25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式、根的判别式及解题步骤。课堂导入通过回顾配方法步骤，引导用配方法推导一般形式方程的解，衔接旧知构建知识支架，帮助学生理解公式来源。 其亮点在于注重数学思维与应用意识培养，通过推导求根公式发展推理能力，分层练习题如综合应用题证明方程根的情况提升应用意识。步骤总结和易错点提示规范解题，助力学生夯实基础，教师可利用其系统资源提升教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.2.2 公式法 练习题 知识点回顾：对于一元二次方程一般形式 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，通过配方法可推导出求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$。我们把 $$\Delta=b^2-4ac$$ 叫做根的判别式：①$$\Delta>0$$，方程有两个不相等的实数根；②$$\Delta=0$$，方程有两个相等的实数根；③$$\Delta<0$$，方程无实数根。公式法适用于所有有实数根的一元二次方程，解题步骤：定系数、算判别式、代入公式、化简求根。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程 $$2x^2-3x+1=0$$ 的判别式 $$\Delta$$ 的值为（） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 2. 方程 $$x^2-2x+2=0$$ 的根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 3. 用公式法解方程 $$3x^2-5x-1=0$$，其中 $$a、b、c$$ 的取值正确的是（） A. $$a=3,b=-5,c=-1$$ B. $$a=3,b=5,c=1$$ C. $$a=3,b=-5,c=1$$ D. $$a=-3,b=5,c=-1$$ 4. 若一元二次方程 $$x^2-4x+m=0$$ 有两个相等的实数根，则 $$m$$ 的值为（） A. 2 B. 4 C. -4 D. 16 5. 一元二次方程 $$x^2+x-1=0$$ 的根是（） A. $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$ B. $$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ C. $$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$$ D. $$x=-1\pm\sqrt{5}$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程求根公式为__________。 2. 方程 $$x^2-6x+9=0$$ 的判别式 $$\Delta=$$__________，方程有__________实数根。 3. 已知方程 $$2x^2+3x+k=0$$ 有两个不相等实数根，则 $$k$$ 的取值范围是__________。 4. 用公式法解方程 $$x^2-2x-3=0$$，计算得 $$\Delta=$$__________，方程的根为__________。 5. 若方程 $$ax^2+4x+1=0$$ 有实数根，则 $$a$$ 的取值范围是__________。 三、解答题（共60分） 1.（24分）用公式法解下列一元二次方程。 （1）$$x^2+2x-8=0$$ （2）$$2x^2-x-1=0$$ （3）$$3x^2-2x-2=0$$ （4）$$x^2-4x+2=0$$ 2.（18分）先判断根的情况，再用公式法求解。 （1）$$x^2+6x+9=0$$ （2）$$2x^2-3x+2=0$$ （3）$$4x^2-1=0$$ 3.（18分）综合应用题。 （1）已知关于 $$x$$ 的方程 $$x^2-(m+2)x+2m=0$$，求证：无论 $$m$$ 取何值，方程总有实数根； （2）已知一元二次方程 $$2x^2-4x+k=0$$，当 $$k$$ 为何值时，方程有两个不相等的实数根？并取一个符合条件的 $$k$$ 值解方程。 参考答案 一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.B 5.A 二、填空题：1.$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac\geq0)$$ 2.0，两个相等 3.$$k\lt\frac{9}{8}$$ 4.16，$$x_1=3,x_2=-1$$ 5.$$a\leq4$$且$$a eq0$$ 三、解答题：1.（1）$$x_1=2,x_2=-4$$；（2）$$x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$$；（3）$$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$$；（4）$$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$$。2.（1）$$\Delta=0$$，两个相等实数根，$$x_1=x_2=-3$$；（2）$$\Delta=-7\lt0$$，无实数根；（3）$$\Delta=16\gt0$$，$$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$$。3.（1）证明：$$\Delta=(m+2)^2-8m=(m-2)^2\geq0$$，恒有实数根；（2）$$k\lt2$$，取$$k=0$$，解得$$x_1=0,x_2=2$$（取值不唯一）。 25.2.2 公式法 学习目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点) 2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根 的判别式进行相关的计算或推理. 学习目标 新课导入 导入课题 （1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法. 学习目标 （1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况. （2）会用公式法解一元二次方程. 推进新课 知识点1 一元二次方程根的判别式 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？ ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项系数化为1，得 配方，得 即 因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况： ①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的 实数根 ②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的 实数根 ③当b2－4ac<0时， <0，方程没有实数根. Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式. 当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 巩固练习 不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况. x2+5x+6=0； 9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =52-4×1×6 =1>0 方程有两个不等的实数根 Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根 2x2+4x－3=2x－4； x(x+4)=8x+12. 化简得 2x2+2x+1=0 Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0 方程无实数根 化简得 x2-4x-12=0 Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0 方程有两个不等的实数根 知识点2 用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.   例2 用公式法解下列方程： 解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0 (3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x. 解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1) =36>0 解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 Δ= b2－4ac =(-8)2-4×1×17 =-4＜0 方程无实数根 思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题. 随堂演练 基础巩固 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ） A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0 C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0 B 3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分 别是（ ） 2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0. 下列说法正确的是（ ） A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解 C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解 B C   知识点1 一元二次方程根的判别式 1. [2025安徽] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ( ) D A. B. C. D. 2. [2026深圳期末] 一元二次方程 的根的情况 是( ) B A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 中考考法 18 3. [2025内江] 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. 且 D. 且 【点拨】 关于的一元二次方程 有 实数根，，且 ， 解得且 . 中考考法 19 知识点2 一元二次方程的求根公式 4. 一元二次方程 在用求根公式 求解时,,, 的值分别是( ) D A. 3,, B. ,,3 C. ,3,1 D. ,3, 5. 若 是一元二次方程 的根，则 ( ) D A. B. 4 C. 2 D. 0 中考考法 20 知识点3 用公式法解一元二次方程 6. 利用公式法解一元二次方程 可得两根分 别为，，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 中考考法 21 课堂小结 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac 求根公式 (b2－4ac≥0) 当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根. $