第25章一元二次方程【章末小结】（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系及实际应用。课堂导入从实际问题出发，引导学生设未知数列方程，通过解法学习与根的性质探究，最终检验解决实际问题，构建“问题-建模-求解-应用”的完整学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题（如养鸡场面积、木雕销售利润），用数学思维通过典型例题培养运算能力（例3多种解法对比）和推理意识（例2利用根的定义降次），以数学语言构建模型（例8动点问题用勾股定理列方程）。采用“知识点+例题+方法技巧”结构，帮助学生发展抽象能力与模型意识，教师可直接用于复习教学，提升课堂效率。

章末小结 第二十五章 一元二次方程 九上数学人教 实际问题 设未知数，列方程 实际问题的答案 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 x= 检验 解方程 降次 配方法 公式法 因式分解法 单元知识梳理 2 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程定义： 如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)， 二次项：ax2，二次项系数：a. 一次项：bx，一次项系数：b. 常数项：c. 单元知识梳理 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 单元知识梳理 若方程(m-1)x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0 例1 知识点1 一元二次方程的有关概念 B 单元知识梳理 已知m为方程 x2+3x-2 023=0 的根，那么m3+2m2-2 026m+2 023的值为（ ） A. -2 026 B. 2 026 C. 0 D. 4 044 例2 解析：∵m为方程x2+3x-2 023=0的根， ∴m2+3m=2 023, ∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 023m+2 023 =m(m2+3m)-(m2+3m)-2 023m+2 023 =2 023m-2 023-2 023m+2 023 =0. C 知识点1 一元二次方程的有关概念 单元知识梳理 知识点2 解一元二次方程 直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 单元知识梳理 配方法： 把方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有0，所以方程 无实数根. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 1.一元二次方程的根的判别式 内容 定义 式子 b2−4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式. 表示 用 “Δ” 表示，即 Δ=b2−4ac. 与根的关系 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ<0 时，方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式： 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 一元二次方程的求根公式： 当 Δ≥0 时，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为x=的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 公式法： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作 公式法. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 因式分解法： 先对方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 因式分解法. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ， x1x2 = . 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 例3 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2） ； 解：（1）x2−12x+36=9 964+36， 即 ， ∴ ， ∴ . （2）原方程可化为 ， ∴ 0， ∴ . 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 例3 用适当的方法解下列方程：（3） ； 解：（3）这里 . ∵ ∴ ∴ 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 例3 用适当的方法解下列方程：（4） . 解：（4）方法一  移项，得 x2+2x+1 = (3+2x)2， 左边分解因式，得  (x+1)2= (3+2x)2. 由此可得 x+1= 3+2x， 或 x+1=-3-2x. ∴ 方法二  原方程可化为(x+1)2 - (3+2x)2 = 0. 因式分解，得  [(x+1)+(3+2x)][(x+1)-(3+2x)]=0， 即 (3x+4)(x+2) = 0 ， ∴ 3x+4=0，或x+2=0， ∴ 2. 解题依据： 若 ，则  或 . 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为x² =p (p≥0)或 (mx+n)² =p (p≥0)的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数且常数项较大时，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若以上三种方法均不简便，则宜选用公式法. 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 例4 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0． （1）若该方程有一个根为-2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 解：（1）将x=-2代入方程x2+ax+a-2=0，得 （-2）2+（-2）a+a-2=0， 解得a=2. （2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a-2=0， ∴Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 例5 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（-2k+8）≥0， 解得k≥2，∴k的取值范围为k≥2. （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0的两个实数根， ∴x1+x2=4，x1x2=-2k+8. ∵x2+x1=x1x2（x1+x2）=4（-2k+8）=-24， ∴k=7，∴k的值为7． 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x2+x1，求k的值． 知识点2 解一元二次方程 单元知识梳理 知识点3 实际问题与一元二次方程 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 步骤 内容摘要 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 单元知识梳理 例6 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场．如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆．张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门．已知矩形养鸡场的面积为80平方米，求矩形养鸡场的两邻边长． 解：设AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD长为（25-2x+1）米， 由题意得，x（25-2x+1）=80. 整理得，x2-13x+40=0， 解得x1=5，x2=8. 当x=5时，与墙平行的边长为25-2×5+1=16＞10，不符合题意，舍； 当x=8时，与墙平行的边长为25-2×8+1=10，符合题意. 答：矩形养鸡场与墙垂直的边长为8米，与墙平行的边长为10米． 知识点3 实际问题与一元二次方程 单元知识梳理 例7 根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色. 素材 某种木雕的制作成本为 20 元 / 件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为 30 元 / 件时，月销售量为 500 件.若在此基础上每件木雕的售价每上涨 1 元，则该木雕月销售量将减少 10 件，设该木雕的售价每件上涨x元. 问题解决 任务 1 （1）该木雕月销售量为_____________件；（用含x的代数式表示） 任务 2 （2）该商店为使月销售利润达到 8 000 元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕每件的售价需上涨多少元？ 知识点3 实际问题与一元二次方程 单元知识梳理 素材 某种木雕的制作成本为 20 元 / 件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为 30 元 / 件时，月销售量为 500 件.若在此基础上每件木雕的售价每上涨 1 元，则该木雕月销售量将减少 10 件，设该木雕每件的售价上涨x元 . 问题解决 任务 1 （1）该木雕月销售量为_____________件；（用含x的代数式表示） 任务 2 （2）该商店为使月销售利润达到 8 000 元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕每件的售价需上涨多少元？ （500-10x） 知识点3 实际问题与一元二次方程 解：(2)根据题意，得（30+x-20）（500-10x）=8 000. 整理得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30. ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=10． 答：该木雕每件的售价上涨10元． 单元知识梳理 例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向 点D移动. （1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm² ？ （2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？ 高：BC=6 cm 上、下底： PB=(16-3t)cm, CQ=2t cm 梯形PBCQ ×6×(16-3t+2t)=33 面积为 33 cm2 知识点3 实际问题与一元二次方程 单元知识梳理 例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向 点D移动. （1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm² ？ 解：（1）设经过t s时，四边形PBCQ的面积为33 cm². 依题意得 ×6×(16-3t+2t)=33. 解得t=5． 答：经过5s时,四边形PBCQ的面积为33 cm². 知识点3 实际问题与一元二次方程 单元知识梳理 例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向 点D移动. （2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？ 用含t的式子表示QE的长 在Rt△PEQ中利用勾股定理列方程 过点P作 PE⊥CD 解方程 讨论解的合理性 分类讨论思想 知识点3 实际问题与一元二次方程 E 单元知识梳理 例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向 点D移动. （2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？ (2)设经过t s时，点P和点Q之间的距离是10cm. 依题意，得AP=3t cm,CQ=2t cm,DQ=(16-2t)cm. 如图，过点P作PE⊥CD,垂足为E. 当点P在点Q上方时，QE=DQ-AP=(16-5t) cm； 当点P在点Q下方时，QE=AP-DQ=(5t-16)cm. E 知识点3 实际问题与一元二次方程 易错：动点的相对位置不确定时，要进行分类讨论 单元知识梳理 例8 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16cm，AD = 6cm，动点 P,Q分别从 A,C 两点　同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向 点D移动. （2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10 cm？ 在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2， 即(16-5t)2+62=102, 解得 ，. 经检验，， 均符合题意. 答：在  或  时，点P和点Q之间的距离是10 cm. E 知识点3 实际问题与一元二次方程 单元知识梳理 $