变式4-2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【题型05】合比、等比性质求值 【典例5】在中，点、分别在边、上，且，则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【变式5-1】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，．求证：（1）； （2）． 【变式5-2】设线段、、满足，求、、的值． 【变式5-3】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【题型06】黄金分割相关计算 【典例6】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【变式6-3】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米． 【题型07】设k法解多比例求值 【典例7-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【典例7-2】已知、、满足，求的值． 【变式7-1】已知，，求的值． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【变式7-3】已知，求(1)的值；(2)若，求、、的值． 1. 通用解题方法 求值类问题：优先使用设k法，其次运用合比、等比性质； 判断成比例问题：统一单位+排序验证比例关系； 几何证明问题：依托比例基本性质，实现等积式与比例式互推。 2. 重难点复盘 重点：比例基本性质、合比性质、等比性质的熟练应用； 难点：等比性质的取值限制条件、黄金分割的线段计算、几何图形中比例式的推导变形。 3. 知识衔接 本节课的比例变形技巧，是下一节「三角形一边的平行线」线段比例计算的核心工具，熟练掌握可快速解决A字型、8字型几何线段求值问题，是相似三角形学习的前置关键内容。 4. 课堂易错终极提醒 杜绝单位不统一、比例顺序混淆、等比性质忽略分母和为0、线段比例中项取负值四类高频错误。 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海闵行·阶段检测）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海长宁·阶段检测）已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 6．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________． 9．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 10．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么________． 11．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是______厘米． 12．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果的值是，那么的值为______． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么的值是______． 14．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 15．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 16．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 17．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 18．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 三、解答题 19.，，，求线段、、的第四比例项． 20.点是线段的黄金分割点，求的值． 21．化简：已知，求的值． 22.若，求直线经过的象限． 23.已知、、是非零实数，且满足,求的值． 24.在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 25．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $