第25章 一元二次方程 数学活动&小结-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

数学活动 活动1探究方程有公共解的条件 已知abc≠0，下列方程： ax2+bx+c=0, ① bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0. 恰有一个公共解 ->a+b+c-0. 给出4，b,c满足的条件，并求出方程①②③的解. 活动2 神奇的线段分割 可以，此时三条线段中最长的线 段等于原线段的一半， 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧.你能把任意一条线段分成两两 不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？ 李明：这简单，你来试试这个.还是把一条线段分成两两不等的三条 线段，如果三条线段的长度分别为a,b,c,且a>b>c,你能找到合适的 a6G,使a=b+c和1+1-1同时成立吗？ a b c 王芳：这可能吗？ 可以，a=3+5 ,b=1+ 2 -C 2 李明：当然，不过要费一番脑筋. c(c>0)】 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出 李明提出的问题中线段的两个分点 、作图略 第二十五章一元二次方程 27 小结 一、本章知识结构图 设未知数，列方程 元二次方程 实际问题 ax2+bx+C=0 图中的箭头表 示配方法是公 配方法 降 式法的基础， 由配方法可以 公式法 次 解方程 得出公式法 因式分解法 检验 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 实际问题的答案 -b±Vb2-4ac x= 2a 二、回顾与思考 本章主要内容是一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系以及运 用一元二次方程解决实际问题： 一元二次方程是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程.解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等 方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.配方法就是通 过配方，把一元二次方程转化为(x+)2=p的形式，根据平方根的意义求 解；一元二次方程的求根公式，是通过对方程ax2+bx+c=0配方后得到 k+-仁C森得的，者一元三次方程a心+x+c=0的左边能分爵 为两个一次因式的乘积，则可通过令每个因式为0来解.通过解一元二次 方程，可以提升我们的运算能力、推理能力.一元二次方程的根可由其系 数表示，通过求根公式或分解因式，可以得到其根与系数的关系. 在配方法、公式法、因式分解法这三种一元二次方程的解法中，配方 法是推导一元二次方程求根公式的工具.掌握了公式法，就可以直接用公 式求一元二次方程的根.解具体的方程时，需要根据方程的特点选择适当 的解法.配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函 数时也要用到它，>配方法是解决“二次问题”的通性通法 28教材笔记数学九年级上册RJ )一元二次方程模型的现实意义 一元二次方程是刻画某些现实世界问题中的等量关系的有效数学模型. 在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体会建立 数学模型解决实际问题的思想和方法，增强模型观念 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧. 1.比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数.你能 写出这些方程的一般形式吗？ 2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说 说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？ 3.求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况？ 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x,x2与系数a,b,c有什么关 系？我们是如何得到这种关系的？ 5.你能举例说明运用一元二次方程解决实际问题的过程吗？ 复习题250 11）g8(2)3对6 复习巩固 1.解下列方程：（3)x= 7+W53 (4)x=-3+V3 --3-V33 2 ，X2= 7 (1)64x2-1=0; (2)4x2+12x+9=81; (3)x2-7x-1=0; (4)20+3x=3(6)=2w2 5 （5）x1=6,x2=-4. (5)x2-2x+1=25; (7)x=-1+5,（6)x(2x-5)=4x-10: (8)= (7)x2+5x+7=3x+11-1-5 （8)1-4x+16x2=2-4x. 、1 2.两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.2.这两个数分别是6.5,1.5 3.一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为4，求两条对角线的长 3.两条对角线的长分别是2,4 4.求下列方程两个根，2的和与积： 7 (1)x2-5x-10=0x10. 4.（1)x1+x2=5, (2)2x2+7x+1=0; （2）)x1+x2= (3)3x2-1=2x+5(3)x1+x2= 行-2.（4)x(x-1)=3x+7. 1 （4)x1+x2=4,x1x2=-7 x22 综合运用 ->4=8k+9 5.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k为何值时，方程有两个不相 等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？ k>-94 8 第二十五章一元二次方程 29 6.一个直角梯形的下底比上底长2cm,高比上底短1cm,面积是8cm2.画出这 个梯形.6.略，提示：梯形的上底、下底、高分别为3cm,5cm,2cm 7.一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5cm,表面积为40cm2.画出这个长方 体的展开图.7.略.提示：长方体的长、宽分别为2.5cm,1cm 8.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少 支球队参加比赛？8.应邀请6支球队参加比赛 9.如图，在一面墙（墙的长度不限)边，怎样用20m长的 篱笆围成一个面积为48m2的矩形菜园？ 9.当垂直于墙和平行于墙的篱笆长分别为4m,12m或6m,8m时， 可以围成满足条件的矩形菜园 (第9题) 10.某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由1.75%降至1.50%，平均每 次降息的百分率是多少（结果写成a%的形式，其中α保留小数点后两位）？ 10.平均每次降息约7.42%. 11.绿水村2020年的人均收入为18000元，2022年的人均收入为21000元.求 人均收入的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位). 11.人均收入的年平均增长率约为8.01%. 拓广探索 12.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图， 00 oo 其问题如下：今有圭垛一堆.上一束，底宽八束.问共几束 0000 00O00 o0oooO (1)你能解决这个问题吗？12.（(1)共有1+2+3+…+7+8=36（束） 00000oO o0000oo （2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束… （第12题) 你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：1+2+ 3++(n-2)+(n-1+n=2nn+1.)(2)根据通意，将n(n+1)=30, 解得n1=24,n2=-25（舍去).因此，从上往下数前24行的束数的和是300 13.一个小球以5/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？13.(1)三ms (2)小球滚动5m用了多少秒（结果保留小数点后一位）？ (提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的 算术平均数)与路程l,时间t的关系为1=t.)d 速度的平均变化量= 初速度一末速度 时间 (2)没小球滚动5m用了t8.根据题意，得，(5+5-=5，解得4-2V2,=4+22(会 去)，即t=4-2√2≈1.2.因此，小球滚动5m大约用了1.2s 30教材笔记数学九年级上册RJ