25.3.1 第1课时 几何图形问题 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”中的几何图形问题，通过回顾解一元二次方程方法及列一元一次方程步骤，关联几何图形计算公式，搭建前后知识学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，如连续正整数直角三角形、矩形围栏面积等实例，培养数学思维（推理、运算）和数学眼光（几何直观），采用结构化小结。学生能提升模型意识，教师可高效开展教学。

第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题2: 列一元一次方程解应用题的步骤? 知识关联 问题1: 解一元二次方程有哪些方法? 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. ①审题; ②设出未知数; ③根据等量关系列方程; ④解方程; ⑤检验并写出答案. 知识关联 【情境问题】 关于几何图形的体积、面积和周长，你知道哪些常见图形的计算公式?分别是什么? 下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型，解决一些涉及几何图形的实际问题. 助力教学 (authorId_373264932) - 这里可以回忆 三角形，平行四边形，菱形等 面积公式，圆形也可以 【探究1】 直角三角形边的数量关系 【操作尝试】 探究与应用 问题1：勾股定理如何用字母表示? 问题2：勾股定理反映的是哪种三角形三边之间的数量关系? a2+b2=c2 直角三角形三边之间的数量关系 【尝试交流】 探究与应用 问题3：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这 样的三角形有多少个?　 【探究1】 直角三角形边的数量关系 分析:(1)怎样理解“连续”这个词? (2)能否用含有相同未知数的量，表示这三个连续正整数? (3)直角三角形的三边有怎样的数量关系？能用等式表示吗? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x、x+1、x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3、4、5. 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否 存在点E，使得∠DEC为直角? 解：存在. 设AE=x，则BE=4-x. 在Rt△DEC中，根据勾股定理，得 DE2+CE2=CD2，即x2+12+12+(4-x)2=42, 整理，得x2-4x+1=0，解得x1=2+ ，x2=2- . 故AB上存在点E使得∠DEC为直角. 【探究2】几何规则图形的面积问题 【尝试交流】 探究与应用 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度。设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考1：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区城? 通过计算可知，方程虽然有两个根，但这样的矩形是唯一。 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m、12 m. 【探究2】几何规则图形的面积问题 【思考交流】 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解上述问题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 探究与应用 思考2：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如: (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m; 助力教学 (authorId_373264932) - 1)学生对几何图形的分析能力; (2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理; (3)在讨论中能否互相合作; (4)解一元二次方程的能力; (5)学生回答问题时的语言表达是否准确 【理解应用】 探究与应用 例2 图是矩形养鸡场的平面示意图，其中一面靠墙，另外三面用竹篱笆围成。若竹篱笆总长为35 m，所围矩形养鸡场的面积为150 m2，则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少? 解：设矩形养鸡场的平行墙的一边长为x m，则与它相邻的边为 (35-x)m. 根据题意，得 x(35-x)=150, 解得x1=15，x2=20. 答：矩形养鸡场的长、宽分别为15 m、10 m, 或20 m、7.5 m 【小结】 课堂小结与检测 几何图形与一元二次方程问题 三角形勾股定理 矩形面积问题 1．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为160 m2的矩形土地种植黑苦荞麦，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差15 m，设该矩形土地的长为 x m，则可列方程为 ( ) A．x(x－15)＝160 B．x(x＋15)＝160 C．2x＋2(x－15)＝160 D．2x＋2(x＋15)＝160 A 课堂练习 2.新情境 [2026南京市联合体期末]如图是李丽 与的对话， 在深度思考后， 给出的这个数是( ) A A.1 B. C. D.1或 【解析】 设这个数为 .由题意，得 ，整理，得，解得， 这个数为1. 12 3．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 (　 　) A．7 B．6 C．5 D．4 B 【解析】设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8－x，然后表示出阴影部分的宽，从而根据其面积列出方程求解即可． 4.教材习题变式 [2025广元中考改编]如图，在长为 ，宽为 的矩形地面的四周种植花卉，中间种 植草坪.若要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总 面积的，则花卉带的宽度应为___ . 2 【解析】 矩形地面的总面积为， 草坪的面积为总面 积的， 草坪的面积为．设花卉带的宽度为， 中 间草坪的长为，宽为 ．根据题意，得 ，解得， （不符合题意，舍去）， 故花卉带的宽度应为 . 14 5.[2025咸阳调研]用一根长的铁丝围成一个斜边长为 的直角三角 形，则这个直角三角形较短的直角边长为___ . 3 【解析】 设一条直角边长为，则另一条直角边长为 . 根据勾股定理，得，解得，， 两 条直角边长分别为和，这个直角三角形较短的直角边长为 . 15 6.[2026淮安淮安区期中]某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中的胜场数 是一个两位数，且这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之和为5，且 胜场数比它个位上的数字的平方小2，则该班级在联赛中的胜场数为____. 14 【解析】 设该班级在联赛中的胜场数的十位上的数字为 ，则个位上的 数字为.由题意，得 ，整理，得 ，解得， （不符合题意，舍去），所以 ，所以该班级在联赛中的胜场数为 . 16 7．为全面落实劳动教育，某校在如图所示的两面成直角的围墙角落(两面墙足够长)用篱笆围成矩形花圃ABCD，且BC>AB，所用篱笆总长为30 m，设AB＝x m. (1)花圃ABCD的面积为 m2(用含x的代数式表示)； (2)若篱笆围成的矩形ABCD的面积为200 m2，现要在花圃ABCD的对角线上修一条小道BD(小道宽度忽略不计)，则小道BD的长为 m(结果保留根号)． (30x－x2) 10 8．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点(点A在第四象限)，点B、点C分别在x轴和y轴上，且矩形ABOC的面积为3，则点A的坐标为 ． (1，－3)或(3，－1) 9．如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长． 解：设正方形的边长为x cm，根据题意，得 (10－2x)(6－x)＝24， 解得x＝2或x＝9(舍去)， 答：剪去的正方形的边长为2 cm. 10.教材复习题变式 [2026廊坊十七中月考]某校为让学生体验农耕劳动，准 备建一个矩形蔬果种植试验田.如图，该试验田一边靠 长的墙，另三 边用围栏围成，围栏总长 ，围成的矩形试验田四周不能有空隙. 20 （1）若要使围成的矩形试验田的面积为 ，求该矩形试验田的长和宽. 解：设，则 . 根据题意，得，整理，得 ， 解得， . 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意． 因此该矩形试验田的长为，宽为 . 21 （2）能围成一个面积为 的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如 果不能，说明理由. 解：不能围成一个面积为 的矩形试验田.理由如下： 假设可以围成，设，则 ， 根据题意，得，整理，得 ， 解得 ， 当时， ，不符合题意，舍去， 假设不成立. 因此不能围成一个面积为 的矩形试验田. 22 11.[2026武汉江汉区五校联考]综合与实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒. 如图1，有一张长，宽 的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的 四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） 23 （1）若纸盒的底面积为 ，求剪去的小正方形的边长. 解：设剪去的小正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为 ，宽为 . 由题意，得 ， 解得， . 当时，, ，符合题意； 当时，， ，不符合题意， 舍去. 答：剪去的小正方形的边长为 . 24 （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的小正 方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可 将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为 ，求剪去的小正方形的边长. 解：设剪去的小正方形的边长为 ， 由题意，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为 ． 25 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， PQ的长度等于2 cm? (2)在(1)中，△PQB的面积能否等于7 cm2？请说明理由． 解：(1)设x s后， PQ＝2cm，则 BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm. ∴(5－x)2＋(2x)2＝(2)2. 解得x1＝3，x2＝－1(舍去)． 答：3 s后，PQ的长度等于2 cm. (2)△PQB的面积不能等于7 cm2.理由： 设t s后，PB＝(5－t) cm，QB＝2t cm. ∵S△PQB＝BP·QB＝7， ∴×2t(5－t)＝7，即t2－5t＋7＝0. ∵Δ＝52－4×1×7＝25－28＝－3＜0， ∴方程没有实数根． ∴△PQB的面积不能等于7 cm2. $