17.1.1用提取公因式法分解简单的因式-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解概念及提公因式法，通过整数分解类比和跳水比赛打分情境导入，先回顾整式乘法运算，再逆推得到多项式化为整式乘积的形式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过整式乘法与因式分解的逆变形对比培养推理意识（数学思维），设计概念辨析练习和分步例题，帮助学生用数学语言表达数量关系（模型意识），提升运算能力，教师使用可高效落实教学目标，促进学生理解知识内在联系。

17.1.1用提取公因式法分解简单的因式 第十七章 因式分解 1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系，掌握因式分解的概念，体会数学知识的内在含义与价值. 2.能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式，培养学生有条理的思考和运算能力. 3.会利用因式分解进行简便计算，体会因式分解的价值，培养学生创新意识. 4.经历从分解因数到分解因式的类比过程，感受因式分解在解决问题中的作用，培养学生的应用意识. 在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？ 导入新知 情境导入 跳水比赛打分规则 某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？ pa + pb + pc p(a + b + c) = 一个多项式 两个整式的乘积 探究与应用 (1)根据整式的乘法,计算下列结果: ①p(a+b+c)=　　　　　;②x(x+1)=　　　　;  ③(x+1)(x-1)=　　　　;④(x+1)2=　　　　.  活动1　理解因式分解的概念及与整式乘法的关系 观察发现 pa+pb+pc x2+x x2-1 x2+2x+1 (2)请把下列多项式写成整式的乘积的形式: ①pa+pb+pc=　　　　　;②x2+x=　　　　;  ③x2-1=　　　　　　;④x2+2x+1=　　　　.  p(a+b+c) x(x+1) (x+1)(x-1) (x+1)2 活动一：探究因式分解的定义 在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积： 33=3×11 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.如： 42=2×3×7 pa+pb+pc=p(a+b+c). 这表明多项式pa+pb+pc可以写成两个整式的乘积的形式. 活动一：探究因式分解的定义 计算下列各式： (1)xx+1=___________ (2)x+1x1 =___________ (3)x+12=___________ x2+x x21 x2+2x+1 根据等式的性质得： (1) x2+x=___________ (2) x21 =___________ (3)x2+2x+1=___________ xx+1 x+1x1 x+12 比一比，这些式子有什么共同点? 都是多项式化为几个整式乘积的形式. 探究新知 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =___________. 6 =___________. 8 =___________. 30 =___________. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 知识点1 因式分解 （1）x2 + x = __________； （2）x2 – 1 = _____________； （3）x2 + 2x + 1 = __________. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 探 究 想：整式的乘法 x(x + 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)2 像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 整式的乘积 认识概念 因式分解:把一个多项式化成几个　　　　　　的形式,这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.  因式分解和整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的变形,即 pa+pb+pc p(a+b+c). 记 重点 活动一：探究因式分解的定义 因式分解 把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法有什么关系? 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即： 整式的乘法 pa＋pb＋pc 　　　　　　　 p(a＋b＋c) 因式分解 多项式 因式×因式 活动一：探究因式分解的定义 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 ③⑥ 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积. 总结 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). 整式乘法 因数分解 m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 互为 逆变形 观察 15 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 . ① am + bm + c = m(a + b) + c ② 12x2y2 = 3x ·4xy2 ③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) ④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) ⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1 × √ × × × √ ③⑥ 练习 A 理解概念 例 1 (教材补充例题)下列由左边到右边的式子变形,属于因式分解的是(　　) A.ab-a2=a(b-2a) B.x2-4x+1=x(x-4)+1 C.x+1=x(1+) D.(a+b)(a-b)=a2-b2 C (教材补充例题)关于①2a-4=2(a-2)和②6x2y3=2xy·3xy2由左边到右边的式子变形,下列说法中正确的是 (　　) A.①和②都是因式分解 B.①和②都不是因式分解 C.①是因式分解,②不是因式分解 D.①不是因式分解,②是因式分解 例 2 活动二：探究用提公因式法分解因式 观察多项式 pa＋pb＋pc，它的各项有什么特点？ pa pb pc p p p p 公共的因式 它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 公因式 活动二：探究用提公因式法分解因式 你能尝试分解因式 pa＋pb＋pc吗？ 由p(a+b+c)=pa+pb+pc可知，pa+pb+pc=p(a+b+c). 思考：分解后的各因式与原多项式有何关系? pa+pb+pc=p (a+b+c). p 多项式除以公因式所得的商 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 活动二：探究用提公因式法分解因式 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式. (2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解. 下列多项式有什么共同特点？ 相同因式 p 相同因式 x 它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式. 观察 pa + pb + pc p x2 + x x p p x 知识点2 公因式 试一试，将它们写成几个因式的乘积. pa + pb + pc x2 + x = p(a + b + c) = x(x + 1) 怎么得到的？ (pa + pb + pc)÷p (x2 + x)÷x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 知识点3 提公因式法 公共 活动2　了解公因式的概念,能用提公因式法进行因式分解 认识概念 公因式:多项式pa+pb+pc的各项都有一个　　　　的因式p,我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.  问题1　多项式2x+4有哪几项,每项的因式分别是什么?有公因式吗? 问题2　多项式xy2-3xy+y有哪几项,每项的因式分别是什么?有公因式吗? 引发思考 解:多项式2x+4有2x,4两项,2x的因式为2和x,4的因式为2和2,有公因式2. 解:多项式xy2-3xy+y有xy2,-3xy,y三项,xy2的因式为x,y,y,-3xy的因式为-3,x,y,y的因式为1,y,有公因式y. 教材 练习 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么? (1)4a(a+2b)=4a2+8ab； (2)a2-4=(a+2)(a-2)； (3)x2-3x+2=x(x-3)+2. 最后不是积的运算 是整式乘法 教材 练习 2.分解因式: (1)ax-ay； (2)a2-2a； (3)a2+ab； (4)xy-y2+yz. 解：(1) ax-ay = a(x-y) (2)a2-2a= a·a-2·a= a(a-2) (3)a2+ab=a·a+a·b=a(a+b) (4)xy-y2+yz=x·y-y·y+y·z=y(x-y+z) 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ = 2x2 ·1 + 2x2 ·3x = 2x2 (1 + 3x) ①定系数：各项系数的最大公因数； ②定字母：各项的相同字母； ③定指数：相同字母最低次幂. 思考 2 x 2 2x2 + 6x3 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 因式分解 定义 用提公因式法 分解因式 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. $