6.3 等比数列 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 以等比数列定义与公式为核心，通过分层题型系统训练方程思想、性质应用及实际建模，凸显数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|南京月考等4题|基本量方程法、奇偶项和关系|定义→通项公式→前n项和公式| |性质应用|昭通正道中学等3题|单调性判断、整数项分析|公式→性质（片段和、单调性）| |实际建模|《算法统宗》等2题|问题抽象为等比数列模型|数学眼光观察现实问题→数学语言表达| |综合证明|南京期中2题|等差等比综合论证、放缩法|概念交叉→逻辑推理→综合应用|

6.3　等 比 数 列 一、 单选题 1 [2025南京月考]已知等比数列{an}的前6项和为63，其中偶数项的和是奇数项的和的两倍，则a1的值为(　　) A. 1 B. 2 C. D. 3 2 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第5天和第6天共走了(　　) A. 24里 B. 6里 C. 18里 D. 12里 3 [2025南京宁海中学一模]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6的值为(　　) A. 7 B. 6 C. 3 D. 2 4 [2025盐城月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝(1－an)(n∈N*)，2＋bn＝3an，且数列{cn}满足cn＝·bn.若集合{n|cn>λ，λ∈R}中有三个元素，则实数λ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 [2026昭通正道中学等校开学考试]在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＝14，2a4＋3a3－2a2＝0，数列的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是(　　) A. {an}是递减数列 B. {an}是递增数列 C. {an}中的项为整数的只有2个 D. Tn的最大值为T4 6 [2026淮安月考]在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和．若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法中正确的是(　　) A. q＝2 B. 数列{lg an}是公差为2的等差数列 C. S8＝510 D. 数列{Sn＋2}是等比数列 7 [2026南京金陵中学月考]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3＋1，a2＝2，则下列说法中正确的是(　　) A. q＝ B. 数列{an}有最小项 C. 数列{an}为递减数列 D. an＋Sn＝8 三、 填空题 8 [2026宜宾一中期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an＝2Sn＋1，则a6＝________． 9 [2026重庆一模]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S21＝________． 10 [2025南通月考]如图，已知正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，以此方法一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于________． 四、 解答题 11 [2025南京期中]已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a1，a4，a13成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若m<n，且，，成等差数列，求出所有的正整数m，n. 12 [2025连云港杨集高级中学模拟]在数列{an}中，a1＝0，对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为k. (1) 判断a4，a5，a6是否成等比数列？并说明理由； (2) 求证：a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列； (3) 设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<3. 6．3　等 比 数 列 1. A　解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意，得＝＝q＝2.又S6＝＝a1×＝63，解得a1＝1. 2. C　解析：设每天所走的路程为{an}. 由题意，得{an}的公比为，前6项和为378，所以＝378，解得a1＝3×26，所以an＝3×27-n，所以a5＋a6＝3×(4＋2)＝18. 3. C　解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意，得S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝168，a2－a5＝a1q(1－q3)＝a1q(1－q)(1＋q＋q2)＝42，所以q(1－q)＝，即4q2－4q＋1＝0，解得q＝，则a1＝168×＝96，故a6＝a1·q5＝96×＝3. 4. A　解析：由题意，得Sn＝(1－an)＝－an，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，所以an＝an－1；当n＝1时，S1＝－a1＝a1，解得a1＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝(n∈N*).又2＋bn＝3logan，所以bn＝3logan－2＝3log－2＝3n－2，所以cn＝·bn＝×(3n－2)，则cn＋1－cn＝(3n＋1)×－(3n－2)×＝，当n＝1时，c1＝×(3×1－2)＝；当n≥2时，cn＋1－cn<0，即c2>c3>c4>…>cn.又c2＝×(3×2－2)＝1，c3＝×(3×3－2)＝，c4＝×(3×4－2)＝，c5＝×(3×5－2)＝，所以数列{cn}中的项从大到小排列为1，，，，，….因为集合{n|cn>λ，λ∈R}中有三个元素，所以≤λ<. 5. ACD　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0).由2a4＋3a3－2a2＝0，得2a2q2＋3a2q－2a2＝0，即2q2＋3q－2＝0，解得q＝或q＝－2(舍去).因为a1＝14，所以an＝14×，故A正确，B错误；因为an＝14×，所以a1＝14，a2＝7，a3＝，a4＝>1，a5＝<1，当n≥6时，an＜1，所以当n≥3时，an不为整数，故C正确；因为q＝，且a4＝>1，a5＝<1，所以T4最大，故D正确．故选ACD. 6. ACD　解析：由题意，得解得或因为等比数列{an}的公比q为整数，所以所以等比数列{an}的通项公式为an＝2×2n-1＝2n，故A正确；因为lg an＝lg 2n＝n lg 2，所以lg a1＝lg 2，且当n≥2时，lg an－lg an－1＝n lg 2－(n－1)·lg 2＝lg 2，所以数列{lg an}是首项为lg 2，公差为lg 2的等差数列，故B错误；因为a1＝2，q＝2，所以Sn＝＝2n+1－2，所以S8＝29－2＝510，故C正确；易得Sn＋2＝2n+1，所以S1＋2＝4，且当n≥2时，＝＝2，所以数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故D正确．故选ACD. 7. ACD　解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).对于A，由题意，得解得或(舍去)，故A正确；对于B，C，an＝4×＝23-n，所以数列{an}为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；对于D，Sn＝＝8－23-n，所以an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确．故选ACD. 8. 243　解析：对于3an＝2Sn＋1①，当n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1，所以a1＝1；当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋1②，由①－②，得3an－3an－1＝2(Sn－Sn－1)＝2an，所以an＝3an－1，即＝3，所以数列{an}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以a6＝1×35＝243. 9. 381　解析：由题意，得S3＝a1＋a2＋a3＝3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝6，所以＝2.易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12，S18－S15，S21－S18成等比数列，且该等比数列的首项为3，公比为2，所以S21＝S3＋S6－S3＋…＋S21－S18＝＝381. 10. 50　解析：记第n个正方形的面积为Sn，第n个正方形的边长为an，则第n个正方形的对角线长为an，所以第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an，所以＝，所以数列{an}是首项为a1＝5，公比为的等比数列，所以an＝5×，所以Sn＝a＝25×，所以＝＝，所以数列{Sn}是首项为S1＝25，公比为的等比数列，所以S1＋S2＋…＋Sn＝＝50×，所以若这个作图过程一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于50. 11. (1) 设等差数列{an}的公差为d，d≠0. 因为S5＝5a1＋d＝35，所以a1＋2d＝7. 又a1，a4，a13成等比数列，所以a＝a1·a13， 即(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，即9d2＝6a1d. 因为d≠0，所以3d＝2a1， 所以a1＝3，d＝2， 所以an＝2n＋1. (2) 方法一：由题意，得＝＋， 则＝＋， 整理，得2m＋1＝＝6－. 因为m<n，且m，n∈N*，所以m＝2，n＝7. 方法二：由题意，得＝＋， 所以＝＋>， 所以m<. 又m∈N*，所以m＝1或m＝2. 当m＝1时，n＝1，与m<n矛盾，故舍去； 当m＝2时，n＝7，符合题意． 综上，m＝2，n＝7. 12. (1) a4，a5，a6成等比数列，理由如下： 当k＝1时，a1，a2，a3成公差为1的等差数列， 则a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋1＝2； 当k＝2时，a3，a4，a5成公差为2的等差数列， 则a4＝a3＋2＝4，a5＝a4＋2＝6； 当k＝3时，a5，a6，a7成公差为3的等差数列， 则a6＝a5＋3＝9. 因为＝＝，＝＝，所以＝， 故a4，a5，a6成等比数列． (2) 因为a2k－1，a2k，a2k＋1成公差为k的等差数列， 所以a2k＋1－a2k－1＝2k， 可得a3－a1＝2×1，a5－a3＝2×2，a7－a5＝2×3，…，a2k－1－a2k－3＝2(k－1)， 累加，得(a3－a1)＋(a5－a3)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2[1＋2＋3＋…＋(k－1)]＝k(k－1)， 所以a2k－1＝k(k－1)＋a1＝k(k－1). 因为a2k－1，a2k，a2k＋1成公差为k的等差数列， 所以a2k＝a2k－1＋k＝k(k－1)＋k＝k2， a2k＋1＝a2k＋k＝k2＋k＝k(k＋1). 又因为a2k＋1，a2k＋2，a2k＋3成公差为k＋1的等差数列， 所以a2k＋2＝a2k＋1＋(k＋1)＝k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)2， 所以＝， 故a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列． (3) 由(2)，可得当n为奇数时，an＝； 当n为偶数时，an＝， 所以当n为奇数时，bn＝<＝2； 当n为偶数时，bn＝＝2， 所以对一切正整数n，有0<bn≤2， 所以Sn≥b1＝1. 当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn <2[＋＋＋＋＋…＋＋] ＝2(1＋－－)＝3－2<3. 综上，1≤Sn<3. 学科网（北京）股份有限公司 $