精品解析：甘肃兰州市兰州新区基础教育2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷

基础教育兰州校区2025-2026学年第二学期高二6月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据散点图及相关系数的性质判断可得. 【详解】对四个散点图分析： 对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且； 对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​； 对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于. 因此相关系数最大的是. 2. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合可导函数极值的必要条件，分别验证两个条件的充分性和必要性是否成立即可. 【详解】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立. 必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 3. 如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 5. 甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设事件 ：甲同学去 A 地游玩，设事件 ：甲同学去 B 地游玩， 设事件 ：甲同学去爬山, 根据题意：，，，， 根据全概率公式得, 因此，甲同学爬山的概率为 . 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 7. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出平面的法向量，利用点面距的向量公式可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则; ; 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 得平面的一个法向量为， 设到平面的距离为， 则. 故选：D 8. 已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. （多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（ ） A. 某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B. 某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C. 从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D. 有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 【答案】BCD 【解析】 【分析】二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析. 【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布； 对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布； 对于C:随机变量定义为 “直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画 “首次摸到白球” 的试验次数，并非二项分布要求的 “固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义； 对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布 “独立重复、概率恒定” 的条件，故不服从二项分布． 故选：BCD. 10. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，假设存在实数，使得，则， 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确； 对于D，，解得， 所以，，所以，D正确． 11. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（ ） A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大 B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等 C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利 D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，比较获胜和获胜的概率判断；对于B，分别求得获胜和获胜的概率判断；对于C，分别求得三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率判断；对于D，由前四局甲胜三局和前三局胜2局求解判断. 【详解】对于A，若采用三局两胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故A错误 对于B，若采用五局三胜制，甲以获胜的概率为，甲以获胜的概率为，故B正确 对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为，采用五局三胜制甲胜的概率为， 所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误 对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为，所以D正确． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故. 13. 一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件缩小样本空间，直接计算对应事件的条件概率. 【详解】第一次取出红球为已知条件，该条件成立后， 盒内剩余个红球、个白球，共个等可能抽取的球. 因此，第二次取出白球的概率为. 14. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 所以 16. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列详见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案. （2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列如下： 所以. 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； （2）求X的分布列、期望和方差． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为． 【解析】 【分析】(1)分析摸出3个球得分大于3分的随机事件所包含的基本事件，利用超几何分布的概率公式计算即可； (2)随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式计算X不同的取值对应的概率，列出分布列，代入期望和方差公式计算即可． 【小问1详解】 Y表示取出中白球的个数，事件A表示摸出3个球得分大于3分； 则， 其中，，互斥； 故, ， ， 故； 【小问2详解】 由题意知，，X的取值为：0，1，2，3， ； ； ； ； 故X的分布列： 0 1 2 3 ； ； 故期望为，方差为． 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【小问1详解】 四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． 【小问2详解】 连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【小问1详解】 当时，，， ∴. 【小问2详解】 当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础教育兰州校区2025-2026学年第二学期高二6月份月考 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 3. 如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲同学准备去A、B两地游玩，去A地的概率为，去B地的概率为，在A地去爬山的概率为，在B地去爬山的概率为，则甲同学爬山的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. （多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（ ） A. 某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B. 某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C. 从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D. 有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 10. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 11. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（ ） A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大 B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等 C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利 D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 13. 一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________． 14. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 16. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求既有豆沙粽又有白粽的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 17. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； （2）求X的分布列、期望和方差． 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $