第25章一元二次方程（单元复习课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识结构框架将实际问题解决流程与考点分类串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点精讲-典例专练-反馈练习”分层模式，如通过充电桩组网、流感传播等实际问题培养模型意识，根的判别式应用训练运算能力，回顾反思促进数学思维。这种设计让学生巩固知识，教师精准把握学情。

单元复习 人教版(新教材) 九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 实际问题 配方法 实际问题的答案 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的根 公式法 因式分解法 设未知数，列方程 解方程 检验 降次 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 一元二次方程的基本概念 3.项数和系数：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 5.一元二次方程的根： 使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 将一元二次方程 化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3， –2， –1 B．3， –2，1 C．3，2，1 D．3，2， –1 解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得 ， 二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为 –1． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 若关于x的一元二次方程 有一个根为 –3，则m的值为________． 解：把 代入方程 得： 解得m=3. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 将一元二次方程 化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 解：将一元二次方程 移项整理为一般形式，得 ∴该方程的二次项系数为1，一次项系数为 –3 ，常数项为 –6． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2＝n(n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n) ＝0 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 解一元二次方程的方法 根的判别式、根与系数的关系 (1)根的判别式：Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根； 当Δ≥0时，方程有实数根． (2)根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 用适当的方法解下列方程： (1) x2＝3；　　　 (2) x2－4x－5＝0. (1) 解：x2＝9， ∴x＝±3. (2)解：(x－5)(x＋1)＝0， x－5＝0，或x＋1＝0， ∴x1＝5，x2＝－1. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (3)解：∵a＝1，b＝－1，c＝－3， ∴Δ＝(－1)2－4×(－3)×1＝1＋12＝13. ∴x＝＝±. ∴x1＝，x2＝. (4)解：3x(x－4)－(x－4)＝0， (x－4)(3x－1)＝0， x－4＝0，或3x－1＝0， ∴x1＝4，x2＝. 用适当的方法解下列方程： (3) x2－x－3＝0；　　 (4)3x(x－4)＝x－4. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 已知关于x的方程x2＋ax＋a－5＝0. (1)若方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根． 解：(1)把x＝3代入方程，得32＋3a＋a－5＝0， 解得a＝－1. ∴方程为x2－x－6＝0， 解得x1＝3，x2＝－2. 即方程的另一个根是－2. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 已知关于x的方程x2＋ax＋a－5＝0. (2)求证：无论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)证明：∵Δ＝a2－4(a－5)＝a2－4a＋20 ＝a2－4a＋4＋16 ＝(a－2)2＋16>0， ∴无论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A． B． C． D． 解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 其中a=1,b=3,c=m， ∴ ， 化简得 ， 解得 ． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 已知x1,x2分别是关于x的方程 的两个根，且满足 ， 则k的值为______． 解：∵x1,x2分别是关于x的方程 的两个根， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 (1)解：移项，得 配方，得 整理，得 开方，得 因此 ， 用适当的方法解下列方程： (1) x2－6x－1＝0；　　　 (2) 2x2+x－1＝0. (2)解： ∴ 或 解得 ， ． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k－1＝0有实数根． (1)求k的取值范围；(2)若此方程的两实数根x1，x2满足＝10，求k的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(－4)2－4(k－1)≥0， 解得k≤5. (2)由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝k－1. ＝10， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝42－2(k－1)＝10， 解得k＝4. 满足条件k≤5，故k的值是4. 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 增长率问题 病毒传播问题 几何问题 销售问题 循环赛问题 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 解：设原规划建设的充电桩个数为n， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为 ， 又∵ 其余(n－1)个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程： ， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长10m、宽8m的矩形劳动实践基地ABCD扩建为矩形AEFG，使其总面积达到110m2．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1:2（即DG:BE=1:2）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (1)解：设DG=x m，由DG:BE=1:2得BE=2x m， 扩建后矩形AEFG的长为(10+x)m，宽为(8+2x)m， 根据总面积列方程： ， 整理得： ， 解得： ， （长度不能为负，舍去）， 因此长增加了1m，宽增加了1m； 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为1m的十字形小路， 剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． (2)解：由(1)得，扩建后矩形的长为11m，宽为10m， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度1m， 因此试验园地面积为： (11－1)×(10－1)=10×9=90m2． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 解：∵初始患病人数为1，∴第一轮传染后，患病人数为1+x, ∴第二轮传染时，有1+x人，每人传染x人，∴ 新传染人数为 ， ∴第二轮后总患病人数为 ， 又∵ 两轮后共有16人患流感，∴ ，故选：A 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了10%．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长30%，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为x．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 解:由题意，今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为x， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程 ． 详解 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 针对练习 详解 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． (1)解：根据题意可得，该商品每日的销售量为 ； (2)解：根据题意可得， ， 解得 ， （舍去）． 答：该商品的售价为20元． 25 《一元二次方程》单元复习 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数.你能写出这些方程的一般形式吗？ 一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗? 求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况? 一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1，x2与系数a,b,c有什么关系？我们是如何得到这种关系的? 你能举例说明运用一元二次方程解决实际向题的过程吗? 25 《一元二次方程》单元复习 $