甘肃平凉市静宁县部分校2025～2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．B 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分． 9．BC 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．36 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）根据题意补全列联表，如下： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （6分） （2）零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关． 根据列联表中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关． （13分） 16．解：（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （7分） （2）联立得． 由题可得， 解得，． （15分） 17．解：（1）证明：因为底面为正方形，平面， 所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （7分） （2）由（1）可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18．解：（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件， 由题意可知：，，，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率为0.75． （5分） （2）由（1）可知：， （i）当时，的可能取值为，，，， 依题意，，，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （9分） 数学期望． （11分） （ⅱ）， （12分） 令，则， 令，解得，可知当时，；令，解得，可知当时，； 令，解得，可知当时，； 于是． 所以当或4时，最大，即或4时，的值最大． （17分） 19．解：（1）当时，，所以， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为：． （5分） （2）， 由，得，由，得， 所以的单调增区间为，单调减区间为． （10分） （3）证明：当时，， 由（2）有的单调增区间为，单调减区间为， 又，所以是的一个零点，不妨设， 所以要证，只需证， 又因为，且在上单调递减， 从而只需证即可， 又， 令， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 即得证． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将试卷和答题卡上各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．设函数，则 A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比，若，，则公比 A． B． C． D． 4．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则 A． B．或 C． D．与相交但不垂直 5．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 6．已知向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 7．直线与圆相交于，两点，则 A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是 A． B． C．当时，取得最小值 D． 10．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则 胸径 树高 A．树高与胸径正相关 B．胸径每增加，树高一定增加 C． D．当胸径时，树高的残差为 11．已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有 A． B．在区间上单调递减 C．的极小值为 D．在上的最大值为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12．若抛物线的焦点坐标为，则________． 13．某项比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有________种． 14．如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，则，两点间的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 50 女生 合计 30 （1）补全列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 附：，其中． α 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 16．（本小题满分15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为的中点． （1）求证：; （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． （ⅰ）当时，求的分布列与数学期望； （ⅱ）当为何值时，的值最大？ 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $