27.3 实际问题与反比例函数 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过回顾列车速度与时间关系导入，以工程、力学等实际问题为支架，引导学生经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的学习过程。 其亮点在于以数学建模为主线，结合港口卸货、杠杆原理等实例抽象变量间反比例关系，培养抽象能力与模型意识，归纳解题步骤强化推理能力，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 学习目标 1．运用反比例函数的知识解决实际问题. 2．经历“实际问题--建立模型--拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力. 3．经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 学习重难点 难点 重点 运用反比例函数解决实际问题. 抽象得出实际问题中变量间的反比例函数关系. 回顾复习 第1节问题1回顾 （1）平均速度 v与全程运行时间 t具有反比例函数关系 . （2）该函数的系数1 318>0，v随着t的增大而减小，即路程一定时，用时越长，则行驶速度越小. （3）已知全程运行时间 t，可以由函数解析式求出平均速度 v，反之亦可. 通过前面的学习我们可以从函数的角度得到一下结论： 问题1　京沪线铁路全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化. 典型例题 例1（工程问题） 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机 平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的 总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 6 解：（1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于的 t函数解析式为 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? . （2）把 t ＝ 6 代入 ，得 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h卸载完，那么平均每小时卸载 1050 t.对于函数 ,当 t＞0 时，t 越小，v 越大.这样若货物不超过6 h卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t. (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? . 归纳总结 （1）轮船上的货物总量k，平均卸货速度v与卸载时间t三个量之间的关系：k=vt. （2）已知v和t通过上述关系式可以求得k=6300，在k一定的情况下，平均卸货速度v与卸载时间t是反比例关系： （3）已知卸载时间t不超过6 h，求平均卸货速度v的最小值.先求当t=6时，代入 ，求出平均卸货速度v=1050，再根据具体问题的指向，或该反比例函数中t越小，v越大，求出v至少是1050. 实际问题 拓展应用 建立模型 知识拓展 阻力 动力 阻力臂 动力臂 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆定律”.通俗的说，杠杆原理为: 阻力×阻力臂=动力×动力臂 为定值 反比例关系 典型例题 例2（反比例函数在力学中的应用） 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. （1）动力 F （单位：N）与动力臂 l （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 阻力 动力 阻力臂 动力臂 阻力×阻力臂=动力×动力臂 11 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. （1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：根据“杠杆原理”，得 Fl = 1 200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l = 1.5 m 时， （N），此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力. （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：对于函数 ，当l＞0时，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F = 200N时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 当 F=400×0.5=200 N 时， 3－1.5=1.5（m）. 对于函数 ，当l>0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂至少要加长 1.5 m. 归纳总结 （1）根据“杠杆原理”和已知阻力、阻力臂可得动力 F 与动力臂 l 的乘积为定值600. （2） 建立动力 F 与动力臂 l 的反比例关系. （3）已知动力臂 l 时，可利用上述反比例关系求动力 F；已知动力 F时，可利用上述反比例关系求动力臂 l . 力学问题 拓展应用 建立模型 课堂巩固 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L (1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S (单位：dm2)与漏斗的深d (单 位：dm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深 为多少？ 解：(1) (2) 30 cm. 2.新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2. （1）所需瓷砖的块数 n 与每块瓷砖的面积 S 有怎样的函数关系？ （2）为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是 80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？ 解：（1） （2）设需灰、白、蓝三种瓷砖各2x、2x、x块. 则（2x + 2x + x）·80 = 5×103×104，解得 x = 1.25×105. 因此，需灰、白、蓝三种瓷砖各2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块. 3.市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱形煤气储存室. （1）储存室的底面积S (单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临 时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？ 17 解: (1)根据圆柱的体积公式，得 Sd= 104， 所以S关于d的函数解析式为 . 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱形煤气储存室. 储存室的底面积S (单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深？ （2）把S=500代入  ，得 解得 d=20(m). 如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深. （3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临 时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？ 解得　 S ≈ 666.67（m2） 当储存室的深度为 15 m 时，底面积约为 666.67 m2. （3）根据题意，把 d =15 代入　　　 ，得 课堂小节 建立反比例函数模型解决实际问题的过程： 审 列 设 写 解 审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围 用函数解析式去解决实际问题 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第2课时） 学习目标 1．运用反比例函数的知识解决实际问题. 2．经历“实际问题--建立模型--拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力. 3．经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 学习重难点 难点 重点 运用反比例函数解决实际问题. 抽象得出实际问题中变量间的反比例函数关系. 典型例题 例1 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：(1)由图可知，当力F为10 N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 典型例题 例1 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：(2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由(1)可知其解析式为. 典型例题 例1 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：(3)将s=100代入，可得F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m， 力F要大于5 N. 典型例题 例2 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h）与行驶全程所用时间t（单位:h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图可知，当t=2时，v=120，于是有; 当v=60 时，由①得t=4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. 典型例题 例2 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h）与行驶全程所用时间t（单位:h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天 10 时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 解：(2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2 h，代入①，可得v=90(km/h);若当天 11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3 h，代入①，可得v=80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是 80≤v≤90. 课堂巩固 1.一司机驾汽车从甲地去乙地，以 80 千米/小时的平均速度用 6 小时到达目的地. （1）当他按原路匀速返回时，汽车速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）有怎样的函数关系？ （2）如果该司机必须在 4 小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？ 解：(1) (2) 120km/h. 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积 V （单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示. （1）写出这个反比例函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8 m3 时，气体的气压是多少千帕？ （3）当气体的气压是144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 解：（1）设 ，由图象知 A（1.5，64）在图象上，代入上式，得 k = 1.5×64 = 96. 所以这个函数解析式为 . （2）当 V = 0.8 m3 时， （kPa）. （3）当p=114 kPa时， ，解得V= m3 . 3.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω．已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. （1）功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？ （2）这个用电器功率的范围多少？ R U 解：（1）根据电学知识，当 U=220 时，得 ① 33 （2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R=110 代入 ① 式，得到功率的最大值 把电阻的最大值 R=220 代入 ① 式，得到功率的最小值 因此，用电器的功率为 220～440 W . 课堂小节 物理问题 反比例函数关系 建立反比例函数模型 运用反比例函数的图象和性质 物理中的一些反比例关系： 速度公式： ，位移S确定时，平均速度v和时间t成反比例关系； 密度公式： ，气体质量m确定时，密度ρ与体积V成反比例关系； 压强公式： ，力F确定时，压强P与受力面积S成反比例关系； 欧姆定律： ，电压U确定时，电流I与电阻R成反比例关系. 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 学习目标 1．根据数据和图象特征，选择合适的函数模型确定函数解析式.利用函数解决问题. 2．经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 学习重难点 难点 重点 根据数据和图象特征，选择合适的函数模型确定函数解析式. 利用函数解决问题. 探究 某物理实验小组研究气体的压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据. 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系?如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 分析:由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，如图（1）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图（2）中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. (2)建立模型.设函数解析式为（V＞0），根据表中数据，分别求出k的值，列出表. V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 k=(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. (4)求解问题.将p=132代入①，得 解得 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积约为15.13 mL. 课堂巩固 小明根据医学检测的相关数据和学习函数的经验,对某一成人喝250m低度白酒后,其血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究,发现血液中酒精含量y(单位:mg/100mL)是饮酒后的时间x(单位:h)的函数.下表记录了6h以内11个时间点r随x(x>0)的变化情况: 如图,小明在平面直角坐标系中,描出了上表中以各组对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出血液中酒精含量r随时间x变化的函数大致图象.请你和小明一起探究,回答下列问题: (1)分析表格中的数据,求当x＞时,y关于x的函数解析式,并写出m=_______； (2)观察函数图象,写出该函数的一条性质:__________________; 如图,小明在平面直角坐标系中,描出了上表中以各组对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出血液中酒精含量r随时间x变化的函数大致图象.请你和小明一起探究,回答下列问题: (3)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100m时属于“酒后驾驶”不能驾车上路.参照上述数学模型,假设此人晚上20:00在家喝完250m低度白酒,第二天早上7:30能否驾车去上班?请说明理由. 解：（1）结合表格中的数据观察题图，知当x>时，y与x成反比例函数关系. 当x=时，y=150，∴xy=×150=225， ∴当x>时，y关于x的函数解析式为y= . 把x=5代入，得m= =45. （2）当x≥时，y随x的增大而减小（答案不唯一，合理即可）. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （3）能驾车去上班. 理由如下：由此人晚上20：00喝完250 mL低度白酒至第二天早上7：30，得x=11.5. 把x=11.5代入y=，得y= ≈19.57. ∵19.57<20，∴此人不属于“酒后驾驶”，可以驾车去上班. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小节 实际问题 确定函数关系 建立函数 模型 运用函数的图象和性质 $