第三单元 数与运算的再认识（知识梳理+典型例题+综合训练）六年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

该小学数学讲义以“计数单位”为核心构建数与运算知识体系，通过知识框架图整合整数、小数、分数的意义、性质及运算规律，清晰呈现数的组成、大小比较与运算一致性的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于典型例题与综合训练的梯度设计，结合游泳成绩、湖面海拔等实际情境，通过计数单位分析、运算关系推理等题型培养运算能力与应用意识。基础题巩固概念，拓展题提升思维，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可明确重难点。

第三单元 数与运算的再认识 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、数的意义与计数单位 1 二、分数与小数的基本性质 2 三、整数、分数、小数大小比较 2 四、四则运算的意义 3 五、数的运算的一致性 3 典型例题 3 【考点一】数的计数单位与数的组成 3 【考点二】分数和小数的性质 5 【考点三】比较整数、小数或分数的大小 7 【考点四】加减法运算的一致性 8 【考点五】乘除法运算的一致性 10 【考点六】数的运算一致性和简便运算 11 综合训练 15 一、数的意义与计数单位 计数单位是数的核心组成基础，整数、小数、分数虽然表现形式不同，但本质上都是“对应计数单位的累加”，这是数的概念的核心一致性。 1、‌整数的计数单位‌：从低到高依次为一（个）、十、百、千、万……每相邻两个计数单位之间的进率都是10，遵循十进制计数法。 2、‌小数的计数单位‌：小数是十进制分数的另一种书写形式，计数单位为十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……相邻计数单位进率同样为10，和整数计数规则完全统一。 3、‌分数的计数单位‌：把单位“1”平均分成若干份，其中1份的数就是这个分数的分数单位，也就是分数的计数单位。分母决定分数单位的大小，分子表示包含该计数单位的个数。 二、分数与小数的基本性质 两类性质底层逻辑完全互通，是后续约分、通分、小数改写等操作的核心依据： 1、‌分数的基本性质‌：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小保持不变。 核心应用：约分，将分数化简为分子分母更小的最简分数；通分，把异分母分数转化为同分母分数，统一分数单位方便后续计算。 注意要点：分数大小不变的前提下，分子分母同时乘几，分数单位会变小；同时除以几，分数单位会变大。 2、‌小数的基本性质‌：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 核心应用：化简小数，去掉小数末尾多余的0；改写小数，根据需求把小数调整为指定计数单位的数。 注意要点：小数大小不变的前提下，末尾添0会让计数单位变小，末尾去0会让计数单位变大。 三、整数、分数、小数大小比较 1、统一本质比较数的大小，本质是比较相同计数单位下计数单位的个数；分数、小数比较均可转化为整数比较。 2、分类型比较规则 （1）整数大小比较①位数多的数更大；②位数相同时，从最高位依次对比相同数位数字（相同计数单位个数）。 （2）小数大小比较先比整数部分，整数部分相同再依次比较十分位、百分位…...，核心是对齐小数点，统一计数单位。 （3）分数大小比较 ①同分母：直接比较分子（分数单位相同，比个数）； ②同分子：分母越小，分数单位越大，分数值越大； ③异分母：先通分转化为相同分数单位，再比较分子。 四、四则运算的意义 1、‌加减运算关系‌：加法是将两个数合并成一个数的基础运算，减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，减法是加法的逆运算。 2、‌乘除运算关系‌：整数乘法是求几个相同加数和的简便运算，拓展到分数场景后，一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少；除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，除法是乘法的逆运算。 五、数的运算的一致性 整数、小数、分数的运算规则看似差异很大，底层逻辑完全统一，全部围绕“计数单位”展开： ‌加减法的一致性‌：整数加减法要求数位对齐，小数加减法要求小数点对齐，异分母分数加减法要求先通分，所有操作的核心目的都是统一相同的计数单位，再直接对相同计数单位的个数进行加减运算。 ‌乘除法的一致性‌：整数、小数、分数的乘除运算，本质上都是先对计数单位本身进行乘除操作，再对计数单位对应的“个数”进行乘除操作，最终组合得到运算结果。 【考点一】数的计数单位与数的组成 【典型例题1】在2025年东莞青少年游泳锦标赛中，某选手以329.52秒的成绩获得冠军。整数部分的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）；小数部分的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）。 【答案】十 十 百分 //百分之一 【分析】整数部分的“2”在十位上，表示2个十；根据小数数位顺序表，小数点右边第一位是十分位，计数单位是0.1，第二位是百分位，计数单位是0.01，第三位是千分位，计数单位是0.001；据此解答即可。 【解答】在2025年东莞青少年游泳锦标赛中，某选手以329.52秒的成绩获得冠军。整数部分的“2”在十位上，表示2个十；小数部分的“2”在百分位上，表示2个0.01。 【典型例题2】抚仙湖是中国第二深的淡水湖，湖面海拔高度是1722.50米。横线上的小数读作（ ）米，这个小数的计数单位是（ ），从左边数起第2个“2”表示2个（ ）。 【答案】一千七百二十二点五零 0.01 一 【分析】根据小数读法，整数部分按照整数的读法来读，如果整数部分是0，需要读作“零”，小数点，读作“点”，小数部分，从左往右依次读出每一位上的数字，即使是连续的零也要依次读出来。 由数位表可知小数点后边的第一位是十分位，十分位的计数单位是（或0.1），第二位是百分位，百分位的计数单位是（或0.01），一个小数最后一位是十分位，计数单位就是；最后一位是百分位，计数单位就是；从左边数起第2个“2”在个位，表示2个一，据此解答即可。 【解答】1722.50读作一千七百二十二点五零米，这个小数的计数单位是0.01，从左边数起第2个“2”表示2个一。 【典型例题3】数位之趣！65605632是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，读作（ ），从右往左数，第一个“5”表示（ ），第二个“5”表示（ ）。 【答案】八 千万 六千五百六十万五千六百三十二 5个千 5个百万 【分析】一个数，从右起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位，第六位是十万位，第七位是百万位，第八位是千万位……计数单位分别是一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万……整数的读法是从高位到低位，一级一级地读，读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个亿或万字，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零。 【解答】65605632是一个八位数，最高位是千万位，读作六千五百六十万五千六百三十二，从右往左数，第一个5表示5个千，第二个5表示5个百万。 【典型例题4】在60.08这个数中，“6”的计数单位是_________，“8”的计数单位是_________；的分数单位是_________，它有_________个这样的分数单位。 【答案】十 百分之一/0.01 7 【分析】个（一）、十、百、千、万……都是计数单位。 一位小数计数单位是0.1，也就是十分之一；两位小数计数单位是0.01，也就是百分之一；三位小数计数单位是0.001，也就是千分之一，……，以此类推； 分母是几，分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位。 【解答】在60.08这个数中，“6”的计数单位是十，“8”的计数单位是0.01。 的分数单位是，它有7个这样的分数单位。 【考点二】分数和小数的性质 【典型例题1】5．由8个十、5个十分之一和6个百分之一组成的数是（ ），不改变这个数的大小，写成三位小数是（ ）。 【答案】80.56 80.560 【分析】小数的写法：整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，再顺次写出小数部分每一个数位上的数字。 小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。据此解答。 【解答】由题意得，一个小数由8个十、5个十分之一和6个百分之一组成，这个小数的十位上是8，十分位上是5，百分位上是6，其他数位上是0，这个小数是80.56。由小数的基本性质可知：80.56＝80.560。所以不改变这个数的大小，写成三位小数是80.560。 【典型例题2】（    ）（    ）（填小数）。 【答案】21；63；32；0.875 【分析】已知分数作为基准，利用分数的基本性质（分子和分母同时乘或除以相同的数，0除外，分数的大小不变）推导其他分数，利用分数与除法的关系（分子相当于被除数，分母相当于除数）推导除法算式，利用分子除以分母的方法化成小数。 【解答】 【典型例题3】4÷5＝＝12÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 【答案】；15；16；0.8 【分析】根据分数与除法的关系4÷5＝，根据商不变的规律：被除数4乘3，除数5也乘3，就是12÷15；根据分数的基本性质：的分子、分母同时乘4就是；分数化小数，直接用分子÷分母。 【解答】4÷5＝ 4÷5 ＝（4×3）÷（5×3） ＝12÷15 ＝＝ 4÷5＝0.8 所以4÷5＝＝12÷15＝＝0.8。 【典型例题4】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，如果它的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应（ ）。 【答案】 6 加上26/乘3 【分析】①因为分数单位的定义是把单位“1”平均分成若干份取其中1份的数，所以分母是几分数单位就是几分之一； ②因为分数的分子是几就表示有几个对应的分数单位； ③如果分子加上12，先计算变化后的分子是原分子的几倍，再根据分数的基本性质，要使分数大小不变，那么分母也要扩大到原来的相同倍数，或者计算出扩大后的分母与原分母的差值，得到分母应加的数。 【解答】 3×13－13 ＝39－13 ＝26 即的分数单位是，它有6个这样的分数单位，如果它的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上26或乘3。 【考点三】比较整数、小数或分数的大小 【典型例题1】比较大小。 （ ）    （ ）    （ ） 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】（1）把整数2转化为分母是7的分数，再和比较分子大小。 （2）把分数转化为小数，再和0.65直接比较小数大小。 （3）把进行约分，再和对比。 【解答】（1）2＝，＞，所以2＞。 （2）＝5÷8＝0.625，0.625＜0.65，所以＜0.65。 （3）＝＝，所以＝。 【典型例题2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）1.125        1.66（ ）        0.1（ ） 【答案】＝ ＜ ＞ 【分析】分数与小数比较大小，可以先把分数化成小数，再按小数比较大小的方法进行比较。分数化小数，用分数的分子除以分母。 【解答】与1.125 因为，所以。 1.66与 因为，，所以。 0.1与 因为，，所以。 【典型例题3】如表是三个同学玩投篮游戏的情况，（ ）投得准。 姓名 李明 张龙 王聪 投进个数占各自投球总个数的几分之几 【答案】李明 【分析】再根据异分母分数比较大小的方法：通分，化成分母相同的分数，再按照同分母分数比较大小的方法，比较三个同学投进个数占各自投球总个数的分率，谁大，谁投得最准。 【解答】＝；＝；＝ ＞＞，即＞＞，李明投得准。 【典型例题4】在下面括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.40（ ）8.4      9.02（ ）8.99           630000（ ）0.63亿         500万（ ）0.49亿 【答案】＝ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 （2）小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 （3）先把0.63亿改写成不带单位的整数，再与630000比较大小，位数多的数较大。 （4）先把500万、0.49亿改写成不带单位的整数，再比较大小，位数多的数较大。 【解答】（1）根据小数的性质可知，8.40＝8.4； （2）整数部分9＞8，所以9.02＞8.99； （3）0.63亿＝63000000，630000＜63000000，所以630000＜0.63亿； （4）500万＝5000000，0.49亿＝49000000，5000000＜49000000，所以500万＜0.49亿。 【考点四】加减法运算的一致性 【典型例题1】根据543－186＝357，直接写出下面两道题的得数。 186＋357＝（ ）                        543－357＝（ ） 【答案】543 186 【分析】根据减法算式“被减数－减数＝差”，可以推导出“减数＋差＝被减数”和“被减数－差＝减数”。利用这两个关系式，可以直接根据已知的减法算式写出相应的加法和减法算式的得数。 【解答】已知543−186＝357，在这个减法算式中，543是被减数，186是减数，357是差。根据加减法各部分间的关系：因为减数＋差＝被减数，所以186＋357＝543；因为被减数－差＝减数，所以543−357＝186。 【典型例题2】丽丽在做一道减法数学题时，把被减数850错看成580，减数没有看错，算出的结果是390，正确的结果是（ ）。 【答案】660 【分析】被减数－减数＝差，要求减数，则用错误的被减数－错误的差计算；进而计算出正确的结果。 【解答】减数：580－390＝190； 正确的结果：850－190＝660。 【典型例题3】明明同学在计算一道分数减法时，把减错写成了加，结果得，那正确结果应该是（ ）。 【答案】 【分析】读题可知，明明将一个数－，错算成了一个数＋＝，根据和－加数＝另一个加数，算出这个数，再用这个数减去，即可计算出正确结果。 【解答】－ ＝－ ＝ － ＝－ ＝ 因此，正确结果应该是。 【典型例题4】乐乐在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成了1，把另一个加数百位上的2错写成了3，所得的和是2024，正确的结果是多少？ 【答案】1930 【分析】乐乐在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成了1，就少加了7－1＝6；把另一个加数百位上的2错写成了3，就多加了300－200＝100；用所得的和2024加上少加的6，再减去多加的100，就得到正确的和。 【解答】7－1＝6 300－200＝100 2024＋6－100＝1930 答：正确的结果是1930。 【考点五】乘除法运算的一致性 【典型例题1】根据532－179＝353，81×25＝2025，直接写出这两个算式的得数。 353＋179＝（ ）    532－353＝（ ）  2025÷25＝（ ） 【答案】532 179 81 【分析】根据减法各部分之间的关系：差＋减数＝被减数，被减数－差＝减数； 乘法各部分的关系：积÷一个乘数＝另一个乘数，据此填空即可。 【解答】因为532－179＝353， 所以353＋179＝532，532－353＝179； 因为81×25＝2025， 所以2025÷25＝81。 【典型例题2】根据728÷26＝28，写一道乘法算式是（ ），写一道除法算式是（ ）。 【答案】26×28＝728 728÷28＝26 【分析】根据乘、除法各部分的关系，乘法和除法互为逆运算，被除数÷除数＝商，由此可得：除数×商＝被除数，被除数÷商＝除数，据此写出两个算式。 【解答】根据728÷26＝28可得：26×28＝728，728÷28＝26。 【典型例题3】两个数相乘，如果第一个因数增加14，第二个因数不变，那么积增加70；如果第一个因数不变，第2个因数增加14，那么积增加532，原来的积是多少？ 【答案】190 【分析】第一个因数增加14，第二个因数不变，就是增加了14个第二个因数，用第一个因数增加的积除以第一个因数增加的数，据此可求出第二个因数；第一个因数不变，第二个因数增加14，就是增加了14个第一个因数，用第二个因数增加的积除以第二个因数增加的数，据此可求出第一个因数，然后将两个因数相乘，据此计算可解此题。 【解答】第二个因数：70÷14＝5 第一个因数：532÷14＝38 原来的积：38×5＝190 答：原来的积是190。 【典型例题4】小马虎在计算一个数乘0.25时，把0.25错看成了2.5，算出的积是160，正确的积应该是（ ）。 【答案】16 【分析】读题可知，一个数×0.25算成了一个数×2.5＝160，根据积÷因数＝另一个因数，计算出这个数，再用这个数×0.25即可。 【解答】160÷2.5＝64 64×0.25＝16 正确的积应该是16。 【考点六】数的运算一致性和简便运算 【典型例题1】计算下面各题，能简算的要简算。 1.34＋1.8＋3.66＋0.2         【答案】7；； 【分析】第一道小数加法题，因为观察到1.34和3.66、1.8和0.2分别相加可以凑整，所以利用加法交换律和结合律，将能凑整的数两两结合计算。 第二道分数乘法减法题，因为两个乘法项中分子有相同的7，分母有相同的8和19，所以先调整分子的位置构造出相同的因数，再利用乘法分配律进行简便计算。 第三道分数四则运算题，因为有括号，所以先计算括号内的分数减法，再按照从左到右的顺序，依次计算除法和乘法，计算时根据乘法交换律进行计算简化约分过程。 【解答】 【典型例题2】计算下面各题。 126÷15＋11.6            25×48＋4.8×750             【答案】20；4800； 【分析】①先算除法，再算加法； ②先把4.8×750转化成48×75，再用乘法分配律简算； ③先算小括号里面的，再算中括号，最后算除法。 【解答】126÷15＋11.6 ＝8.4＋11.6 ＝20 25×48＋4.8×750 ＝25×48＋48×75 ＝（25＋75）×48 ＝100×48 ＝4800 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题3】脱式计算，能简算的要简算。                    【答案】167；1000；6 【分析】根据四则混合运算先乘除后加减，有括号先算括号里的，同级运算按从左到右的顺序依次计算的运算顺序进行计算。 计算，先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算加法； 计算，先把除以分数转化为乘这个分数的倒数，此时算式变为0.25×32×125，再将32拆成4乘8，利用乘法结合律变式为（0.25×4）×（8×125）进行简算； 计算，45是5和3的公倍数，利用乘法分配律，用45分别乘括号里的两个分数，再相减。 【解答】75＋（110−540÷30） ＝75＋（110−18） ＝75＋92 ＝167 0.25÷×125 ＝0.25×32×125 ＝0.25×（4×8）×125 ＝（0.25×4）×（8×125） ＝1×1000 ＝1000 ＝ ＝36－30 ＝6 【典型例题4】用递等式计算（友情提示：能简算的要简算）。     6.8×9.3＋7×0.68     【答案】；68； 【分析】第一题：根据减法性质和带符号搬家简便计算。 第二题：把6.8×9.3转化为0.68×93，再根据乘法分配律的逆运算简便计算。 第三题：先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法。 【解答】17.63－（＋0.63）        ＝17.63－0.63－            ＝17－                             ＝                    6.8×9.3＋7×0.68   ＝0.68×93＋7×0.68 ＝0.68×（93＋7） ＝0.68×100 ＝68 ＝÷[（＋）×] ＝ ＝ ＝× ＝ 一、选择题 1．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．708 B．0.82 C． D． 【答案】D 【分析】小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…，分别写作0.1、0.01、0.001…；分数的计数单位是分母分之一，真分数中分子是几就有几个这样的分数单位；整数的计数单位有个、十、百、千…；据此逐项分析。 【解答】A．708，8在个位上，计数单位是一，表示8个一，正确； B．0.82，8在十分位上，计数单位是0.1，表示8个0.1，正确； C．，计数单位是，表示8个，正确； D．，计数单位是，表示3个，错误。 2．《赛迪创新百强区（2025）》榜单中再次出现浙江省北仑区，我区已经连续三年上榜。2024年全区实现工业增加值1072.573亿元。下面对横线上这个数的描述正确的是（    ）。 A．读作一千零七十二点五百七十三 B．这个数是个七位数 C．省略亿位后面的尾数约是1073亿 D．这个数的“3”在百分位上 【答案】C 【分析】A．小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字。 B．1072.573是个小数，不能用整数的位数来表示。 C．1072.573亿，省略亿位后面的尾数要看十分位上的数是否满5，用“四舍五入”法求近似数。 D．小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位。 【解答】A．1072.573读作一千零七十二点五七三，原题读法错误。 B．1072.573这个数不是个七位数，原题说法错误。 C．1072.573亿，省略亿位后面的尾数约是1073亿，原题说法正确。 D．1072.573这个数的“3”在千分位上，原题说法错误。 3．下列算式中“5”和“2”可以直接相加的是（    ）。 A．6.59＋1.2 B．354＋71.2 C． D． 【答案】A 【分析】根据加法计算法则，只有计数单位相同的数才能直接相加。对于小数，相同数位上的数字计数单位相同；对于分数，分母相同则分数单位相同。 【解答】A．6.59中的5在十分位上，表示5个0.1；1.2中的2也在十分位上，表示2个0.1。两者的计数单位相同，可以直接相加。此选项正确，符合题意。 B．354中的5在十位上，表示5个十；71.2中的2在十分位上，表示2个0.1。两者的计数单位不同，不能直接相加。此选项错误，不符合题意。 C．的分数单位是，的分数单位是。两者的分数单位不同，不能直接相加，需要先通分。此选项错误，不符合题意。 D．5是整数，计数单位是一；是分数，分数单位是。两者的计数单位不同，不能直接相加。此选项错误，不符合题意。 4．在计算时，我们会用“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。那么“3×5＝15”中的“15”表示15个（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据分数乘法的计算法则算出积，再根据积的分母确定分数单位，分子是几就表示有几个这样的分数单位。 【解答】，的分母是 28，所以分数单位是。分子是15，表示有15个这样的分数单位，即15个。 5．在“”中，若方框里只能填上一个数字，则最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将分数化成小数，得到具体的数值，再根据小数比较大小的方法，确定方框内可填数字的范围，最后统计符合条件的数字个数即可得出答案。 【解答】 ，即 。 比较两个小数的大小，整数部分都是，接着比较十分位。 要使右边的小数大于左边的小数，方框内的数字必须大于。 在一位数字中，大于的数字有和。 所以方框里可以填的数字共有2个，即最多有2种填法。 6．小虎在计算5.46加一个一位小数时，把两个数的末尾对齐，结果得到5.85。正确的结果应该是（    ）。 A．10.36 B．9.36 C．9.46 【答案】B 【分析】根据和－加数＝另一个加数，用错误的结果－正确的加数，计算出错误的加数，这个错误的加数写成一位小数就是正确的加数，再将两个正确的加数相加即可。 【解答】5.85－5.46＝0.39 正确的加数是3.9。 5.46＋3.9＝9.36 正确的结果应该是9.36。 故答案为：B 7．如果甲数的等于乙数的，那么甲数（    ）乙数。 A．小于 B．等于 C．大于 D．无法比较 【答案】C 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数＝乙数＝1，根据积÷乘数＝另一个乘数，分别计算出甲数和乙数，比较即可。 【解答】假设甲数＝乙数＝1 甲数＝1÷＝1×2＝2 乙数＝1÷＝1×＝ 2＞，因此甲数大于乙数。 8．是根据（    ）计算。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 【答案】C 【分析】乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 乘法交换律：两个数相乘，交换它们的位置，积不变。用字母表示是a×b＝b×a。据此解答。 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘。也可以先把后两个数相乘，再和第一个相乘。用字母表示是（a×b）×c＝a×（b×c）。 【解答】12×（－） ＝12×－12× ＝6－2 ＝4 这里根据乘法分配律计算。 二、填空题 9．一个数由4个千万、7个百万、5个千、6个十和3个0.01组成，这个数是（ ），精确到万位约是（ ）万。 【答案】47005060.03 4701 【分析】哪个数位有几个该数位的计数单位就在该数位写几，哪个数位一个计数单位也没有就在该数位写0占位，据此写出这个数；精确到万位看千位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】一个数由4个千万、7个百万、5个千、6个十和3个0.01组成，在千万位写4，百万位写7，千位写5，十位写6，百分位写3，其余数位用0补足，这个数是47005060.03，千位上的数是5，等于5向前一位进一，精确到万位约是4701万。 10．2025年茂名荔枝大丰收，预计产量达到598600吨，598600中的“5”在（ ）位上，表示（ ）个（ ），四舍五入到万位是（ ）万。 【答案】十万 5 十万 60 【分析】确定数字“5”的数位：根据数位顺序表，从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位等，598600中“5”在从右往左数第六位，即十万位上。明确数位的计数单位：十万位的计数单位是十万，所以“5”表示5个十万。四舍五入到万位：四舍五入到万位，需要看千位上的数字，千位上是8，8＞5，根据四舍五入法，要向万位进1。59＋1＝60，所以四舍五入到万位是60万。 【解答】综上分析所述，598600中的“5”在十万位上，表示5个十万，四舍五入到万位是60万。 11．是由（ ）个组成的，6008是由（ ）个千和（ ）个一组成的，0.06是由（ ）个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 【答案】3 6 8 6 【分析】分数的计数单位是，是由3个组成的； 根据数位和计数单位知识可知，6008是由6个千和8个一组成的； 两位小数的计数单位是0.01，0.06是由6个0.01组成的。 【解答】是由3个组成的，6008是由6个千和8个一组成的，0.06是由6个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 12．请写出一个用1、2、3三个数字组成的带分数（ ），它的分数单位是（ ）。 【答案】 【分析】由整数和真分数组成的数叫做带分数；把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数，叫作分数单位。一个分数的分母是几，分数单位就是几分之一。 【解答】用1、2、3三个数字组成的带分数是，分母是3，所以分数单位是。（答案不唯一） 13．在0.5、、和四个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。 【答案】 【分析】先把分数化成小数，用分子除以分母即可；再把这四个数根据小数大小比较的方法进行比较，找出最大的数和最小的数。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】＝4÷9≈0.444 ＝3÷2＝1.5 ＝4÷5＝0.8 1.5＞0.8＞0.5＞0.444 即＞＞0.5＞ 所以，最大的是，最小的是。 14．如果被减数、减数、差的和是2a，那么被减数是（ ）。如果减数是0.6，差是（ ）。 【答案】 【分析】根据被减数＝减数＋差，将被减数、减数、差的和转化为2个被减数的和，即可求出被减数；再根据差＝被减数－减数，代入已知条件求出差的表达式。 【解答】因为被减数−减数＝差，所以被减数＝减数＋差。 可得：被减数＋减数＋差 ＝被减数＋（减数＋差） ＝被减数＋被减数 ＝2×被减数 由题知：被减数＋减数＋差＝2a，即：2×被减数＝2a 被减数＝2a÷2＝a 当减数是0.6时，根据差＝被减数−减数，可得： 差＝a−0.6 15．（ ）（ ）（ ）。 【答案】//4.5 2.5// 【分析】已知各算式的结果都是1，根据“因数＝积÷另一个因数”求解。 【解答】1÷＝1×＝ 1÷0.4＝2.5 1÷7＝ 即×＝0.4×2.5＝7×＝1。 16．，这个算式的整数部分是（ ）。 【答案】6 【分析】分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算；根据式子中每个分数的特点，先把每个分数写成小数的形式，再利用凑整法将算式变为，最后的结果即可轻松得出答案。 【解答】 这个算式的整数部分是6。 【点睛】本题考查了高斯取整的有关计算，解答此题的关键是运用凑整法即可。 三、计算题 17．不改变数的大小，把下面各数改成三位小数。 6＝       3.94＝         3.50＝        80.00＝         0.07＝        0.4050＝ 【答案】6.000；3.940；3.500；80.000；0.070；0.405 【分析】要在不改变一个数的大小情况下，改为三位数，在末尾添加0，使小数点后有3位数字，据此可得出答案。 【解答】6＝6.000；3.94＝3.940；3.50＝3.500；80.00＝80.000；0.07＝0.070；0.4050＝0.405 18．计算下面各题，能简算的要简算。                  1.98－0.67－0.33              【答案】；7.8； 0.98； 【分析】先算小括号里面的，通分分母为20，再算括号外面的除法。 利用乘法分配律进行简便运算。 利用减法性质进行简便运算。 先算小括号里的，通分，分母化为12，再算中括号里的减法，最后算括号外面的除法。 【解答】÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝ 7.8×＋7.8× ＝7.8×（＋） ＝7.8×1 ＝7.8 1.98−0.67−0.33 ＝1.98−（0.67＋0.33） ＝1.98−1 ＝0.98 [1−（＋）]÷ ＝[1−（＋）]÷ ＝[1−]÷ ＝÷ ＝× ＝ 四、解答题 19．一个五位数，最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，个位上的数字是十位上的数字的3倍，前三个数字之和与后三个数字之和都是11。这个五位数是多少？ 【答案】44326 【分析】一个五位数，最高位是万位，最低位是个位，已知最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，即万位上是4、个位上是6；个位上的数字是十位上的数字的3倍，个位上数字除以3即可求出十位上的数字；前三个数字之和与后三个数字之和都是11，即个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝百位上的数字＋千位上的数字＋万位上的数字＝11，据此即可求出百位和千位上的数字，据此解答。 【解答】已知万位：4，个位：6， 十位： 百位： 千位： 答：这个五位数是44326。 20．不改变数的大小，下面数中哪些“0”可以去掉？请用“\”将这些“0”划掉。 3900  8.04  1.8000  0.004  80.08  0.300  0.1040  3.107 【答案】；； 【分析】根据小数的性质：在小数的末尾添上或去掉“0”，小数的大小不变，进行解答即可。 【解答】3900不是小数，不可以去掉“0”；8.04中的“0”不在小数的末尾，不可以去掉；0.004中的“0”不在小数的末尾，不可以去掉；80.08中的“0”不在小数的末尾，不可以去掉；3.107中的“0”不在小数的末尾，不可以去掉；1.8000，0.300，0.1040可以去掉小数末尾的“0”，；；。 21．中国琉璃艺术历史悠久，琉璃被誉为中国五大名器之首。三位师傅烧制相同的琉璃花瓶，黄师傅用了时，李师傅用了1.23时，王师傅用了时，谁烧制得最快？ 【答案】李师傅 【分析】比较三个人用的时间，时间越短，做得越快。把三个时间都化成小数，比较大小，最小的那个最快。也可以都化成分数，通分后比较分子。 黄师傅的时间是1时，化成小数是1.625时；李师傅的时间是1.23时；王师傅的时间是时，化成小数是1.3时。 【解答】把三个时间都化成小数比较大小： 黄师傅：1＝1.625（时） 李师傅：1.23时 王师傅：＝1.3（时） 1.23＜1.3＜1.625，李师傅用时最少。 答：李师傅烧制得最快。 22．亮亮家的电话号码是七位数，并且是2、3、5的倍数，前三位是326，后四个数字与326组成满足条件的最小七位数。亮亮家的电话号码是多少? 【答案】3260010 【分析】2的倍数的特征是这些数的个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征是这些数各个数位上数字之和是3的倍数；5的倍数的特征是这些数的末尾是0或5。 【解答】这个七位数是2，3，5的倍数，所以末尾数字是0； 后四位数和前面326组成最小的数，3＋2＋6=11，11＋1=12，12是3的倍数，所以十位上的数字是1； 后四位数的其他数位上是0，那么亮亮家的电话号码是3260010。 答：亮亮家的电话号码是3260010。 23．刘宁用竖式计算6.8减一个两位小数时，误看成加法算式，得9.75，你能帮他算出正确的结果吗？ 【答案】3.85 【分析】根据题意，6.8加上一个两位小数得9.75，根据“和－一个加数＝另一个加数”求出这个两位小数；再用6.8减去这个两位小数，计算出正确的结果。 【解答】9.75－6.8＝2.95 6.8－2.95＝3.85 答：正确的结果是3.85。 24．小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 【答案】24.5 【分析】根据商的变化规律，增加的被除数÷增加的商＝正确的除数，据此求出正确的除数，再用正确的被除数除以正确的除数即可。 【解答】（17.4－14.7）÷4.5 ＝2.7÷4.5 ＝0.6 14.7÷0.6＝24.5 答：这道除法算式正确的商是24.5。 【点睛】关键是熟悉除法各部分之间的关系，掌握并灵活运用商的变化规律。 25．工程队要修一条56千米长的水渠，第一天修了全长的，第二天比第一天少修全长的，第二天修了多少千米？ 【答案】19千米 【分析】水渠全长56千米，第一天修了全长的，则第一天修的长度为：56×＝35（千米）。第二天比第一天少修全长的，则少修的长度为56×＝16千米，所以第二天修的长度为：35－16＝19（千米）。 【解答】56×－56× ＝35－16 ＝19（千米） 答：第二天修了19千米。 26．小红的家在乡镇，学校在县城，每周一早上小红需要从家出发去学校上早自习。这一天爸爸临时有事没法开车送她，小红提前算了算两种出行方式的时间：如果搭叔叔的顺风车按每小时行37.5千米的速度行驶，就可以比早自习要求的到校时间提前1.5小时到达；如果自己骑自行车去，每小时只能行12.5千米，会比规定的到校时间迟到1.5小时。请问小红家到学校的路程是多少千米？ 【答案】56.25千米 【分析】两种出行方式的总路程完全相等，顺风车比规定时间早到1.5小时，自行车比规定时间迟到1.5小时，两种走法的总耗时相差3小时。假设两种出行都按规定时长行驶，顺风车会多驶出提前1.5小时对应的路程，自行车还未到达学校，距离终点还有迟到1.5小时对应的路程，两者的路程差就是这两部分相加的总和。用总路程差除以每小时的速度差，即可算出从家出发到早自习的规定时长。最后结合顺风车提前1.5小时的条件，用速度乘实际行驶时间算出总路程。 【解答】两种方式的总耗时差：1.5＋1.5＝3（小时） 速度差：37.5－12.5＝25（千米/小时） 按规定时长行驶时，顺风车比自行车多走的总路程： 37.5×1.5＋12.5×1.5 ＝（37.5＋12.5）×1.5 ＝50×1.5 ＝75（千米） 从家出发到早自习的规定到校时长：75÷25＝3（小时） 计算小红家到学校的总路程： 37.5×（3－1.5） ＝37.5×1.5 ＝56.25（千米） 答：小红家到学校的路程是56.25千米。 27．为丰富班级文化，打造书香班级，明思小学在班级内设立了图书角，乐乐对五年级五班图书角的类别进行了调查，情况如下： 类别 文学类 作文类 科技类 漫画类 占总数的几分之几 （1）哪类书的数量最多？哪类书的数量最少？ （2）文学类、作文类两类图书比科技类多占图书总数的几分之几？ 【答案】（1） 作文类的数量最多，漫画类的最少。 （2） 【分析】（1）把图书总数看作单位"1"，把各类图书占总数的分率进行比较，分率越大，书的数量越多，分率越小，书的数量越少。 （2） 求文学类、作文类两类图书比科技类多占图书总数的几分之几，用文学类的分率加上作文类的分率，再减去科技类的分率，列综合算式计算即可。 【解答】（1）因为 、 、 、 的最小公倍数是 ，所以将各分数通分如下： 文学类： 作文类： 科技类： 漫画类： 因为， 所以。 答：作文类的数量最多，漫画类的数量最少。 （2） 答：文学类、作文类两类图书比科技类多占图书总数的。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、数的意义与计数单位 1 二、分数与小数的基本性质 2 三、整数、分数、小数大小比较 2 四、四则运算的意义 3 五、数的运算的一致性 3 典型例题 3 【考点一】数的计数单位与数的组成 3 【考点二】分数和小数的性质 4 【考点三】比较整数、小数或分数的大小 5 【考点四】加减法运算的一致性 6 【考点五】乘除法运算的一致性 6 【考点六】数的运算一致性和简便运算 7 综合训练 8 一、数的意义与计数单位 计数单位是数的核心组成基础，整数、小数、分数虽然表现形式不同，但本质上都是“对应计数单位的累加”，这是数的概念的核心一致性。 1、‌整数的计数单位‌：从低到高依次为一（个）、十、百、千、万……每相邻两个计数单位之间的进率都是10，遵循十进制计数法。 2、‌小数的计数单位‌：小数是十进制分数的另一种书写形式，计数单位为十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……相邻计数单位进率同样为10，和整数计数规则完全统一。 3、‌分数的计数单位‌：把单位“1”平均分成若干份，其中1份的数就是这个分数的分数单位，也就是分数的计数单位。分母决定分数单位的大小，分子表示包含该计数单位的个数。 二、分数与小数的基本性质 两类性质底层逻辑完全互通，是后续约分、通分、小数改写等操作的核心依据： 1、‌分数的基本性质‌：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小保持不变。 核心应用：约分，将分数化简为分子分母更小的最简分数；通分，把异分母分数转化为同分母分数，统一分数单位方便后续计算。 注意要点：分数大小不变的前提下，分子分母同时乘几，分数单位会变小；同时除以几，分数单位会变大。 2、‌小数的基本性质‌：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 核心应用：化简小数，去掉小数末尾多余的0；改写小数，根据需求把小数调整为指定计数单位的数。 注意要点：小数大小不变的前提下，末尾添0会让计数单位变小，末尾去0会让计数单位变大。 三、整数、分数、小数大小比较 1、统一本质比较数的大小，本质是比较相同计数单位下计数单位的个数；分数、小数比较均可转化为整数比较。 2、分类型比较规则 （1）整数大小比较①位数多的数更大；②位数相同时，从最高位依次对比相同数位数字（相同计数单位个数）。 （2）小数大小比较先比整数部分，整数部分相同再依次比较十分位、百分位…...，核心是对齐小数点，统一计数单位。 （3）分数大小比较 ①同分母：直接比较分子（分数单位相同，比个数）； ②同分子：分母越小，分数单位越大，分数值越大； ③异分母：先通分转化为相同分数单位，再比较分子。 四、四则运算的意义 1、‌加减运算关系‌：加法是将两个数合并成一个数的基础运算，减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，减法是加法的逆运算。 2、‌乘除运算关系‌：整数乘法是求几个相同加数和的简便运算，拓展到分数场景后，一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少；除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，除法是乘法的逆运算。 五、数的运算的一致性 整数、小数、分数的运算规则看似差异很大，底层逻辑完全统一，全部围绕“计数单位”展开： ‌加减法的一致性‌：整数加减法要求数位对齐，小数加减法要求小数点对齐，异分母分数加减法要求先通分，所有操作的核心目的都是统一相同的计数单位，再直接对相同计数单位的个数进行加减运算。 ‌乘除法的一致性‌：整数、小数、分数的乘除运算，本质上都是先对计数单位本身进行乘除操作，再对计数单位对应的“个数”进行乘除操作，最终组合得到运算结果。 【考点一】数的计数单位与数的组成 【典型例题1】在2025年东莞青少年游泳锦标赛中，某选手以329.52秒的成绩获得冠军。整数部分的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）；小数部分的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）。 【典型例题2】抚仙湖是中国第二深的淡水湖，湖面海拔高度是1722.50米。横线上的小数读作（ ）米，这个小数的计数单位是（ ），从左边数起第2个“2”表示2个（ ）。 【典型例题3】数位之趣！65605632是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，读作（ ），从右往左数，第一个“5”表示（ ），第二个“5”表示（ ）。 【典型例题4】在60.08这个数中，“6”的计数单位是_________，“8”的计数单位是_________；的分数单位是_________，它有_________个这样的分数单位。 【考点二】分数和小数的性质 【典型例题1】5．由8个十、5个十分之一和6个百分之一组成的数是（ ），不改变这个数的大小，写成三位小数是（ ）。 【典型例题2】（    ）（    ）（填小数）。 【典型例题3】4÷5＝＝12÷（    ）＝＝（    ）（填小数）。 【典型例题4】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，如果它的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应（ ）。 【考点三】比较整数、小数或分数的大小 【典型例题1】比较大小。 （ ）    （ ）    （ ） 【典型例题2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）1.125        1.66（ ）        0.1（ ） 【典型例题3】如表是三个同学玩投篮游戏的情况，（ ）投得准。 姓名 李明 张龙 王聪 投进个数占各自投球总个数的几分之几 【典型例题4】在下面括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.40（ ）8.4      9.02（ ）8.99           630000（ ）0.63亿         500万（ ）0.49亿 【考点四】加减法运算的一致性 【典型例题1】根据543－186＝357，直接写出下面两道题的得数。 186＋357＝（ ）                        543－357＝（ ） 【典型例题2】丽丽在做一道减法数学题时，把被减数850错看成580，减数没有看错，算出的结果是390，正确的结果是（ ）。 【典型例题3】明明同学在计算一道分数减法时，把减错写成了加，结果得，那正确结果应该是（ ）。 【典型例题4】乐乐在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成了1，把另一个加数百位上的2错写成了3，所得的和是2024，正确的结果是多少？ 【考点五】乘除法运算的一致性 【典型例题1】根据532－179＝353，81×25＝2025，直接写出这两个算式的得数。 353＋179＝（ ）    532－353＝（ ）  2025÷25＝（ ） 【典型例题2】根据728÷26＝28，写一道乘法算式是（ ），写一道除法算式是（ ）。 【典型例题3】两个数相乘，如果第一个因数增加14，第二个因数不变，那么积增加70；如果第一个因数不变，第2个因数增加14，那么积增加532，原来的积是多少？ 【典型例题4】小马虎在计算一个数乘0.25时，把0.25错看成了2.5，算出的积是160，正确的积应该是（ ）。 【考点六】数的运算一致性和简便运算 【典型例题1】计算下面各题，能简算的要简算。 1.34＋1.8＋3.66＋0.2         【典型例题2】计算下面各题。 126÷15＋11.6            25×48＋4.8×750             【典型例题3】脱式计算，能简算的要简算。                    【典型例题4】用递等式计算（友情提示：能简算的要简算）。     6.8×9.3＋7×0.68     一、选择题 1．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．708 B．0.82 C． D． 2．《赛迪创新百强区（2025）》榜单中再次出现浙江省北仑区，我区已经连续三年上榜。2024年全区实现工业增加值1072.573亿元。下面对横线上这个数的描述正确的是（    ）。 A．读作一千零七十二点五百七十三 B．这个数是个七位数 C．省略亿位后面的尾数约是1073亿 D．这个数的“3”在百分位上 3．下列算式中“5”和“2”可以直接相加的是（    ）。 A．6.59＋1.2 B．354＋71.2 C． D． 4．在计算时，我们会用“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。那么“3×5＝15”中的“15”表示15个（    ）。 A． B． C． D． 5．在“”中，若方框里只能填上一个数字，则最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．6 D．7 6．小虎在计算5.46加一个一位小数时，把两个数的末尾对齐，结果得到5.85。正确的结果应该是（    ）。 A．10.36 B．9.36 C．9.46 7．如果甲数的等于乙数的，那么甲数（    ）乙数。 A．小于 B．等于 C．大于 D．无法比较 8．是根据（    ）计算。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 二、填空题 9．一个数由4个千万、7个百万、5个千、6个十和3个0.01组成，这个数是（ ），精确到万位约是（ ）万。 10．2025年茂名荔枝大丰收，预计产量达到598600吨，598600中的“5”在（ ）位上，表示（ ）个（ ），四舍五入到万位是（ ）万。 11．是由（ ）个组成的，6008是由（ ）个千和（ ）个一组成的，0.06是由（ ）个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 12．请写出一个用1、2、3三个数字组成的带分数（ ），它的分数单位是（ ）。 13．在0.5、、和四个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。 14．如果被减数、减数、差的和是2a，那么被减数是（ ）。如果减数是0.6，差是（ ）。 15．（ ）（ ）（ ）。 16．，这个算式的整数部分是（ ）。 三、计算题 17．不改变数的大小，把下面各数改成三位小数。 6＝       3.94＝         3.50＝        80.00＝         0.07＝        0.4050＝ 18．计算下面各题，能简算的要简算。                  1.98－0.67－0.33              四、解答题 19．一个五位数，最高位上的数字是4，最低位上的数字是6，个位上的数字是十位上的数字的3倍，前三个数字之和与后三个数字之和都是11。这个五位数是多少？ 20．不改变数的大小，下面数中哪些“0”可以去掉？请用“\”将这些“0”划掉。 3900  8.04  1.8000  0.004  80.08  0.300  0.1040  3.107 21．中国琉璃艺术历史悠久，琉璃被誉为中国五大名器之首。三位师傅烧制相同的琉璃花瓶，黄师傅用了时，李师傅用了1.23时，王师傅用了时，谁烧制得最快？ 22．亮亮家的电话号码是七位数，并且是2、3、5的倍数，前三位是326，后四个数字与326组成满足条件的最小七位数。亮亮家的电话号码是多少? 23．刘宁用竖式计算6.8减一个两位小数时，误看成加法算式，得9.75，你能帮他算出正确的结果吗？ 24．小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 25．工程队要修一条56千米长的水渠，第一天修了全长的，第二天比第一天少修全长的，第二天修了多少千米？ 26．小红的家在乡镇，学校在县城，每周一早上小红需要从家出发去学校上早自习。这一天爸爸临时有事没法开车送她，小红提前算了算两种出行方式的时间：如果搭叔叔的顺风车按每小时行37.5千米的速度行驶，就可以比早自习要求的到校时间提前1.5小时到达；如果自己骑自行车去，每小时只能行12.5千米，会比规定的到校时间迟到1.5小时。请问小红家到学校的路程是多少千米？ 27．为丰富班级文化，打造书香班级，明思小学在班级内设立了图书角，乐乐对五年级五班图书角的类别进行了调查，情况如下： 类别 文学类 作文类 科技类 漫画类 占总数的几分之几 （1）哪类书的数量最多？哪类书的数量最少？ （2）文学类、作文类两类图书比科技类多占图书总数的几分之几？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $