25.3.2传播问题与变化率问题-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与变化率问题，通过药品成本下降率实例导入，先探究下降率概念及公式，再对比甲、乙药品下降率过渡到增长率问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是结合病毒传播、商品降价等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界，通过方程建立与解的检验发展数学思维，课堂小结系统整理增长/下降率公式助学生用数学语言表达规律。学生能提升应用能力，教师可高效落实核心素养。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.3.2 实际问题与一元二次方程（传播问题与变化率问题）练习题 知识点回顾：本节包含两大高频题型，是一元二次方程实际应用的核心考点。1.传播倍增问题：通用公式$$(1+x)^n=\text{总数量}$$，$$x$$为每轮传播人数，$$n$$为传播轮数，适用于病毒传播、信息扩散、细胞分裂等问题；2.增长率/下降率问题：通用公式$$a(1\pm x)^2=b$$，$$a$$为初始量，$$x$$为平均变化率，增长取“+”，下降取“-”，$$b$$为两次变化后的最终量。解题关键：找准初始量、变化次数、最终量，舍去不符合实际的负数解。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 某种病毒每轮每人传染$$x$$人，1人初始感染，经过两轮传染后共有81人感染，列方程正确的是（） A. $$1+2x=81$$ B. $$(1+x)^2=81$$ C. $$1+x^2=81$$ D. $$1+x+x^2=81$$ 2. 某商品原价100元，连续两次降价，平均每次降价百分率为$$x$$，现价81元，方程为（） A. $$100(1-2x)=81$$ B. $$100(1-x)^2=81$$ C. $$100x^2=81$$ D. $$100(1+x)^2=81$$ 3. 某种植物主干长出分支，每个分支又长出相同数量小分支，主干、分支、小分支总数91，设每个分支长$$x$$个小分支，方程是（） A. $$1+x+x^2=91$$ B. $$(1+x)^2=91$$ C. $$1+x^2=91$$ D. $$x+x^2=91$$ 4. 某工厂产值两年内从50万元增长到72万元，设年均增长率为$$x$$，则增长率为（） A. 20% B. 22% C. 25% D. 30% 5. 微信朋友圈传播信息，1人首发，每轮1人传播$$x$$人，两轮后共121人知晓，$$x$$的值为（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 连续两次增长率问题通用公式为__________，连续两次下降率通用公式为__________。 2. 初始1人患病，每轮传染5人，一轮后共__________人患病，两轮后共__________人患病。 3. 某产品原价200元，两次涨价后为242元，若平均涨价率相同，则涨价率为__________。 4. 一台电脑病毒每轮传染$$x$$台电脑，两轮传染后共144台中毒，列方程__________。 5. 某农场粮食年产量两年增产44%，两年增长率相同，则年均增长率为__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）病毒传播问题：有一种流感病毒，若一人患病，经过两轮传染后共有196人患病，求每轮平均一人传染几人？ 2.（20分）增长率问题：某商场今年一月份营业额为25万元，三月份营业额达到36万元，若二、三月份营业额月平均增长率相同，求月平均增长率。 3.（20分）综合变化率问题：某品牌手机原价3000元，经过两次相同百分率的降价后，售价为2430元，求每次降价的百分率。 参考答案 一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.A 5.B 二、填空题：1.$$a(1+x)^2=b$$、$$a(1-x)^2=b$$ 2.6、36 3.10% 4.$$(1+x)^2=144$$ 5.20% 三、解答题：1.解：设每轮平均一人传染$$x$$人。由题意得$$(1+x)^2=196$$，开方得$$1+x=\pm14$$，解得$$x_1=13$$，$$x_2=-15$$（舍去）。答：每轮平均一人传染13人。 2.解：设月平均增长率为$$x$$。列方程：$$25(1+x)^2=36$$，解得$$1+x=\pm1.2$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：月平均增长率为20%。 3.解：设每次降价百分率为$$x$$。列方程：$$3000(1-x)^2=2430$$，化简得$$(1-x)^2=0.81$$，解得$$1-x=\pm0.9$$，$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=1.9$$（舍去）。答：每次降价的百分率为10%。 25.3.2传播问题与变化率问题 学习目标 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点) 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点) 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习目标 新课导入 导入课题 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 本节课我们学习增长/下降率问题. 推进新课 知识点1 有关增长/下降率的问题 探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？ 下降率是下降额与原成本的比值； 下降率= ×100% 原成本－终成本 原成本 ①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示） ②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？ 5000(1-x) 5000(1-x) 2 终成本=原成本×(1－下降率)2 5000(1-x)2=3000 应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数. 成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. ③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系 可得方程 . ④成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？ 终成本=原成本×(1－下降率)2 6000(1-y)2=3600 ⑤解决下面的问题，它与探究2有什么不同？ 某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率. 解：设总产值的年平均增长率为x. 依题意100(1+x)2=121， 解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去)， ∴年平均增长率为10%. 与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率. 知识点1 传播问题 1. 某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其 他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每 名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个 实验.若设1人每次都能教会 名同学，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 中考考法 10 随堂演练 基础巩固 1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2. 受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额 由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25% B A 3. 某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率. 解：设这种药品每次降价的百分率为x. 由题意125(1-x)2=80. 解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去) 答：这种药品每次降价的百分率为20%. 2. “水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地 让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再 把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红 一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发 给了____人. 12 中考考法 13 知识点2 变化率问题 3. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力 度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年 接待游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 中考考法 14 4. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半； 三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会 被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练， 技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为( ) （参考数据： ） B A. B. C. D. 中考考法 15 5. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人， 特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份 的销售量是720件. 中考考法 16 （1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同， 求月平均增长率； 【解】设月平均增长率为 ， 由题意得 ， 解得或 （不符合题意，舍去）. 月平均增长率为 . 中考考法 17 （2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每 件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降 低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促 销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元， 则售价应降低多少元？ 中考考法 18 设售价应降低 元， 由题意得 ， 整理得 ， 解得或 . 商家决定降价促销，同时尽量减少库存， . 售价应降低20元. 中考考法 19 6. [2026德州期中] 为助力实现“双碳”目标， 某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知 该企业生产某种零件的成本为10元/个，且 规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场 调研发现，该零件每周的销售量 （个）与 销售单价 （元/个）之间满足一 D A. 25元 B. 20元或40元 C. 40元 D. 20元 次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件 可获利6 000元，则该零件的销售单价应定为( ) 中考考法 20 课堂小结 增长(下降)率问题 增长率问题 下降率问题 基数为a,平均增长/下降率为x 第一次增长 第二次增长 第n次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n $