17.1.1用提取公因式法分解简单的因式 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解基础概念及提取公因式法，通过跳水打分规则、整数分解类比等情境导入，衔接整式乘法与因式分解的逆变形关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“三步法”“四步骤”口诀强化公因式确定，结合基础、易错、拓展题型，培养学生抽象能力与运算能力。通过实例辨析与简便计算，发展数学思维与应用意识，助力学生夯实基础，教师高效教学。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 17.1.1用提取公因式法分解简单的因式 第十七章 因式分解 17.1.1 用提取公因式法分解简单的因式 练习题 一、因式分解基础概念 1. 因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 核心区别（必考）： 整式乘法：积 → 和差（展开） 因式分解：和差 → 积（变形） 2. 公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 3. 找公因式三步法（重中之重） ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母：取各项都含有的相同字母； ③ 指数：取相同字母的最低次幂。 二、提取公因式法法则 1. 公式法则 $$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 方法口诀：找出公因式，剩余部分括号装，逐项对应不重不漏 2. 标准解题四步骤 第一步：观察多项式，准确找出全部公因式； 第二步：用每一项除以公因式，得到剩余因式； 第三步：把公因式写在括号外，剩余部分合并在括号内； 第四步：检查结果，括号内无公因式、无同类项，分解彻底。 三、常见公因式类型 1. 单项式公因式（基础） 例：$$3x^2+6x$$，公因式为$$3x$$，分解结果：$$3x(x+2)$$ 2. 含负号公因式（高频考点） 首项为负时，提取负公因式，括号内各项全部变号。 例：$$-2x^2+4x=-2x(x-2)$$ 3. 整体公因式（进阶） 多项式整体作为公因式，把括号看作一个字母。 例：$$a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$$ 四、重点易错点（扣分重灾区） 1. 漏项错误：某一项全部为公因式时，剩余项为1，不能空着； 2. 符号错误：提取负公因式，括号内每一项必须全部变号； 3. 公因式找不全：系数、字母、指数缺一不可，必须取最大公约、最低次幂； 4. 分解不彻底：括号内若还有公因式，必须继续分解； 5. 混淆运算：因式分解是变乘积形式，不能展开、不能合并。 五、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 多项式$$4a^2-8a$$的公因式是（） A. $$4a$$ B. $$2a$$ C. $$4a^2$$ D. $$a$$ 2. 分解因式$$3x^2+6x$$的结果正确的是（） A.$$3x(x+2)$$ B. $$3(x^2+2x)$$ C. $$x(3x+6)$$ D. $$3x^2(1+2x)$$ 3. 分解因式$$-5x^2+10x$$的结果是（） A. $$-5x(x-2)$$ B. $$-5x(x+2)$$ C. $$5x(x-2)$$ D. $$-5(x^2-2x)$$ 4. 多项式$$x(a-b)+y(a-b)$$的公因式是（） A. x B. y C. $$a-b$$ D. $$a+b$$ 5. 下列因式分解正确的是（） A. $$2x+4=2(x+2)$$ B. $$x^2+x=x^2(1+\dfrac{1}{x})$$ C. $$3a-6=3(a-6)$$ D. $$-2x+4=-2(x+2)$$ 六、填空题（每题4分，共20分） 1. 因式分解是把多项式化成几个________的积的形式。 2. 多项式$$6x^3-9x^2$$的公因式是________。 3. 分解因式：$$5x+10=$$________。 4. 分解因式：$$a^2-ab=$$________。 5. 分解因式：$$m(x-y)-n(x-y)=$$________。 七、解答题（共60分） 1.（15分）分解因式：$$4x^2y-6xy^2$$ 2.（15分）分解因式：$$-3a^2+6a-9$$ 3.（15分）分解因式：$$2a(x+y)-4b(x+y)$$ 4.（15分）简便计算：$$2026\times45+2026\times55$$（利用提取公因式） 八、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. A 解析：系数最大公约数4，相同字母a最低次幂1，公因式为$$4a$$。 2. A 解析：公因式$$3x$$，原式$$=3x(x+2)$$，B、C分解不彻底。 3. A 解析：提取负公因式$$-5x$$，括号内变号，原式$$=-5x(x-2)$$。 4. C 解析：两项均含整体因式$$a-b$$，为整体公因式。 5. A 解析：B出现分式，不是整式积；C应为$$3(a-2)$$；D应为$$-2(x-2)$$。 （二）填空题 1. 整式 2. $$3x^2$$ 3. $$5(x+2)$$ 4. $$a(a-b)$$ 5. $$(x-y)(m-n)$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=2xy(2x-3y)$$ 解析：公因式为$$2xy$$，提取后剩余部分分别为$$2x、-3y$$。 2. 解：原式$$=-3(a^2-2a+3)$$ 解析：首项为负，提取负公因式，括号内各项全部变号。 3. 解：原式$$=2(x+y)(a-2b)$$ 解析：先提取数字公因式2，再提取整体公因式$$x+y$$，分解彻底。 4. 解：原式$$=2026\times(45+55)=2026\times100=202600$$ 解析：逆用提取公因式法，简化大数运算。 九、本节核心总结 1. 提取公因式是因式分解的第一种、也是最基础方法，所有因式分解优先提公因式； 2. 找公因式看：系数最大公约、相同字母、最低次幂； 3. 首项为负必提负号，提负全变号； 4. 分解必须彻底，结果只能是整式乘积形式。 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 会利用因式分解进行简便计算. 在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？ 导入新知 情境导入 跳水比赛打分规则 某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？ pa + pb + pc p(a + b + c) = 一个多项式 两个整式的乘积 探究新知 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =___________. 6 =___________. 8 =___________. 30 =___________. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式. 知识点1 因式分解 （1）x2 + x = __________； （2）x2 – 1 = _____________； （3）x2 + 2x + 1 = __________. 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 探 究 想：整式的乘法 x(x + 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)2 像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). 整式乘法 因数分解 m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 互为 逆变形 观察 7 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 . ① am + bm + c = m(a + b) + c ② 12x2y2 = 3x ·4xy2 ③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) ④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) ⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1 × √ × × × √ ③⑥ 练习 下列多项式有什么共同特点？ 相同因式 p 相同因式 x 它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式. 观察 pa + pb + pc p x2 + x x p p x 知识点2 公因式 试一试，将它们写成几个因式的乘积. pa + pb + pc x2 + x = p(a + b + c) = x(x + 1) 怎么得到的？ (pa + pb + pc)÷p (x2 + x)÷x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 知识点3 提公因式法 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ = 2x2 ·1 + 2x2 ·3x = 2x2 (1 + 3x) ①定系数：各项系数的最大公因数； ②定字母：各项的相同字母； ③定指数：相同字母最低次幂. 思考 2 x 2 2x2 + 6x3 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充. 1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　) A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) B C D 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 4.把下列各式分解因式： (1)m2–3m=　 ；(2)12xyz–9x2y2=_____________； (3)(x+2)x–x–2=___________　； (4) –x3y3–x2y2–xy=_______________； 3xy(4z–3xy) –xy(x2y2+xy+1) (5)(x–y)2+y(y–x)=_____________. (y–x)(2y–x) 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 3a(x–y)2 m(m–3) (x+2)(x–1) 课堂检测 随堂练习 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142; (3)(–2)101+(–2)100. (2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142 =2013×2014 –20142 =2014×(2013–2014) = –2014． 解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100. 课堂检测 随堂练习 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)] =(2x+1)(2x+1–2x+1) =2(2x+1). (1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= . 当x= 时， 能力提升题 原式=2×(2× +1)=4. 课堂检测 随堂练习 15 △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等腰三角形． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0， (a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0， ∴a–c＝0或1＋2b＝0， 即a＝c或b＝–0.5(舍去)， 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 1. 下列各式的变形中，表述正确的是( ) ； . C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回 考试考法 17 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 18 4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式 可以因式分解，则 可以为__________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考试考法 19 5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为 ，那么 的值为( ) B A. B. 1 C. D. 2 【点拨】 ， ，， . ，故选B. 返回 考试考法 20 6.母题教材P125练习 分解因式. （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 考试考法 21 提公因式法分解因式 定义 pa+pb+pc=p(a+b+c) 方法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 第一步找公因式；第二步提公因式 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 课堂小结 $