《第12章定义 命题 证明》暑假巩固提升综合练习题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦定义、命题、证明核心概念，通过辨析、推理、证明三阶训练，系统构建逻辑推理方法体系，培养数学思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选8题+填空5题|命题定义判断、基本事实与定理区分、推理依据分类|从定义生成（命题、定义）到性质理解（真假命题、逆命题）| |命题转化|填空4题+解答2题|命题改写“如果…那么…”形式、逆命题构造与真假判断|概念应用到形式转化，体现数学语言表达| |逻辑证明|解答6题|反证法步骤、综合法推理（如平行线性质与判定互逆）、举反例证假命题|从简单推理到复杂证明，构建“概念-推理-应用”逻辑链|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第12章定义 命题 证明》 暑假巩固提升综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 2．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 3．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 4．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的面积相等 6．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 7．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（  　） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 8．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（满分24分） 9．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 10．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为__________． 11．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么__________． 12．命题“若，则”的逆命题是_____________命题（填“真”或“假”）． 13．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 14．定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：_________． 15．命题“如果，那么与互为邻补角”的逆命题是________________，它是______命题（填“真”或“假”）． 16．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）回忆并写出下列概念的定义： (1)平移； (2)旋转； (3)轴对称； (4)中心对称． 18．（8分）下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 19．（6分）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 20．（6分）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)两个锐角的和是钝角． 21．（8分）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 22．（8分）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 23．（8分）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 24．（10分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 25．（10分）已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 参考答案 1．B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定， 所以都不是定义，只有是定义． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 5．C 【分析】本题考查了命题的逆命题以及判定命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断即可，熟记相关数学结论是解题关键． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题为：相等的两个角是对顶角．逆命题是假命题，不符合题意； B、“若，则”的逆命题为：若，则．若，，此时，故逆命题是假命题，不符合题意； C、“两直线平行，同位角相等”的逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知逆命题是真命题，符合题意； D、“全等三角形的面积相等”的逆命题为：面积相等的三角形一定全等，一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，故逆命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是通过反例的方法代入数据进行计算． 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可． 【详解】解：A、，满足，但，选项不符合题意； B、，满足，但，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，选项正确，符合题意； C、，满足，但，选项不符合题意； D、，满足，但，选项不符合题意； 故选：B． 7．A 【分析】题目主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 写出命题的逆命题，然后根据平行线的判定和性质进行判断即可 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”，根据平行线的判定定理，若同旁内角互补，则两直线平行，故原命题为真命题； 逆命题为：若两直线平行，则它们被第三条直线所截形成的同旁内角互补，根据平行线的性质定理，逆命题也为真命题， 综上，原命题和逆命题均为真命题， 故选：A 8．C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 9． 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 10．如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角 【分析】根据逆命题的书写格式，如果…那么的形式写出即可． 本题考查了写逆命题，精准确定题设和结论是解题的关键． 【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补， 故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 11．0（答案不唯一） 【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，，此时； ∴“”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 12．真 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1，两边都减去1，可得答案. 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， 若， 两边都减去1，得， 所以是真命题. 故答案为：真. 13．1 【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量． 【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论， 所以命题一定有逆命题，故①正确． 因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题）， 所以真命题不一定是定理，故②错误． 因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题， 所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误． 因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题， 所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误． 综上，正确的结论有1个． 故答案为：1． 14．如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是将原定理的条件和结论互换，原定理的条件是“两个数互为倒数”，结论是“它们的乘积等于1”，因此逆定理是“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数” ． 【详解】解：根据逆定理的定义，将原命题“如果，那么”中的条件和结论互换，得到逆命题“如果，那么”． 这里是“两个数互为倒数”，是“它们的乘积等于1”， 所以逆定理为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数”． 故答案为：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 15． 如果与互为邻补角，那么 真 【分析】本题考查逆命题，邻补角的定义，熟悉逆命题和邻补角的定义是解决此题的关键．把原命题的条件和结论互换后，写出逆命题，再根据邻补角的定义，即可判断命题的真假． 【详解】解：逆命题为：如果与互为邻补角，那么，是真命题； 故答案为：如果与互为邻补角，那么，真． 16．①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了平移、旋转、轴对称、中心对称的定义等知识点，牢记它们的定义成为解题的关键． 直接根据平移、旋转、轴对称、中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移． （2）解：一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转． （3）解：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称． （4）解：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称． 18．(1)不是，是作图语言，没有判断 (2)不是，是问句 (3)是，能作出判断 (4)不是，是问句 【分析】本题考查了命题的概念“命题是对某件事情做出是或不是的判断”，命题是陈述句，掌握以上知识点是解题的关键； 根据命题的知识，对每一问进行逐一辨别，即可求解； 【详解】（1）解：“连接A，B两点”是作图语言，没有判断，不是命题； （2）解：“这本书是你的吗？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； （3）解：“邻补角不相等”是陈述语句，进行了判断，符合命题概念，是命题； （4）解：“小亮今天是不是生病了？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题的条件和结论； （1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； 理解命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 20．(1)逆命题：如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． (2)逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 【分析】本题主要考查真假命题及逆命题，熟练掌握真假命题及逆命题是解题的关键； （1）根据逆命题的定义写出原命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）先写出原命题的逆命题，然后再判断真假即可 【详解】（1）原命题的逆命题为如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． （2）原命题的逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 21．；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：（1）证明：假设． 如图2，过点作直线，使． （同位角相等，两直线平行）， 又，且直线经过点， 过点存在两条直线、与直线平行， 这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立， ． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 22．（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． （1）根据平行线的性质证明，，等量代换可证； （2）根据平行线的性质证明，等量代换可证，从而可证，然后根据平行线的性质可证所得的命题是真命题． 【详解】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 23．（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （4）根据结果得出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 理由：∵，， ∴，， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴； （4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补． 学科网（北京）股份有限公司 $