第25章 一元二次方程【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过知识结构框图将概念要素、解法逻辑、根的性质与实际问题类型串联，构建完整知识网络。 其亮点在于“基础梳理-分层演练-考点聚焦”的复习设计，如解答题分直接开平方法、因式分解法等针对性训练培养运算能力，几何面积和增长率问题强化模型意识。这种设计兼顾不同水平学生，助力知识巩固，教师可高效开展针对性复习。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 第25章 一元二次方程 全章综合练习题 全章核心知识点汇总 1. 一元二次方程概念：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程，一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。 2. 四种解法（由简到繁）：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 3. 根的判别式：$$\Delta=b^2-4ac$$，$$\Delta>0$$两不等实根，$$\Delta=0$$两相等实根，$$\Delta<0$$无实根。 4. 根与系数关系（韦达定理）：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}(\Delta\geq0)$$。 5. 实际应用：几何面积问题、传播与变化率问题、循环与数字问题。 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $$x+2y=3$$ B. $$x^2+2x=0$$ C. $$x+\dfrac{1}{x}=2$$ D. $$2x+1=0$$ 2. 一元二次方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数、常数项分别是（） A. 2、1 B. 2、-5 C. -5、1 D. 2、-1 3. 方程$$(x-1)^2=4$$的解为（） A. $$x_1=3，x_2=-1$$ B. $$x_1=3，x_2=1$$ C. $$x_1=-3，x_2=-1$$ D. $$x=3$$ 4. 用配方法解方程$$x^2-6x-2=0$$，配方后正确的是（） A. $$(x-3)^2=11$$ B. $$(x-3)^2=7$$ C. $$(x+3)^2=11$$ D. $$(x-6)^2=38$$ 5. 方程$$3x^2-2x+1=0$$的根的情况是（） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实数根 D. 无法判断 6. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x+3=0$$的两根，则$$x_1+x_2=$$（） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 7. 适合用因式分解法求解的方程是（） A. $$x^2-4x+2=0$$ B. $$x^2+3x=0$$ C. $$x^2-5x+3=0$$ D. $$(x+1)^2=3$$ 8. 某种病毒两轮传染后由1人变为121人，设每轮传染$$x$$人，方程为（） A. $$1+2x=121$$ B. $$(1+x)^2=121$$ C. $$1+x^2=121$$ D. $$x^2=121$$ 9. 单循环球赛共36场，参赛队伍有（） A. 7支 B. 8支 C. 9支 D. 10支 10. 矩形长比宽多4，面积45，宽为（） A. 5 B. 9 C. 3 D. 7 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 方程$$x^2-9x=0$$的根为__________。 2. 一元二次方程求根公式：__________。 3. 若方程$$x^2+kx+4=0$$有两个相等实数根，则$$k=$$__________。 4. 连续两次降价，原价100元现价81元，平均降价率为__________。 5. 两位数，十位数字$$x$$，个位数字$$x+1$$，该两位数表示为__________。 三、解答题（共40分） 1.（16分）选用合适方法解下列一元二次方程。 （1）$$(x+2)^2=16$$ （2）$$x^2-5x+6=0$$ （3）$$2x^2-4x-1=0$$ （4）$$x^2+4x-5=0$$ 2.（8分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-6x+4=0$$的两根，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 3.（8分）几何应用：矩形空地长30m、宽20m，四周修等宽小路，剩余绿化面积416m²，求小路宽度。 4.（8分）增长率应用：某商店二月营业额40万元，四月营业额48.4万元，求二到四月月平均增长率。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.A 二、填空题 1. $$x_1=0，x_2=9$$ 2. $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$ 3. $$\pm4$$ 4. 10% 5. $$11x+1$$ 三、解答题 1. 解：（1）直接开平方法：$$x+2=\pm4$$，$$x_1=2，x_2=-6$$； （2）因式分解法：$$(x-2)(x-3)=0$$，$$x_1=2，x_2=3$$； （3）公式法：$$\Delta=16+8=24$$，$$x=\dfrac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}$$； （4）因式分解法：$$(x+5)(x-1)=0$$，$$x_1=1，x_2=-5$$。 2. 解：由韦达定理得$$x_1+x_2=6，x_1x_2=4$$，原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-8=28$$。 3. 解：设小路宽$$x$$m，$$(30-2x)(20-2x)=416$$，整理得$$x^2-25x+86=0$$，解得$$x_1=2，x_2=23$$（舍去），答：小路宽2m。 4. 解：设月均增长率为$$x$$，$$40(1+x)^2=48.4$$，解得$$x=0.1=10\%$$，答：月平均增长率10%。 章末复习 知识积累 a. 一元二次方程的概念，一般形式分别是什么？如何验根？ b. 一元二次方程有哪几种解法？ 一般情况下如何选择最优解法？ c. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，则其求根 公式是x= . 根与系数的关系是：x1+x2＝ ，x1x2＝ . d.判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定 的 符号: 当 时，方程有两个不等的实数根; 当 时，方程有两个相等的实数根; 当 时，方程没有实数根. e.列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步 骤是： . b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 审、设、列、解、验、答 根据上述知识点，画出本章知识结构框图 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a b c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 根 根的判别式Δ=b2-4ac Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根 根与系数的关系 5 解法 因式分解法： 配方法： 公式法： 若A·B=0，则A=0或B=0 形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方 一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解 应用 列一元二次方程解实际问题的步骤: 审设列解验答 几种常见类型 传播问题 增长率问题 图形面积问题 单(双)循环问题 方案设计问题 数字问题 随堂演练 1.方程(2x＋1)(x－3)=x2+1化成一般形式为 ， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是 . 2. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的 是（ ） A.x2－2x=5 B.2x2－4x=5 C.x2+4x=5 D.x2+2x=5 x2-5x-4=0 1，-5，-4 C 3. 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ ） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人 4. 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的 总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x, 则由题意列方程为（ ） A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+200×3x=1000 D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000 C D x2－2x=0； x2－2x+2=0. 解：分解因式得： x(x-2)=0 x=0或x-2=0 x1=0,x2=2 解：x2-2x+1=-1 (x-1)2=-1 方程无解 5. 解下列方程： 6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少? 解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000， 解得 x1=60, x2=80， 又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元. 7. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个 位 数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数. 解：设十位数字是x，则个位数字是x+3，根据题意， 得(x+3)2=10x+x+3. 整理得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3. 当x=2时，x+3=5；当x=3时，x+3=6. ∴这个两位数是25或36. 考点1 一元二次方程的相关概念 1. 下列方程中，； ； ；； ， 一定是一元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 14 2.把一元二次方程 化成一般 形式为________________. 3.[2026北师大附中期中] 若是方程 的一个 根，则代数式 的值为_______. 2 033 中考考法 15 考点2 一元二次方程的解法 4. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) B A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 中考考法 16 5. 解下列方程： （1） （直接开平方法）； 【解】 ，， . ， . （2） （配方法）； 配方，得 ， ., . 中考考法 17 （3） （公式法）； 原方程可化为 . ，， ， . . ， . 中考考法 18 （4） （因式分解法）． 因式分解,得 , 即 . 或 . ， ． 中考考法 19 考点3 一元二次方程根的判别式 6. 一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.[2025上海] 已知关于的一元二次方程 没 有实数根，则 的取值范围是_______. 中考考法 20 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 8.若,是一元二次方程 的两个实数根，则 ____. 中考考法 21 9.[2026泰州期中] 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， . （1）求实数 的取值范围； 【解】 方程 有两个不相等的实数根， ，解得 . 中考考法 22 （2）若方程两实数根满足，求 的值. 方程 有两个不相等的实数根 , ， ， . ， ， 解得， . 又， . 中考考法 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $