5 函数的三大基础属性(定义域、值域、对应关系) 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数三大基础属性，以定义域、值域、对应关系为核心考点，按概念解读、方法归纳、实例应用的逻辑架构展开，通过考点梳理明确三要素内在联系，方法指导细化定义域求法和值域多元策略，真题训练覆盖选择填空解答等题型，帮助学生系统突破函数基础难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如抽象函数定义域通过“对应法则一致性”分析强化推理意识，值域求法整合换元法、判别式法等培养运算能力，设置分层练习适配不同学情。其系统性设计助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生函数问题解决能力与应考素养。

5函数的三大基础属性(定义域、值域、对应关系) 一般地, 设 是非空实数集, 如果对于集合 中的任意一个数 , 按照某种确定的对应关系 , 在集合 中都有唯一确定的数 和它对应, 那么就称 为从集合 到集合 的一个函数, 记作 , 其中 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域; 与 的值相对应的 值叫函数值, 函数值的集合 叫做函数的值域. 如果自变量取值 , 则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值, 记作 或 , 所有函数值构成的集合 叫做该函数的值域, 可见集合 是集合 的子集。下面: 对函数概念的五点说明，四个解读: (1) 对数集的要求: 集合 为非空数集; (2) 任意性和唯一性: 集合 中的数具有任意性, 集合 中的数具有唯一性; (允许一对一或者多对一, 不能一对多) (3) 符号 ” ” : 它表示对应关系, 在不同的函数中 的具体含义不一样; (4) 一个区别: 是一个符号, 不表示 与 的乘积, 而 表示函数 当自变量 取 时的一个函数值; (5) 函数三要素: 定义域、对应关系、值域是函数的三要素, 三者缺一不可。 解读1: 对应法则 是函数概念的核心, 的含义是: 等于 在法则 下的对应值, 而 是对应得以实现的方法和途径, 是联系 与 的纽带, 因此 是函数关系的本质特征, 甚至用什么字母表示自变量、因变量和对应法则, 是无关紧要的。 解读2: 的含义与 又不同, 前者表示自变量 时所得的函数值, 它是一个常量, 后者是 的函数, 在通常情况下, 是一个变量, 是 的一个特殊值。 解读3: 同一个函数的判定方法: 函数概念含有三个要素, 即定义域 、值域 、和对应法则 , 其中核心是对应法则 , 它是函数关系的本质特征, 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是同一函数, 换言之就是: (1) 定义域不同, 两个函数也就不同. (2) 对应法则不同, 两个函数也就不同. (3) 即使定义域和值域都分别相同的两个函数, 它们也不一定是同一函数, 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。 解读4: 初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系, 对自变量的变化范围缺乏约束, 在应用中容易产生误判; 采用”集合一对应说”之后, 同时关注函数的定义域、对应关系和值域. 其中对应关系是核心, 有如下特征: 对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应. 但对应关系的形式多样, 除了解析式, 还可以是图象, 表格, 文字语言等; 与初中的函数概念相比, 要特别注意定义域必须符合题目要求。 一、定义域 1. 在函数 中, 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域; 2. 常见函数的定义域 ① 一次函数 的定义域为 ; ② 二次函数 的定义域为 ; ③ 指数函数 ( 且 )定义域为 ; ④ 对数函数 ( 且 )的定义域为 ; ⑤ 正弦函数 余弦函数 定义域都为 ; ⑥ 正切函数 的定义域为 . 3. 函数定义域的求法 ① 已知函数解析式, 求定义域, 紧扣”函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念. ② 已知 定义域为 求 定义域: 紧扣”函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念, 定义域就是自变量 的取值范围, 因 中 的作用对象是 , 而 中 的作用对象为 , 故 , 解得 的范围就是 的定义域. ③ 已知 定义域求 定义域: 函数 的定义域是 的作用对象的取值范围, 故 的值域就是 定义域. 4. 综合举例——函数定义域的常见题型及解题常用方法 ① 给出函数解析式, 求其定义域 例1: 求下列函数的定义域, 并用区间法表示: （1） . 答案: 定义域为: ; 定义域为: （2）函数 的定义域为( ) A. (2,3) B. (2,4) C. (2,3)(3,4] D. (-1,3)(3,6] 解析: 由函数 的表达式可知, 函数 的定义域应满足条件: 解得 即函数 的定义域为 , 故选C. 函数 的定义域是( ) 答案: ② 抽象函数的定义域: 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数, 此类题目的关键是注意对应法则, 在同一对应法则作用下, 不管接受法则的对象是什么字母或代数式, 其制约条件是一致的, 即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域, 共有三种类型: 类型一: 已知 的定义域是 , 求 的定义域。该类题目实质上是由不等式 所求 的取值范围就是 的定义域。 例2: 已知函数 的定义域是[0,9], 求函数 的定义域() 解: 由题意知: 解得: 即函数 的定义域为[-3,3] 例3: 已知函数 的定义域为[-1,1], 则函数 的定义域是(B) A. [0,1] B. (0,1) C. [0,1) D. (0,1] 解： 由题意知: 解得: ,又,且不等于，故函数 的定义域为 (0,1) 例4: 设 则 的定义域为(B) A. B. C. D. 解：的值域为，则，解得. 类型二: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。该类题目 的实质是由 的取值范围所求得的 的取值范围就是函数 的定义域。 例5: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域() 解: 即函数 的定义域为 类型三: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。该类题目的解决方法是: 先由函数 的定义域求出函数 的定义域, 再由函数 的定义域取得函数 的定义域。 例6: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。 解: 可得函数 的定义域为[-9,0], , 解得: , 即函数 的定义域为[-3,3] 例7: 已知函数 的定义域为[-1,0), 则 的定义域是() A. B. C. D. [0,2) 解: 函数 的定义域为[-1,0), 所以 , 要使 有意义, 则 , 解得 。 例8: 若函数 的定义域为 , 则实数 的取值范围为() 解析: 翻译: 对 恒成立, 讨论: 当 或 解得 [0,4) 例9: 函数 的值域为 , 则实数 的取值范围为() 解析: 值域取遍 , 则 ，当时，值域为，不符合题意. 二、值域 作为函数三要素之一, 函数的值域也是高考中的一个重要考点, 并且值域问题通常会渗透在各类题目之中, 成为解题过程的重要的一部分, 为此笔者总结了以下方法: 观察法: 对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到; 利用常见函数的值域: 一次函数的值域为 ; 二次函数利用配方法, 结合定义域求出值域; 反比例函数的值域为 ; 指数函数的值域是 ; 对数函数的值域是 ; 正、余弦函数的值域是 ; 正切函数的值域是 ; 单调性法: 先利用函数的单调性, 再由单调性求函数的值域; 分离常数法: 即将有理分式转化为 “反比例函数类” 的形式, 便于求值域; 换元法: 对于一些无理函数 (如 ), 通过换元把它们转化为有理函数, 然后通过求有理函数的值域, 间接地求解原函数的值域; 不等式法: 利用几个重要不等式及推论来求得最值, 进而求得值域, 如: , 当且仅当 时等号成立; 判别式法: 把函数解析式化为关于 的一元二次方程, 利用判别式求值域, 形如 或 的函数适用, 注意 的取值范围 ; 有界性法: 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性, 求出值域, 因为常出现反解出 的表达式的过程, 也称为反解有界性法; 配方法: 它是求 “二次函数型函数” 值域的基本方法, 形如 的函数的值域问题, 均可使用配方法; 数形结合法: 若函数的解析式的几何意义较明显, 如距离、斜率等, 可用数形结合法; 导数法: 利用导数求函数值域时, 一种是利用导数判断函数的单调性, 进而根据单调性求值域; 另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域. 例1. 函数 的值域是 ( ) A.    B.    C.    D. 解析: 的定义域为 , 令 , 所以 , 则 , 所以 . 因为 , 所以 的值域为 故选 D. 例2. 求 的值域 ( ) 解析: 由题意得 因为 , 所以 , 故值域为 例3. 求函数 的值域( ) 解析: 因为 恒成立, 所以函数的定义域为 . 原式可化为 . 整理得 . 若 , 即 , 即 ; 若 , 因为 , 即有 , 所以 , 解得 且 . 综上所述, 函数的值域为 例4. 求函数 的值域( ) 解析: 由定义域为 , 且函数 在区间 上单调递增. 所以函数的值域为 例5. 已知 , 求函数 的值域. 解析: 由 , 得 , 且 故 得 或 . 又 , , 则 . 故 . 因此函数的值域为 . 本题也可利用柯西不等式处理! 例6. 已知函数 , 则 的值域为( ) A.    B.    C.    D. 解析: 因为 的定义域为 , 且 , 所以 解得 . 令 , 则 所以 , 所以 , 即 的值域为 . 故选B. 例7. 求函数 的值域( ) 解析: 令 , 则 , 得 . 因为函数 的对称轴 , 所以函数在区间 上单调递增, 所以值域为 . 故函数 的值域为 三、巩固练习 （一）单选题 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 2．已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又因为，所以， 所以，所以A、C无法判断， 对于B、D，， 所以，即. 3．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 4．已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 5．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 6．已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象读出其周期性及特定点的函数值，利用变量代换将求的值转化为求图象上对应点的纵坐标求解. 【详解】设，由题中图象可知，函数的图象是以为周期的周期函数，即. 且，，. 对于选项 A，令 ，解得 ，则 . 由图象可知，所以，故选项A错误. 对于选项 B，令，解得，则. 由图象可知，所以，故选项B错误. 对于选项 C，令，解得，则. 因为，根据周期性可知.由图象可知，所以，故选项C正确. 对于选项 D，令，解得，则. 因为，根据周期性可知. 由图象可知，所以，故选项D错误. 7．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值. 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用将方程转化为不等式，确定的范围，然后分段讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，解得或， 当时，，此时（舍去）； 当时，，此时， 解得或（舍去）； 当时，，此时，满足题意. 9．已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】C 【分析】首先利用赋值，求出的值，构造辅助函数，推出其满足性质，继而设，则，，，由此结合各选项，即可判断出答案. 【详解】令， 令，则 ， 即，； 由此可知具有可加性，比如令，则，，以此类推， 设，则，得， ，， ，故，， 对于A，，则，则， 即时，，A错误； 对于B，，即，结合A的分析可知，B错误； 对于C，，即，即，则， 故，C正确； 对于D，，即，即，此时，D错误. （二）多选题 10．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 12．（多选）已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】按照各选项的形式，反复利用赋值法，逐个验证即可. 【详解】A，令，得到，又，则，错误. B，令，得到，由选项A知，所以，正确. C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，正确， D，由，则， 所以， ， 由可知，即，错误. （三）填空题 13．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 14．函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 15．若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 16．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【分析】根据为多项式，再结合，可知函数为一次函数，设出解析式求解. 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 17．若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】求解函数值为时的自变量取值，结合值域要求选取端点，使区间长度最大即可. 【详解】， 令，解得或， 由该函数在区间上的值域为， 要使得取最大值，则、， 即的最大值为. 18．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】①由分段函数定义，将自变量转化到负半轴求值； ②利用分段函数分别表示正负半轴的函数值，代入待求式化简，解不等式确定参数范围并取一个值. 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 19．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 20．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 【答案】 【分析】假设存在，不妨设，分为无理数和为有理数两种情况进行讨论即可． 【详解】因为，所以或1， 设存在三个点、、，使得为等边三角形， 则不同时为0或1， 不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，， 综上所述，存在这样的点，该正三角形的面积为. 故答案为：. （四）解答题 21．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5函数的三大基础属性(定义域、值域、对应关系) 一般地, 设 是非空实数集, 如果对于集合 中的任意一个数 , 按照某种确定的对应关系 , 在集合 中都有唯一确定的数 和它对应, 那么就称 为从集合 到集合 的一个函数, 记作 , 其中 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域; 与 的值相对应的 值叫函数值, 函数值的集合 叫做函数的值域. 如果自变量取值 , 则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值, 记作 或 , 所有函数值构成的集合 叫做该函数的值域, 可见集合 是集合 的子集。下面: 对函数概念的五点说明: 三个解读: (1) 对数集的要求: 集合 为非空数集; (2) 任意性和唯一性: 集合 中的数具有任意性, 集合 中的数具有唯一性; (允许一对一或者多对一, 不能一对多) (3) 符号 ” ” : 它表示对应关系, 在不同的函数中 的具体含义不一样; (4) 一个区别: 是一个符号, 不表示 与 的乘积, 而 表示函数 当自变量 取 时的一个函数值; (5) 函数三要素: 定义域、对应关系、值域是函数的三要素, 三者缺一不可。 解读1: 对应法则 是函数概念的核心, 的含义是: 等于 在法则 下的对应值, 而 是对应得以实现的方法和途径, 是联系 与 的纽带, 因此 是函数关系的本质特征, 甚至用什么字母表示自变量、因变量和对应法则, 是无关紧要的。 解读2: 的含义与 又不同, 前者表示自变量 时所得的函数值, 它是一个常量, 后者是 的函数, 在通常情况下, 是一个变量, 是 的一个特殊值。 解读3: 同一个函数的判定方法: 函数概念含有三个要素, 即定义域 、值域 、和对应法则 , 其中核心是对应法则 , 它是函数关系的本质特征, 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是同一函数, 换言之就是: (1) 定义域不同, 两个函数也就不同. (2) 对应法则不同, 两个函数也就不同. (3) 即使定义域和值域都分别相同的两个函数, 它们也不一定是同一函数, 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。 解读4: 初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系, 对自变量的变化范围缺乏约束, 在应用中容易产生误判; 采用”集合一对应说”之后, 同时关注函数的定义域、对应关系和值域. 其中对应关系是核心, 有如下特征: 对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应. 但对应关系的形式多样, 除了解析式, 还可以是图象, 表格, 文字语言等; 与初中的函数概念相比, 要特别注意定义域必须符合题目要求。 一、定义域 1. 在函数 中, 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域; 2. 常见函数的定义域 ① 一次函数 的定义域为 ; ② 二次函数 的定义域为 ; ③ 指数函数 ( 且 )定义域为 ; ④ 对数函数 ( 且 )的定义域为 ; ⑤ 正弦函数 余弦函数 定义域都为 ; ⑥ 正切函数 的定义域为 . 3. 函数定义域的求法 ① 已知函数解析式, 求定义域, 紧扣”函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念. ② 已知 定义域为 求 定义域: 紧扣”函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念, 定义域就是自变量 的取值范围, 因 中 的作用对象是 , 而 中 的作用对象为 , 故 , 解得 的范围就是 的定义域. ③ 已知 定义域求 定义域: 函数 的定义域是 的作用对象的取值范围, 故 的值域就是 定义域. 4. 综合举例——函数定义域的常见题型及解题常用方法 ① 给出函数解析式, 求其定义域 例1: 求下列函数的定义域, 并用区间法表示: （1） . （2）函数 的定义域为( ) A. (2,3) B. (2,4) C. (2,3)(3,4] D. (-1,3)(3,6] ② 抽象函数的定义域: 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数, 此类题目的关键是注意对应法则, 在同一对应法则作用下, 不管接受法则的对象是什么字母或代数式, 其制约条件是一致的, 即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域, 共有三种类型: 类型一: 已知 的定义域是 , 求 的定义域。该类题目实质上是由不等式 所求 的取值范围就是 的定义域。 例2: 已知函数 的定义域是[0,9], 求函数 的定义域() 例3: 已知函数 的定义域为[-1,1], 则函数 的定义域是() A. [0,1] B. (0,1) C. [0,1) D. (0,1] 例4: 设 则 的定义域为() A. B. C. D. 类型二: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。该类题目 的实质是由 的取值范围所求得的 的取值范围就是函数 的定义域。 例5: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域() 类型三: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。该类题目的解决方法是: 先由函数 的定义域求出函数 的定义域, 再由函数 的定义域取得函数 的定义域。 例6: 已知函数 的定义域是 , 求函数 的定义域。 例7: 已知函数 的定义域为[-1,0), 则 的定义域是() A. B. C. D. [0,2) 例8: 若函数 的定义域为 , 则实数 的取值范围为() 例9: 函数 的值域为 , 则实数 的取值范围为() 二、值域 作为函数三要素之一, 函数的值域也是高考中的一个重要考点, 并且值域问题通常会渗透在各类题目之中, 成为解题过程的重要的一部分, 为此笔者总结了以下方法: 观察法: 对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到; 利用常见函数的值域: 一次函数的值域为 ; 二次函数利用配方法, 结合定义域求出值域; 反比例函数的值域为 ; 指数函数的值域是 ; 对数函数的值域是 ; 正、余弦函数的值域是 ; 正切函数的值域是 ; 单调性法: 先利用函数的单调性, 再由单调性求函数的值域; 分离常数法: 即将有理分式转化为 “反比例函数类” 的形式, 便于求值域; 换元法: 对于一些无理函数 (如 ), 通过换元把它们转化为有理函数, 然后通过求有理函数的值域, 间接地求解原函数的值域; 不等式法: 利用几个重要不等式及推论来求得最值, 进而求得值域, 如: , 当且仅当 时等号成立; 判别式法: 把函数解析式化为关于 的一元二次方程, 利用判别式求值域, 形如 或 的函数适用, 注意 的取值范围 ; 有界性法: 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性, 求出值域, 因为常出现反解出 的表达式的过程, 也称为反解有界性法; 配方法: 它是求 “二次函数型函数” 值域的基本方法, 形如 的函数的值域问题, 均可使用配方法; 数形结合法: 若函数的解析式的几何意义较明显, 如距离、斜率等, 可用数形结合法; 导数法: 利用导数求函数值域时, 一种是利用导数判断函数的单调性, 进而根据单调性求值域; 另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域. 例1. 函数 的值域是 ( ) A.    B.    C.    D. 例2. 求 的值域 ( ) 例3. 求函数 的值域( ) 例4. 求函数 的值域( ) 例5. 已知 , 求函数 的值域. 例6. 已知函数 , 则 的值域为( ) A.    B.    C.    D. 例7. 求函数 的值域( ) 三、巩固练习 （一）单选题 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，与其相应的函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． （二）多选题 10．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 11．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 12．（多选）已知函数的定义域为， 且，则（    ） A． B． C． D． （三）填空题 13．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 14．函数的值域是______. 15．若，满足，且，则_______． 16．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 17．若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 18．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 19．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 20．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． （四）解答题 21．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 22．已知函数，若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $