25.3.2 传播问题与变化率问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与变化率问题，核心知识点包括传播倍增模型((1+x)^n)和平均变化率模型(a(1±x)^n=b)。课堂通过视频导入观察传染病传播特征，结合合作探究、画传染示意图、表格梳理数量关系等学习支架，帮助学生从具体实例到抽象模型构建知识脉络。 其亮点在于以实际问题为载体，通过“两轮传染121人”“年均增长率20%”等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，借助合作探究和解题步骤训练发展数学思维（推理意识、运算能力），用方程模型表达问题体现数学语言（模型意识）。分层练习和详细解析助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.3.2传播问题与变化率问题 第25章 一元二次方程 25.3.2 传播问题与变化率问题 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 病毒/传播倍增模型：初始数量为1，每轮平均1人传播$$x$$人，经过两轮传播后总数量公式：$$(1+x)^2$$。多轮传播呈指数增长，是考试必考基础模型，适用于病毒传播、短信转发、传染扩散等场景。 2. 增长率问题模型：基数为$$a$$，平均增长率为$$x$$，连续增长两次后总量：$$a(1+x)^2$$；连续下降两次后总量：$$a(1-x)^2$$。适用于产量、销量、存款增长、降价、减产等实际问题。 3. 标准解题步骤：①找准初始基数、变化率、变化次数；②套用对应公式列出一元二次方程；③准确解方程；④检验取值，增长率、人数均为正数，且需符合实际场景。 4. 高频易错点：传播问题切勿算成$$1+x+x^2$$（总感染人数易错公式），教材标准公式为$$(1+x)^2$$；变化率问题必须区分增长与降低，公式符号不可混淆，同时舍去负数解。 二、基础练习题 （一）填空题 1. 某种病毒传播，一人每轮传染$$x$$人，经过两轮传染后共有81人患病，可列方程________。 2. 某工厂产品年产量为100件，年均增长率为$$x$$，两年后总产量为144件，列方程________。 （二）基础解答题 3. 某种流感病毒传播，一人患病，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均一人传染几人？ 三、提升练习题 （三）拔高解答题 4. 某品牌手机销量逐年增长，今年销量为5000台，计划两年后销量达到7200台，求年均增长率。 5. 某药店口罩库存积压，连续两次降价销售，原价每包25元，两次降价后售价为16元，若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率。 四、参考答案与解析 1. $$(1+x)^2=81$$ 解析：两轮传播标准模型，初始1人，每轮传染$$x$$人，两轮后总人数为$$(1+x)^2$$。 2. $$100(1+x)^2=144$$ 解析：基数100，增长率$$x$$，连续两年增长，套用增长公式列方程。 3. 解：设每轮平均一人传染$$x$$人。根据题意得：$$(1+x)^2=121$$，开方得$$1+x=\pm11$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-12$$（人数不能为负，舍去）。答：每轮平均一人传染10人。 4. 解：设年均增长率为$$x$$。列方程：$$5000(1+x)^2=7200$$，化简得$$(1+x)^2=1.44$$，解得$$1+x=\pm1.2$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去）。答：年均增长率为20%。 5. 解：设每次降价百分率为$$x$$。列方程：$$25(1-x)^2=16$$，化简得$$(1-x)^2=0.64$$，解得$$1-x=\pm0.8$$，$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（降价率不能大于1，舍去）。答：每次降价的百分率为20%。 总结：传播与变化率问题核心为平方模型，两轮变化统一用平方公式。传播问题记$$(1+x)^2$$，增长问题记$$a(1+x)^2$$，下降问题记$$a(1-x)^2$$，所有负值、不符合实际的解必须舍去，是中考高频基础应用题。 学习目标 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点) 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点) 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习目标 点击视频播放→ 观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 某种传染病的送染速度很快，如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人? 【合作探究1】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 动手操作：请画出传染示意图 (设传染 x 轮). 传染原 一轮 二轮 A 1 2 x ... 1 2 x ... 1 2 x ... 1 2 x ... A 1 2 x ... 探究点1：一元二次方程解决传播问题 根据示意图，填写下列表格并作答. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1 + x = (1+x)1 1+x+x(1+x) = (1+x)2 x1 = ，x2 = 解方程，得 答：因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 10 −12 (不合题意,舍去). 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. (1 + x)2 = 121. 列方程 探究点1：一元二次方程解决传播问题 【思考】(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 (1 + x)1 (1 + x)2 (1 + x)3 分析 3 轮传染后的人数是:(1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感? (1 + x) + … + x(1 + x)n = (1 + x)n人 探究点1：一元二次方程解决传播问题 x1 = 11， x2 = −12 (不合题意，舍去). 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 133， 即 x2 + x −132 = 0. 解得 答：每个支干长出 11 个小分支. 探究点1：一元二次方程解决传播问题 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 【交流讨论】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 【练一练】1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 探究点1：一元二次方程解决传播问题 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60(1 + x)2 = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. (2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个). 60(1 + x)2x 60(1 + x)2 60(1 + x)3 60(1 + x)2 探究点1：一元二次方程解决传播问题 【合作探究2】 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？ 甲：(10 000 - 6000)÷2＝2000 (元)； 乙：(12 000 - 7200)÷2＝2400 (元). 问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？ 下降率 = 下降前的量−下降后的量 下降前的量 ×100% 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 请自己动手写出分析过程并尝试解答. 下降 下降 现在成本 一年前成本 两年前成本 成本价 成本价(1-下降率) 一年前成本(1-下降率) 甲 乙 10000 12000 设甲下降率 x，设乙下降率 y. 10000(1 - x) 12000(1 - y) 10000(1 - x)(1 - x) 12000(1 - y)(1 - y) 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 10 000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10 000(1－x²) 元，于是有 10 000(1－x²)＝6 000 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 − y) 元，两年后乙种食品成本为 12 000(1 − y)2 元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. y1≈0.225， y2≈1.775. 12 000(1 − y)2＝7 200 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________. 不一定较大 降前及降后的价格 一般下降率不可为负，且不大于 1. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 某年 一年后 二年后 1585 增长 x 增长 x 1585(1+ x) 1585(1+ x)(1+ x) 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 解：设某市的平均每年增长率为 x. 由题意，得 1585(1 + x)2 = 2180 解得 x1≈0.172 ，x2≈-2.172 (不符合题意，舍). 答：某市的平均每年增长率约为 17.2%. 总结：增长率不可为负，但可以超过 1. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 总结 平均变化率： 平均增长(或降低)百分率为 x 增长(或降低) n 次前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 【练一练】2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x. 根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 知识点1 传播问题 1. 某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其 他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每 名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个 实验.若设1人每次都能教会 名同学，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 中考考法 22 2. “水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地 让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再 把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红 一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发 给了____人. 12 中考考法 23 知识点2 变化率问题 3. 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力 度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年 接待游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 4. 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半； 三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观.”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会 被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练， 技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为( ) （参考数据： ） B A. B. C. D. 中考考法 25 5. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人， 特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是500件，3月份 的销售量是720件. 中考考法 26 （1）若该网店1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同， 求月平均增长率； 【解】设月平均增长率为 ， 由题意得 ， 解得或 （不符合题意，舍去）. 月平均增长率为 . 中考考法 27 （2）市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型的进价为每 件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降 低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促 销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元， 则售价应降低多少元？ 中考考法 28 设售价应降低 元， 由题意得 ， 整理得 ， 解得或 . 商家决定降价促销，同时尽量减少库存， . 售价应降低20元. 中考考法 29 6. [2026德州期中] 为助力实现“双碳”目标， 某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知 该企业生产某种零件的成本为10元/个，且 规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场 调研发现，该零件每周的销售量 （个）与 销售单价 （元/个）之间满足一 D A. 25元 B. 20元或40元 C. 40元 D. 20元 次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件 可获利6 000元，则该零件的销售单价应定为( ) 中考考法 30 传播、平均变化率问题 传播问题：(1＋x)n 平均变化率问题：a(1±x)n＝b 课堂小结 EV录屏3.9.3软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $